Матрица – математикадағы ерекше нысан. Ол белгілі бір жолдар мен бағандардан тұратын төртбұрышты немесе шаршы кесте түрінде бейнеленген. Математикада өлшемі немесе мазмұны бойынша әр түрлі матрица түрлерінің алуан түрлілігі бар. Оның жолдары мен бағандарының нөмірлері бұйрықтар деп аталады. Бұл объектілер математикада сызықтық теңдеулер жүйесін жазуды ұйымдастыру және олардың нәтижелерін ыңғайлы іздеу үшін қолданылады. Матрицаны қолданатын теңдеулер Карл Гаусс, Габриэль Крамер, минорлар және алгебралық қосындылар және басқа да көптеген әдістер арқылы шешіледі. Матрицалармен жұмыс істеудің негізгі дағдысы оларды стандартты пішінге келтіру болып табылады. Дегенмен, алдымен математиктер матрицалардың қандай түрлерін ажырататынын анықтап алайық.
Нөл түрі
Осындай матрицаның барлық құрамдастары нөлге тең. Ал оның жолдары мен бағандарының саны мүлде басқа.
Шаршы түрі
Матрицаның осы түрінің бағандары мен жолдарының саны бірдей. Басқаша айтқанда, бұл «шаршы» пішінді кесте. Оның бағандарының (немесе жолдарының) саны реттілік деп аталады. Ерекше жағдайлар - екінші ретті матрицаның болуы (2x2 матрица), төртінші ретті (4x4), оныншы (10x10), он жетінші (17x17) және т.б.
Баған векторы
Бұл үш сандық мәнді қамтитын бір ғана бағанды қамтитын матрицалардың ең қарапайым түрлерінің бірі. Ол сызықтық теңдеулер жүйесіндегі бос терминдер қатарын (айнымалылардан тәуелсіз сандар) білдіреді.
Жол векторы
Алдыңғыға ұқсас көру. Бір жолда реттелген үш сандық элементтен тұрады.
Диагональды түрі
Тек негізгі диагональдың құрамдас бөліктері (жасыл түспен белгіленген) матрицаның диагональ түрінде сандық мәндерді қабылдайды. Негізгі диагональ жоғарғы сол жақ бұрыштағы элементтен басталып, сәйкесінше төменгі оң жақтағы элементпен аяқталады. Қалған құрамдас бөліктер нөлге тең. Диагональ түрі тек қандай да бір ретті шаршы матрица болып табылады. Диагональды түрдегі матрицалардың ішінен скалярды бөліп көрсетуге болады. Оның барлық құрамдастары бірдей мәндерді қабылдайды.
Сәйкестік матрицасы
Диагональды матрицаның ішкі түрі. Оның барлық сандық мәндері бірлік болып табылады. Матрицалық кестелердің бір түрін пайдаланып, оның негізгі түрлендірулерін орындаңыз немесе түпнұсқаға кері матрицаны табыңыз.
Канондық түрі
Матрицаның канондық түрі негізгілердің бірі болып саналады; оған құю жиі жұмыс істеу үшін қажет. Канондық матрицадағы жолдар мен бағандардың саны әртүрлі, ол міндетті түрде шаршы түріне жатпайды. Ол сәйкестік матрицасына біршама ұқсас, дегенмен оның жағдайында негізгі диагоналдың барлық құрамдастары бірдей мәнді қабылдамайды. Екі немесе төрт негізгі диагональды бірлік болуы мүмкін (бәрі матрицаның ұзындығы мен еніне байланысты). Немесе бірліктер мүлде болмауы мүмкін (онда ол нөл деп есептеледі). Канондық түрдің қалған құрамдастары, сондай-ақ диагональ және сәйкестік элементтері нөлге тең.
Үшбұрыш түрі
Матрицаның маңызды түрлерінің бірі, оның анықтаушысын іздеу кезінде және қарапайым операцияларды орындау кезінде қолданылады. Үшбұрышты түр диагональ түрінен келеді, сондықтан матрица да шаршы болады. Матрицаның үшбұрышты көрінісі жоғарғы үшбұрышты және төменгі үшбұрышты болып бөлінеді.
Үшбұрышты матрицада (1-сурет) тек негізгі диагональдан жоғары орналасқан элементтер нөлге тең мәнді қабылдайды. Диагоналдың құрамдас бөліктері мен оның астындағы матрица бөлігінде сандық мәндер бар.
Төменгі үшбұрышты матрицада (2-сурет), керісінше матрицаның төменгі бөлігінде орналасқан элементтер нөлге тең.
Қадамдық матрица
Көрініс матрицаның рангін табу үшін, сондай-ақ олардағы элементар операциялар үшін (үшбұрыш түрімен бірге) қажет. Қадамдық матрица осылай аталды, себебі ол нөлдердің сипаттамалық «қадамдарын» қамтиды (суретте көрсетілгендей). Қадамдық типте нөлдердің диагоналы қалыптасады (міндетті түрде негізгі емес) және осы диагональ астындағы барлық элементтердің де нөлге тең мәндері болады. Алғы шарт келесідей: қадамдық матрицада нөлдік жол болса, оның астындағы қалған жолдарда да сандық мәндер болмайды.
Осылайша, біз олармен жұмыс істеу үшін қажетті матрицалардың ең маңызды түрлерін қарастырдық. Енді матрицаны қажетті пішінге түрлендіру тапсырмасын қарастырайық.
Үшбұрышты пішінге дейін кішірейту
Матрицаны үшбұрышты пішінге қалай келтіруге болады? Көбінесе тапсырмаларда матрицаны анықтауыш деп аталатын анықтаушыны табу үшін оны үшбұрышты түрге түрлендіру қажет. Бұл процедураны орындау кезінде матрицаның негізгі диагоналын «сақтау» өте маңызды, өйткені үшбұрышты матрицаның анықтаушысы дәл оның негізгі диагоналының құрамдастарының көбейтіндісі болып табылады. Анықтауышты табудың балама әдістерін де еске сала кетейін. Шаршы типті анықтауыш арнайы формулалар арқылы табылады. Мысалы, үшбұрыш әдісін қолдануға болады. Басқа матрицалар үшін жол, баған немесе олардың элементтері бойынша бөлшектеу әдісі қолданылады. Сондай-ақ матрицаның минорлары мен алгебралық толықтауыштары әдісін қолдануға болады.
ТолығырақКейбір тапсырмалардың мысалдары арқылы матрицаны үшбұрышты пішінге келтіру процесін талдап көрейік.
1-тапсырма
Ұсынылған матрицаны үшбұрышты пішінге келтіру әдісін пайдаланып анықтауышын табу керек.
Бізге берілген матрица үшінші ретті шаршы матрица. Сондықтан оны үшбұрышты пішінге айналдыру үшін бірінші бағанның екі құрамдас бөлігін және екінші бағанның бір компонентін нөлден шығару керек.
Оны үшбұрышты пішінге келтіру үшін түрлендіруді матрицаның төменгі сол жақ бұрышынан – 6 санынан бастаңыз. Оны нөлге айналдыру үшін бірінші жолды үшке көбейтіп, соңғы жолдан шегеріңіз.
Маңызды! Жоғарғы жол өзгермейді, бірақ бастапқы матрицадағыдай болып қалады. Түпнұсқадан төрт есе көп жолды жазудың қажеті жоқ. Бірақ құрамдастары жойылуы қажет жолдардың мәндері үнемі өзгеріп отырады.
Келесі, келесі мәнмен айналысайық - бірінші бағанның екінші жолының элементі, 8 саны. Бірінші жолды төртке көбейтіп, оны екінші жолдан шегеріңіз. Біз нөл аламыз.
Тек соңғы мән қалады - екінші бағанның үшінші жолының элементі. Бұл сан (-1). Оны нөлге айналдыру үшін бірінші жолдан екіншісін шегеріңіз.
Тексерейік:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Демек тапсырманың жауабы -22.
2-тапсырма
Матрицаның анықтауышын үшбұрышты пішінге келтіру арқылы табуымыз керек.
Көрсетілген матрицашаршы түріне жатады және төртінші ретті матрица болып табылады. Бұл бірінші бағанның үш құрамдас бөлігі, екінші бағанның екі құрамдас бөлігі және үшінші бағанның бір құрамдас бөлігі нөлге тең болуы керек дегенді білдіреді.
Оны азайтуды төменгі сол жақ бұрышта орналасқан элементтен - 4 санынан бастайық. Бұл санды нөлге айналдыру керек. Мұны істеудің ең оңай жолы - жоғарғы жолды төртке көбейту, содан кейін оны төртінші қатардан алу. Трансформацияның бірінші кезеңінің нәтижесін жазып алайық.
Сонымен, төртінші жолдың құрамдас бөлігі нөлге орнатылды. Үшінші жолдың бірінші элементіне, 3 санына көшейік. Біз ұқсас операцияны орындаймыз. Бірінші жолды үшке көбейтіңіз, оны үшінші жолдан алып тастаңыз және нәтижені жазыңыз.
Содан кейін біз екінші жолда 2 санын көреміз. Біз операцияны қайталаймыз: жоғарғы жолды екіге көбейтіп, екіншісінен шегереміз.
Біз осы шаршы матрицаның бірінші бағанының барлық құрамдастарын нөлге қоя алдық, 1 санынан басқа, негізгі диагональдың түрлендіруді қажет етпейтін элементі. Енді алынған нөлдерді сақтау маңызды, сондықтан түрлендірулерді бағандармен емес, жолдармен орындаймыз. Ұсынылған матрицаның екінші бағанына көшейік.
Төменнен қайтадан бастайық - соңғы жолдың екінші бағанының элементінен. Бұл сан (-7). Дегенмен, бұл жағдайда үшінші жолдың екінші бағанының элементі (-1) санынан бастау ыңғайлырақ. Оны нөлге айналдыру үшін үшінші жолдан екінші жолды шегеріңіз. Содан кейін екінші қатарды жетіге көбейтіп, төртіншіден шегереміз. Екінші бағанның төртінші жолында орналасқан элементтің орнына нөл алдық. Енді үшіншіге көшейікбаған.
Бұл бағанда тек бір санды нөлге айналдыру керек - 4. Мұны істеу оңай: соңғы жолға үшіншісін қосып, бізге қажет нөлді қараңыз.
Барлық түрлендірулерден кейін біз ұсынылған матрицаны үшбұрышты пішінге келтірдік. Енді оның анықтаушысын табу үшін негізгі диагоналдың алынған элементтерін көбейту керек. Біз мынаны аламыз: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Демек, шешім 160 саны.
Ендеше, енді матрицаны үшбұрышты пішінге келтіру мәселесі сізге қиындық туғызбайды.
Қадамдық пішінге қысқарту
Матрицалардағы элементар операцияларда сатылы пішін үшбұрышқа қарағанда азырақ "талап етіледі". Ол көбінесе матрицаның рангін табу үшін (яғни, оның нөлдік емес жолдарының саны) немесе сызықтық тәуелді және тәуелсіз жолдарды анықтау үшін қолданылады. Дегенмен, сатылы матрицалық көрініс жан-жақты болып табылады, өйткені ол тек шаршы түріне ғана емес, басқаларына да қолайлы.
Матрицаны сатылы пішінге келтіру үшін алдымен оның анықтауышын табу керек. Бұл үшін жоғарыда аталған әдістер қолайлы. Анықтаушыны табудың мақсаты оны қадамдық матрицаға түрлендіруге болатынын анықтау болып табылады. Егер анықтауыш нөлден үлкен немесе кіші болса, онда тапсырмаға қауіпсіз өтуге болады. Егер ол нөлге тең болса, матрицаны сатылы пішінге келтіру жұмыс істемейді. Бұл жағдайда жазбада немесе матрицалық түрлендірулерде қателердің бар-жоғын тексеру керек. Мұндай дәлсіздіктер болмаса, тапсырманы шешу мүмкін емес.
Қалай көрейікБірнеше тапсырмалар мысалдарын пайдаланып матрицаны сатылы пішінге келтіріңіз.
1-тапсырма. Берілген матрицалық кестенің дәрежесін табыңыз.
Біздің алдымызда үшінші ретті шаршы матрица (3x3). Дәрежені табу үшін оны сатылы түрге түсіру керек екенін білеміз. Сондықтан алдымен матрицаның анықтауышын табу керек. Үшбұрыш әдісін қолдану: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x) 5 x 2)=12.
Анықтаушы=12. Ол нөлден үлкен, яғни матрицаны сатылы түрге келтіруге болады. Оның түрлендірулерін бастайық.
Оны үшінші жолдың сол жақ бағанының элементінен - 2 санымен бастайық. Жоғарғы жолды екіге көбейтіп, үшіншіден оны шегереміз. Осы операцияның арқасында бізге қажет элемент те, 4 саны да - үшінші жолдың екінші бағанының элементі - нөлге айналды.
Содан кейін бірінші бағанның екінші жолының элементін - 3 санын нөлге айналдырыңыз. Ол үшін жоғарғы жолды үшке көбейтіп, екіншісінен шегеріңіз.
Кішірейту нәтижесінде үшбұрышты матрица пайда болғанын көреміз. Біздің жағдайда түрлендіруді жалғастыру мүмкін емес, өйткені қалған құрамдастарды нөлге айналдыру мүмкін емес.
Сонымен, осы матрицада (немесе оның дәрежесінде) сандық мәндері бар жолдар саны 3 деген қорытындыға келдік. Тапсырманың жауабы: 3.
2-тапсырма. Осы матрицаның сызықты тәуелсіз жолдарының санын анықтаңыз.
Бізге ешбір түрлендіру арқылы кері қайтарылмайтын жолдарды табу керекнөлге дейін. Шын мәнінде, біз нөлдік емес жолдардың санын немесе ұсынылған матрицаның дәрежесін табуымыз керек. Ол үшін оны жеңілдетейік.
Квадрат түріне жатпайтын матрицаны көреміз. Оның өлшемдері 3х4. Сондай-ақ, трансляцияны төменгі сол жақ бұрыштың элементінен бастайық - сан (-1).
Бірінші жолды үшінші жолға қосыңыз. Содан кейін 5 санын нөлге айналдыру үшін одан секундты шегеріңіз.
Ары қарай өзгерту мүмкін емес. Сонымен, ондағы сызықтық тәуелсіз жолдардың саны және тапсырманың жауабы 3 деген қорытындыға келдік.
Енді матрицаны сатылы пішінге келтіру сіз үшін мүмкін емес тапсырма емес.
Осы тапсырмалардың мысалдары бойынша біз матрицаны үшбұрышты пішінге және сатылы пішінге келтіруді талдадық. Матрицалық кестелердің қажетті мәндерін жою үшін кейбір жағдайларда қиялды көрсету және олардың бағандарын немесе жолдарын дұрыс түрлендіру қажет. Математикада және матрицалармен жұмыста сәттілік!
