Матрицалардың көбейтіндісін қалай табуға болады. Матрицаны көбейту. Матрицалардың скаляр көбейтіндісі. Үш матрицаның көбейтіндісі

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 05:33

Матрицаларды (сандық элементтері бар кестелер) әртүрлі есептеулер үшін пайдалануға болады. Олардың кейбіреулері санға, векторға, басқа матрицаға, бірнеше матрицаға көбейту. Өнім кейде дұрыс емес. Қате нәтиже – есептеу әрекеттерін орындау ережелерін білмеудің нәтижесі. Көбейтуді қалай орындау керектігін анықтайық.

Матрица және сан

Ең қарапайым нәрседен бастайық - сандары бар кестені белгілі бір мәнге көбейту. Мысалы, бізде a_ij элементтері бар А матрицасы бар (i – жол нөмірлері, j – баған нөмірлері) және e саны. Матрицаның e санына көбейтіндісі b_ij элементтері бар B матрицасы болады, олар мына формула бойынша табылады:

b_ij=e × a_ij.

Т. e. b₁₁ элементін алу үшін a₁₁ элементін алып, b_{12 алу үшін оны қажетті санға көбейту керек.} a₁₂ элементінің көбейтіндісін табу керек және e саны, т.б.

Суретте берілген №1 есепті шығарайық. В матрицасын алу үшін А-ның элементтерін 3-ке көбейтіңіз:

a₁₁ × 3=18. Бұл мәнді B матрицасына №1 баған мен №1 жол қиылысатын жерге жазамыз.
a₂₁ × 3=15. Біз b₂₁ элементін алдық.
a₁₂ × 3=-6. Біз b₁₂ элементін алдық. Оны B матрицасына №2 баған мен №1 жолдың қиылысатын жеріне жазамыз.
a₂₂ × 3=9. Бұл нәтиже b₂₂ элементі.
a₁₃ × 3=12. Бұл санды матрицаға b₁₃ элементінің орнына енгізіңіз.
a₂₃ × 3=-3. Соңғы алынған нөмір b₂₃ элементі.

Осылайша, сандық элементтері бар тікбұрышты массив алдық.

18	–6	12
15	9	–3

Векторлар және матрицалардың көбейтіндісінің болу шарты

Математикалық пәндерде «вектор» деген ұғым бар. Бұл термин ₁ бастап дейінгі реттелген мәндер жинағына қатысты. Олар векторлық кеңістік координаттары деп аталады және баған түрінде жазылады. Сондай-ақ «транспозицияланған вектор» деген термин бар. Оның құрамдастары жол ретінде реттелген.

Векторларды матрица деп атауға болады:

баған векторы – бір бағаннан құрастырылған матрица;
жол векторы – тек бір жолды қамтитын матрица.

Дайын болған кездекөбейту амалдарының матрицаларының үстінен туындының бар болуының шарты бар екенін есте ұстаған жөн. A × B есептеу әрекетін А кестесіндегі бағандар саны В кестесіндегі жолдар санына тең болғанда ғана орындауға болады. Есептеу нәтижесінде алынған матрица әрқашан А кестесіндегі жолдар саны мен бағандар санына ие болады. B кестесінде.

Көбейту кезінде матрицаларды (көбейткіштерді) қайта орналастыру ұсынылмайды. Олардың көбейтіндісі әдетте көбейтудің ауыстырымдылық (орын ауыстыру) заңына сәйкес келмейді, яғни А × В операциясының нәтижесі В × А операциясының нәтижесіне тең емес. Бұл қасиет көбейтіндінің ауыстырылмайтындығы деп аталады. матрицалар. Кейбір жағдайларда A × B көбейту нәтижесі B × A көбейту нәтижесіне тең болады, яғни көбейтінді коммутативті болады. A × B=B × A теңдігі орындалатын матрицалар алмастыру матрицалары деп аталады. Төмендегі осындай кестелердің мысалдарын қараңыз.

Баған векторына көбейту

Матрицаны баған векторына көбейту кезінде туындының бар болу шартын ескеру керек. Кестедегі бағандар саны (n) векторды құрайтын координаталар санына сәйкес келуі керек. Есептеудің нәтижесі түрлендірілген вектор болып табылады. Оның координаттарының саны кестедегі жолдар санына (м) тең.

А матрицасы мен х векторы болса y векторының координаталары қалай есептеледі? Құрылған формулалар үшін:

y₁=a₁₁x₁ + a_{12 x}2 _{+ … + a}1 _x , y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_x ,

…………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a}mn_x ,

мұндағы x₁, …, x х-векторының координаттары, m – матрицадағы жолдар саны және сан жаңа y- векторындағы координаталар саны, n - матрицадағы бағандар саны және x-векторындағы координаттар саны, a₁₁, a_{12, …, a}mn– A матрицасының элементтері.

Осылайша, жаңа вектордың i-ші компонентін алу үшін скаляр көбейтіндісі орындалады. i-ші жол векторы А матрицасынан алынған және ол қолжетімді x векторына көбейтілген.

2-есепті шешейік. Матрица мен вектордың көбейтіндісін табуға болады, себебі А-да 3 баған бар, ал х 3 координатадан тұрады. Нәтижесінде біз 4 координаты бар баған векторын алуымыз керек. Жоғарыдағы формулаларды қолданайық:

Есептеу y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Соңғы мән – 2.
есептеу y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Есептеу кезінде біз 0 аламыз.
есептеу y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Көрсетілген факторлардың көбейтінділерінің қосындысы 6.
есептеу y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Координатасы -8.

Жол вектор-матрицасын көбейту

Көп бағаналы матрицаны жол векторына көбейту мүмкін емес. Мұндай жағдайларда жұмыстың бар болу шарты қанағаттандырылмайды. Бірақ жол векторын матрицаға көбейту мүмкін. Бұлесептеу операциясы вектордағы координаталар саны мен кестедегі жолдар саны сәйкес келгенде орындалады. Вектор мен матрицаның көбейтіндісінің нәтижесі жаңа жол векторы болып табылады. Оның координаттарының саны матрицадағы бағандар санына тең болуы керек.

Жаңа вектордың бірінші координатасын есептеу кестедегі жол векторы мен бірінші баған векторын көбейтуді қамтиды. Екінші координат ұқсас жолмен есептеледі, бірақ бірінші баған векторының орнына екінші баған векторы алынады. Мұнда координаттарды есептеудің жалпы формуласы берілген:

y_k=a₁_kx₁+ a₂_kx₂ + … + a_mkx _m, мұндағы y_k – y-векторынан алынған координат, (k – 1 мен n арасында), m – матрицадағы жолдар саны және координаталар саны x-векторында, n - матрицадағы бағандар саны және у-векторындағы координаттар саны, әріптік-цифрлық индекстері бар a - A матрицасының элементтері.

Тік бұрышты матрицалардың көбейтіндісі

Бұл есептеу күрделі болып көрінуі мүмкін. Дегенмен, көбейту оңай орындалады. Анықтамадан бастайық. m жолы мен n бағанасы бар A матрицасының және n жолы мен p бағанасы бар B матрицасының көбейтіндісі m жолы мен p бағанасы бар C матрицасы, онда c_ij элементі А кестесіндегі i-ші жолдың және В кестесінің j-ші бағанының элементтерінің көбейтінділерінің қосындысы. Қарапайым тілмен айтқанда, c_ij элементі i-ші жолдың скаляр көбейтіндісі болып табылады. А кестесінің векторы және B кестесінің j-ші бағанының векторы.

Енді тікбұрышты матрицалардың көбейтіндісін қалай табуға болатынын іс жүзінде анықтайық. Ол үшін No3 есепті шығарайық. Өнімнің бар болу шарты орындалады. c_ij элементтерін есептеуді бастайық:

С матрицасында 2 жол және 3 баған болады.
C₁₁ элементін есептеу. Ол үшін А матрицасынан No1 жолдың және В матрицасынан No1 бағанның скаляр көбейтіндісін орындаймыз. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Содан кейін біз тек жолдарды, бағандарды (элемент индексіне байланысты) өзгерте отырып, ұқсас жолмен әрекет етеміз.
c₁₂=12.
c₁₃=9.
c₂₁=31.
c₂₂=18.
c₂₃=36.

Элементтер есептелді. Енді алынған сандардан төртбұрышты блок жасау ғана қалды.

16	12	9
31	18	36

Үш матрицаның көбейтіндісі: теориялық бөлім

Үш матрицаның көбейтіндісін таба аласыз ба? Бұл есептеу операциясы мүмкін. Нәтижені бірнеше жолмен алуға болады. Мысалы, 3 шаршы кесте (бірдей ретпен) бар - A, B және C. Өнімді есептеу үшін мына әрекеттерді орындауға болады:

Әуелі A және B көбейтіңіз. Содан кейін нәтижені C көбейтіңіз.
Алдымен B және C көбейтіндісін табыңыз. Содан кейін А матрицасын нәтижеге көбейтіңіз.

Тік бұрышты матрицаларды көбейту қажет болса, алдымен бұл есептеу операциясының мүмкін екеніне көз жеткізу керек. керекA × B және B × C өнімдері бар.

Қосымша көбейту қате емес. «Матрицаны көбейтудің ассоциативтілігі» деген бар. Бұл термин (A × B) × C=A × (B × C) теңдігін білдіреді.

Үш матрицаны көбейту тәжірибесі

Квадрат матрицалар

Кішкентай шаршы матрицаларды көбейту арқылы бастаңыз. Төмендегі суретте №4 есеп көрсетілген, оны шешу керек.

Біз қауымдастық қасиетін қолданамыз. Алдымен біз не А мен В, не В және С көбейтеміз. Біз тек бір нәрсені есте сақтаймыз: сіз көбейткіштерді ауыстыра алмайсыз, яғни B × A немесе C × B көбейте алмайсыз. Осы көбейту арқылы біз мынаны аламыз қате нәтиже.

Шешім барысы.

Бірінші қадам. Ортақ көбейтіндіні табу үшін алдымен А-ны В-ға көбейтеміз. Екі матрицаны көбейту кезінде біз жоғарыда көрсетілген ережелерді басшылыққа аламыз. Сонымен, A және B көбейту нәтижесі 2 жол және 2 баған бар D матрицасы болады, яғни тікбұрышты массив 4 элементті қамтиды. Есептеу арқылы оларды табайық:

d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

Аралық нәтиже дайын.

30	10
15	16

Екінші қадам. Енді D матрицасын С матрицасына көбейтейік. Нәтижеде 2 жолы және 2 бағаналы G шаршы матрицасы шығуы керек. Элементтерді есептеу:

g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

Осылайша, квадрат матрицалардың көбейтіндісінің нәтижесі есептелген элементтері бар G кестесі болып табылады.

250	180
136	123

Тікбұрышты матрицалар

Төмендегі суретте №5 есеп көрсетілген. Тікбұрышты матрицаларды көбейтіп, шешімін табу керек.

А × В және В × С көбейтінділерінің болуы шартының орындалғанын тексерейік. Көрсетілген матрицалардың реттері көбейтуді орындауға мүмкіндік береді. Мәселені шешуді бастайық.

Шешім барысы.

Бірінші қадам. D алу үшін В-ны С-ға көбейтіңіз. В матрицасында 3 жол және 4 баған бар, ал С матрицасында 4 жол және 2 баған бар. Бұл 3 жол және 2 баған бар D матрицасын аламыз дегенді білдіреді. Элементтерді есептейік. Мұнда 2 есептеу мысалы берілген:

d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

Мәселені шешуді жалғастырамыз. Қосымша есептеулер нәтижесінде біз d₂₁, d₂ мәндерін табамыз. 2, d₃₁ және d₃₂. Бұл элементтер сәйкесінше 0, 19, 1 және 11. Табылған мәндерді төртбұрышты массивке жазайық.

0	7
0	19
1	11

Екінші қадам. Соңғы F матрицасын алу үшін A-ны D-ге көбейтіңіз. Оның 2 жолы мен 2 бағанасы болады. Элементтерді есептеу:

f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

Үш матрицаны көбейтудің соңғы нәтижесі болып табылатын тікбұрышты массив құрастырыңыз.

1	139
3	52

Тікелей жұмысқа кіріспе

Матрицалардың Кронеккер туындысы материалды түсіну өте қиын. Оның да қосымша атауы бар – тікелей шығарма. Бұл термин нені білдіреді? Бізде m × n ретті А кестесі және p × q ретті В кестесі бар делік. А матрицасы мен В матрицасының тура көбейтіндісі mp × nq ретті матрица болып табылады.

Бізде суретте көрсетілген 2 шаршы матрица A, B бар. Біріншісінде 2 баған және 2 жол, ал екіншісінде 3 баған және 3 жол бар. Тікелей көбейтіндінің нәтижесінде пайда болатын матрица 6 жолдан және дәл осындай бағандар санынан тұратынын көреміз.

Жаңа матрицаның элементтері тура көбейтіндіде қалай есептеледі? Егер сіз суретті талдасаңыз, бұл сұрақтың жауабын табу өте оңай. Алдымен бірінші жолды толтырыңыз. А кестесінің жоғарғы жолынан бірінші элементті алыңыз және бірінші жолдың элементтеріне ретімен көбейтіңізB кестесінен. Содан кейін А кестесінің бірінші жолының екінші элементін алыңыз және В кестесінің бірінші жолының элементтеріне дәйекті түрде көбейтіңіз. Екінші жолды толтыру үшін А кестесінің бірінші жолының бірінші элементін қайтадан алыңыз және оны B кестесінің екінші жолының элементтеріне көбейтіңіз.

Тікелей көбейтінді арқылы алынған соңғы матрица блоктық матрица деп аталады. Фигураны қайта талдасақ, нәтижеміз 4 блоктан тұратынын көреміз. Олардың барлығы В матрицасының элементтерін қамтиды. Сонымен қатар, әрбір блоктың элементі А матрицасының белгілі бір элементіне көбейтіледі. Бірінші блокта барлық элементтер a₁₁ көбейтіледі. екінші - a_{12бойынша, үшіншіде - a}21 _{бойынша, төртіншіде - a}22 _{бойынша.}

Өнім детерминанты

Матрицаны көбейту тақырыбын қарастырған кезде «матрицалар көбейтіндісінің анықтаушысы» сияқты терминді қарастырған жөн. Анықтаушы дегеніміз не? Бұл квадрат матрицаның маңызды сипаттамасы, осы матрицаға тағайындалған белгілі бір мән. Анықтауыштың тура белгісі det.

Екі баған мен екі жолдан тұратын A матрицасы үшін анықтауышты табу оңай. Белгілі бір элементтердің туындылары арасындағы айырмашылық болып табылатын шағын формула бар:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

Екінші ретті кесте үшін анықтауышты есептеу мысалын қарастырайық. a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 және a болатын A матрицасы бар.22_{=1. Анықтаушыны есептеу үшін мына формуланы пайдаланыңыз:}

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.

3 × 3 матрица үшін анықтауыш күрделірек формула арқылы есептеледі. Ол төменде A матрицасы үшін берілген:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_a21_{a 32} – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁ a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁ a₃₃.

Формуланы есте сақтау үшін біз суретте көрсетілген үшбұрыш ережесін ойлап таптық. Біріншіден, негізгі диагоналдың элементтері көбейтіледі. Алынған мәнге қызыл жақтары бар үшбұрыштардың бұрыштарымен көрсетілген элементтердің туындылары қосылады. Әрі қарай, қосымша диагональ элементтерінің көбейтіндісі алынып, қабырғалары көк үшбұрыштардың бұрыштарымен көрсетілген элементтердің көбейтінділері алынып тасталады.

Енді матрицалар көбейтіндісінің анықтауышына тоқталайық. Бұл көрсеткіш көбейткіштер кестелерінің анықтауыштарының көбейтіндісіне тең деген теорема бар. Мұны мысалмен растайық. Бізде a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 және aжазбалары бар А матрицасы бар. 22_{=1 және жазбалары бар B матрицасы b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 және b}22_{=2. A және B матрицаларының анықтауыштарын, A × B туындысын және осы көбейтіндінің анықтауышын табыңыз.}

Шешім барысы.

Бірінші қадам. А үшін анықтауышты есептеңіз: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Содан кейін B үшін анықтауышты есептеңіз: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

Екінші қадам. ТабайықA × B туындысы. Жаңа матрицаны C әрпімен белгілеңіз. Оның элементтерін есептеңіз:

c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

Үшінші қадам. С үшін анықтауышты есептеңіз: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Бастапқы матрицалардың анықтауыштарын көбейту арқылы алуға болатын мәнмен салыстырыңыз. Сандар бірдей. Жоғарыдағы теорема дұрыс.

Өнім дәрежесі

Матрица дәрежесі – сызықтық тәуелсіз жолдар немесе бағандардың максималды санын көрсететін сипаттама. Дәрежені есептеу үшін матрицаның элементар түрлендірулері орындалады:

екі параллель жолды қайта реттеу;
кестедегі белгілі бір жолдың барлық элементтерін нөл емес санға көбейту;
бір жолдың элементтеріне екінші жолдағы элементтерді қосу, белгілі бір санға көбейту.

Бастауыш түрлендірулерден кейін нөлден басқа жолдардың санын қараңыз. Олардың саны матрицаның рангі болып табылады. Алдыңғы мысалды қарастырайық. Ол 2 матрицаны ұсынды: a₁₁=2 элементтері бар A, a₁₂=3, a₂₁=1 және a₂₂ =1 және B элементтері b₁₁=4, b₁₂=5, b21_{=1 және b}22_{=2. Көбейту нәтижесінде алынған С матрицасын да қолданамыз. Егер элементар түрлендірулерді орындасақ, онда жеңілдетілген матрицаларда нөлдік жолдар болмайды. Бұл А кестесінің дәрежесі де, В кестесінің дәрежесі де, дәрежесі де дегенді білдіредіC кестесі 2.}

Енді матрицалардың көбейтіндісінің рангіне ерекше назар аударайық. Сандық элементтері бар кестелердің көбейтіндісінің дәрежесі факторлардың ешқайсысының рангінен аспайтынын айтатын теорема бар. Мұны дәлелдеуге болады. А k × s матрицасы, ал В s × m матрицасы болсын. A және B көбейтіндісі C мәніне тең.

Жоғарыдағы суретті зерттеп көрейік. Ол С матрицасының бірінші бағанын және оның жеңілдетілген жазылуын көрсетеді. Бұл баған А матрицасына кіретін бағандардың сызықтық комбинациясы болып табылады. Сол сияқты, C тікбұрышты массивінің кез келген басқа бағандары туралы айтуға болады. Осылайша, C кестесінің бағанының векторлары арқылы құрылған ішкі кеңістік келесі арқылы құрылған ішкі кеңістікте болады. А кестесінің бағанының векторлары. Осыған сәйкес, №1 ішкі кеңістіктің өлшемі №2 ішкі кеңістіктің өлшемінен аспайды. Бұл С кестесінің бағандарындағы ранг А кестесінің бағандарындағы дәрежеден аспайтынын білдіреді, яғни, r(C) ≦ r(A). Егер біз ұқсас жолмен дауласатын болсақ, онда С матрицасының жолдары В матрицасының жолдарының сызықтық комбинациясы екеніне көз жеткізе аламыз. Бұл r(C) ≦ r(B) теңсіздігін білдіреді.

Матрицалардың көбейтіндісін қалай табуға болады - бұл өте күрделі тақырып. Оны оңай меңгеруге болады, бірақ мұндай нәтижеге жету үшін барлық қолданыстағы ережелер мен теоремаларды жаттауға көп уақыт жұмсауға тура келеді.