Кеңістіктегі геометриялық фигуралар стереометрияның зерттеу нысаны болып табылады, оның курсын орта мектепте мектеп оқушылары өтеді. Бұл мақала призма сияқты тамаша көпбұрышқа арналған. Призманың қасиеттерін толығырақ қарастырайық және оларды сандық сипаттауға қызмет ететін формулаларды берейік.
Призма дегеніміз не?
Әркім қораптың немесе текшенің қандай болатынын елестетеді. Екі фигура да призма. Дегенмен, призмалар класы әлдеқайда әртүрлі. Геометрияда бұл фигураға мынадай анықтама беріледі: призма деп екі параллель және бірдей көпбұрышты қабырғалар мен бірнеше параллелограммдардан құралған кеңістіктегі кез келген көпбұрышты айтады. Фигураның бірдей параллель беттері оның табандары (жоғарғы және төменгі) деп аталады. Параллелограммдар – фигураның бүйір беттері, негіздің қабырғаларын бір-бірімен байланыстыратын.
Егер негіз n-бұрышпен берілген болса, мұндағы n бүтін сан, онда фигура 2+n жақтан, 2n төбеден және 3n шеттен тұрады. Беткейлер мен жиектер жатадыекі түрдің бірі: не бүйір бетіне жатады, не негіздерге жатады. Шыңдарға келетін болсақ, олардың барлығы тең және призманың табандарына жатады.
Зерттелетін сынып фигураларының түрлері
Призманың қасиеттерін зерттей отырып, бұл фигураның мүмкін түрлерін тізімдеу керек:
- Дөңес және ойыс. Олардың арасындағы айырмашылық көпбұрышты негіздің пішінінде жатыр. Егер ол ойыс болса, онда ол да үш өлшемді фигура болады және керісінше.
- Тіке және қиғаш. Түзу призма үшін бүйір беттері тіктөртбұрыш немесе шаршы болады. Қиғаш фигурадағы бүйір беттер жалпы типтегі параллелограммдар немесе ромбтар.
- Дұрыс және қате. Зерттелетін фигураның дұрыс болуы үшін ол түзу және негізі дұрыс болуы керек. Соңғысына тең бүйірлі үшбұрыш немесе шаршы сияқты жалпақ фигуралар мысал бола алады.
Призманың атауы аталған классификацияны ескере отырып құрастырылған. Мысалы, жоғарыда айтылған тік бұрышты параллелепипед немесе текше дұрыс төртбұрышты призма деп аталады. Тұрақты призмалар, олардың жоғары симметриясына байланысты, зерттеуге ыңғайлы. Олардың қасиеттері арнайы математикалық формулалар түрінде көрсетілген.
Призма аймағы
Призманың мұндай қасиетін оның ауданы ретінде қарастырғанда, олар оның барлық беттерінің жалпы ауданын білдіреді. Бұл мәнді елестету оңай, егер сіз фигураны ашсаңыз, яғни барлық беттерді бір жазықтыққа кеңейтсеңіз. ТөмендеСуретте екі призманың сыпырылуының мысалы көрсетілген.
Ерікті призма үшін жалпы түрдегі оның сыпыру аймағының формуласын келесідей жазуға болады:
S=2So+ bPsr.
Белгіні түсіндіріп көрейік. So – бір негіздің ауданы, b – бүйірлік жиектің ұзындығы, Psr – кесілген периметр, ол фигураның бүйірлік параллелограммдарына перпендикуляр.
Жазбаша формула көлбеу призмалардың аудандарын анықтау үшін жиі қолданылады. Тұрақты призма жағдайында S өрнегі белгілі бір пішінге ие болады:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Өрнектегі бірінші мүше дұрыс призманың екі табанының ауданын, екінші мүшесі бүйірлік төртбұрыштардың ауданын білдіреді. Мұндағы a - дұрыс n-бұрыштың қабырғасының ұзындығы. Қарапайым призма үшін б бүйір жиегінің ұзындығы да оның биіктігі h екенін ескеріңіз, сондықтан b формуласында h мәніне ауыстыруға болады.
Фигураның көлемін қалай есептеуге болады?
Призма – симметриясы жоғары салыстырмалы қарапайым көпбұрыш. Сондықтан оның көлемін анықтау үшін өте қарапайым формула бар. Мынадай көрінеді:
V=Soсағ.
Негізгі аумақ пен биіктікті есептеу қиғаш ретсіз пішінді қарау кезінде қиын болуы мүмкін. Бұл мәселе бүйірлік параллелограммдар мен табан арасындағы екібұрышты бұрыштар туралы ақпаратты қамтитын жүйелі геометриялық талдау арқылы шешіледі.
Егер призма дұрыс болсаV формуласы нақты болады:
V=n/4a2ctg(pi/n)сағ.
Көріп отырғаныңыздай, қалыпты призманың S ауданы мен көлемі V оның сызықтық параметрлерінің екеуі белгілі болса, бірегей түрде анықталады.
Үшбұрышты дұрыс призма
Дұрыс үшбұрыш призманың қасиеттерін қарастыру арқылы мақаланы аяқтайық. Ол бес жақтан жасалған, оның үшеуі тік төртбұрыш (шаршы), екеуі тең қабырғалы үшбұрыш. Призманың алты төбесі және тоғыз қыры бар. Бұл призма үшін көлем және бет ауданы формулалары төменде жазылған:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2сағ.
Бұл қасиеттерден басқа фигураның негізінің апотемасы үшін формуланы беру пайдалы, ол теңбүйірлі үшбұрыштың ha биіктігі:
ha=√3/2a.
Призманың қабырғалары бірдей тіктөртбұрыштар. Олардың диагональдарының ұзындығы d:
d=√(a2+ h2).
Үшбұрышты призманың геометриялық қасиеттерін білу тек теориялық емес, сонымен қатар практикалық қызығушылық тудырады. Оптикалық шыныдан жасалған бұл фигура денелердің сәулелену спектрін зерттеуге арналған.
Шыны призма арқылы өткенде дисперсия құбылысы нәтижесінде жарық бірнеше құрамдас түстерге ыдырайды, бұл электромагниттік ағынның спектрлік құрамын зерттеуге жағдай жасайды.
