Мектептегі геометрия курсында үшбұрыштарды зерттеуге көп уақыт бөлінеді. Оқушылар бұрыштарды есептейді, биссектрисалар мен биіктіктерді салады, фигуралар бір-бірінен қалай ерекшеленетінін және олардың ауданы мен периметрін табудың ең оңай әдісін табады. Бұл өмірде кез келген жолмен пайдалы емес сияқты, бірақ кейде, мысалы, үшбұрыштың тең немесе доғал екенін қалай анықтауға болатынын білу әлі де пайдалы. Мұны қалай жасауға болады?
Үшбұрыштардың түрлері
Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте және оларды қосатын кесінділер. Бұл көрсеткіш ең қарапайым сияқты. Үшбұрыштардың тек үш қабырғасы болса, олар қандай болуы мүмкін? Шындығында, көптеген нұсқалар бар және олардың кейбіреулеріне мектептегі геометрия курсының бөлігі ретінде ерекше назар аударылады. Тең бүйірлі үшбұрыш – теңбүйірлі, яғни оның барлық бұрыштары мен қабырғалары тең. Оның бірқатар керемет қасиеттері бар, олар кейінірек талқыланады.
Тең қабырғасының тек екі бірдей қабырғасы бар және бұл да өте қызықты. Тік бұрышты және доғал бұрышты үшбұрыштарда, сіз болжағандай, сәйкесінше, бұрыштардың бірі тік немесе доғал болады. Сағатбұл олар тең қабырғалы да болуы мүмкін.
Мысыр деп аталатын үшбұрыштың ерекше түрі де бар. Оның қабырғалары 3, 4 және 5 бірлік. Дегенмен, ол төртбұрышты. Мұндай үшбұрышты мысырлық маркшейдерлер мен сәулетшілер тік бұрыштарды салу үшін белсенді пайдаланған деп есептеледі. Атақты пирамидалар соның көмегімен салынған деп есептеледі.
Сонымен бірге үшбұрыштың барлық төбелері бір түзуде жатуы мүмкін. Бұл жағдайда ол азғындық деп аталады, ал қалғандарының барлығы азғын емес деп аталады. Олар геометрияны зерттейтін пәндердің бірі.
Теңбүйірлі үшбұрыш
Әрине, дұрыс сандар әрқашан ең қызықты. Олар әлдеқайда мінсіз, сымбатты болып көрінеді. Олардың сипаттамаларын есептеуге арналған формулалар қарапайым фигураларға қарағанда жиі қарапайым және қысқа болады. Бұл үшбұрыштарға да қатысты. Геометрияны оқу кезінде оларға көп көңіл бөлінуі ғажап емес: мектеп оқушыларын қалыпты фигураларды қалғандарынан ажыратуға үйретеді, сонымен қатар олардың кейбір қызықты сипаттамалары туралы әңгімелейді.
Белгілер мен қасиеттер
Атынан болжағаныңыздай, теңбүйірлі үшбұрыштың әр қабырғасы қалған екеуіне тең. Бұған қоса, оның бірқатар мүмкіндіктері бар, соның арқасында фигураның дұрыс немесе дұрыс емес екенін анықтауға болады.
- оның барлық бұрыштары тең, мәні 60 градус;
- биссектрисалар, биіктіктер және әр шыңнан алынған медианалар бірдей;
- тұрақты үшбұрышта 3 симметрия осі бар, ол120 градусқа бұрылғанда өзгермейді.
- іштелген шеңбердің центрі сонымен қатар сызылған шеңбердің центрі және медианалардың, биссектрисалардың, биіктіктердің және перпендикуляр биссектрисалардың қиылысу нүктесі болып табылады.
Егер жоғарыда көрсетілген белгілердің кем дегенде біреуі байқалса, онда үшбұрыш тең қабырғалы болады. Қалыпты фигура үшін жоғарыдағы мәлімдемелердің барлығы дұрыс.
Барлық үшбұрыштардың бірқатар керемет қасиеттері бар. Біріншіден, ортаңғы сызық, яғни екі жағын екіге бөлетін және үшіншіге параллель болатын кесінді табанның жартысына тең. Екіншіден, бұл фигураның барлық бұрыштарының қосындысы әрқашан 180 градусқа тең. Сонымен қатар, үшбұрыштарда тағы бір қызықты қарым-қатынас бар. Сонымен, үлкен жағына қарама-қарсы үлкенірек бұрыш жатыр және керісінше. Бірақ мұның, әрине, теңбүйірлі үшбұрышқа еш қатысы жоқ, өйткені оның барлық бұрыштары тең.
Жазылған және шектелген шеңберлер
Геометрия курсында оқитын студенттердің фигуралар бір-бірімен қалай әрекеттесетінін де үйренуі сирек емес. Атап айтқанда, көпбұрыштарға жазылған немесе олардың айналасында сипатталған шеңберлер зерттеледі. Бұл не туралы?
Ішіне сызылған шеңбер – көпбұрыштың барлық қабырғалары жанама болатын шеңбер. Сипатталған - барлық бұрыштармен байланыс нүктелері бар. Әрбір үшбұрыш үшін әрқашан бірінші және екінші шеңберлерді салуға болады, бірақ әрбір түрдің біреуі ғана. Осы екеуінің дәлелі
теоремалар берілгенмектеп геометрия курсы.
Үшбұрыштардың параметрлерін есептеуден басқа, кейбір тапсырмалар осы шеңберлердің радиустарын есептеуді де қамтиды. Ал теңбүйірлі үшбұрыштың формулалары келесідей:
r=a/√ ̅3;
R=a/2√ ̅3;
мұндағы r – іштей сызылған шеңбердің радиусы, R – сызылған шеңбердің радиусы, a – үшбұрыштың қабырғасының ұзындығы.
Биіктік, периметр және ауданды есептеу
Геометрияны оқу кезінде мектеп оқушылары есептейтін негізгі параметрлер кез келген фигура үшін дерлік өзгеріссіз қалады. Бұл периметр, аудан және биіктік. Есептеу оңай болуы үшін әртүрлі формулалар бар.
Сонымен, периметр, яғни барлық жақтарының ұзындығы келесі әдістермен есептеледі:
P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r, мұндағы a – дұрыс үшбұрыштың қабырғасы, R – шеңбердің радиусы, r – сызылған шеңбер.
Биіктігі:
h=(√ ̅3/2)a, мұндағы a – жақтың ұзындығы.
Соңында, теңбүйірлі үшбұрыштың ауданы үшін формула стандартты формуладан, яғни табан мен оның биіктігінің жартысының көбейтіндісі арқылы алынды.
S=(√ ̅3/4)a2, мұндағы a – жақтың ұзындығы.
Сонымен қатар бұл мәнді шектелген немесе сызылған шеңбердің параметрлері арқылы есептеуге болады. Бұл үшін арнайы формулалар да бар:
S=3√ ̅3r2=(3√ ̅3/4)R2, мұндағы r және R сәйкесінше радиустары сызылған және шектелген шеңберлер.
Ғимарат
Тағы бірТапсырманың қызықты түрі, соның ішінде үшбұрыштар, ең аз жинақкөмегімен бір немесе басқа фигураны салу қажеттілігімен байланысты.
құралдар: циркуль және бөлімсіз сызғыш.
Осы құралдардың көмегімен дұрыс үшбұрыш салу үшін бірнеше қадам қажет.
- Сізге кез келген радиусы бар және центрі еркін A нүктесінде орналасқан шеңбер салу керек. Оны белгілеу керек.
- Одан кейін осы нүкте арқылы түзу сызық жүргізу керек.
- Шеңбер мен түзудің қиылысулары B және C деп белгіленуі керек. Барлық құрылыстар барынша дәлдікпен орындалуы керек.
- Содан кейін C нүктесінде радиусы мен центрі бірдей басқа шеңберді немесе сәйкес параметрлері бар доғаны салу керек. Қиылыстар D және F ретінде белгіленеді.
- B, F, D нүктелері сегменттер арқылы қосылуы керек. Теңбүйірлі үшбұрыш салынған.
Мұндай есептерді шешу әдетте мектеп оқушылары үшін қиындық тудырады, бірақ бұл дағды күнделікті өмірде пайдалы болуы мүмкін.
