Геометриялық есептерді шешу үлкен білімді қажет етеді. Бұл ғылымның негізгі анықтамаларының бірі - тікбұрышты үшбұрыш.
Бұл ұғым үш бұрыштан және тұратын геометриялық фигураны білдіреді
жақтары және бұрыштардың бірінің мәні 90 градус. Тік бұрышты құрайтын қабырғалар катет, ал оған қарама-қарсы орналасқан үшінші қабырға гипотенуза деп аталады.
Егер мұндай фигураның катеттері тең болса, оны тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрыш деп атайды. Бұл жағдайда үшбұрыштардың екі түріне жататындығы бар, яғни екі топтың да қасиеттері байқалады. Еске салайық, тең қабырғалы үшбұрыштың табанындағы бұрыштар әрқашанда абсолютті тең, сондықтан мұндай фигураның сүйір бұрыштары әрқайсысында 45 градус болады.
Келесі қасиеттердің біреуінің болуы бір тікбұрышты үшбұрыштың екіншісіне тең екенін дәлелдеуге мүмкіндік береді:
- екі үшбұрыштың катеттері тең;
- фигуралар гипотенузасы және бір аяғы бірдей;
- гипотенуза және кез келгенөткір бұрыштардан;
- аяғының теңдігі мен сүйір бұрыштың шарты байқалады.
Тікбұрышты үшбұрыштың ауданын стандартты формулалар арқылы да, оның катеттерінің жарты көбейтіндісіне тең мән ретінде де оңай есептеуге болады.
Тікбұрышты үшбұрышта келесі арақатынастар байқалады:
- аяқ гипотенузаға және оның проекциясына пропорционал ортадан басқа ештеңе емес;
- егер сіз тікбұрышты үшбұрыштың айналасындағы шеңберді сипаттасаңыз, оның центрі гипотенузаның ортасында болады;
- тік бұрыштан сызылған биіктік – үшбұрыштың катеттерінің оның гипотенузасына проекцияларына пропорционал орта шама.
Бір қызығы, қандай тікбұрышты үшбұрыш болса да, бұл қасиеттер әрқашан сақталады.
Пифагор теоремасы
Жоғарыда көрсетілген қасиеттерге қосымша тікбұрышты үшбұрыштар келесі шартпен сипатталады: гипотенузаның квадраты катеттердің квадраттарының қосындысына тең.
Бұл теорема оның негізін қалаушы – Пифагор теоремасының атымен аталған. Ол бұл қатынасты тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларына салынған квадраттардың қасиеттерін зерттеген кезде ашты.
Теореманы дәлелдеу үшін катеттерін a және b деп белгілейтін ABC үшбұрышын және с гипотенузасын саламыз. Әрі қарай біз екі шаршы саламыз. Бір жағы гипотенуза, екіншісі екі катеттің қосындысы болады.
Онда бірінші шаршының ауданын екі жолмен табуға болады: төрттің аудандарының қосындысы ретіндеABC үшбұрыштары мен екінші квадрат немесе қабырғасының квадраты ретінде бұл қатынастардың тең болуы заңды. Яғни:
с2 + 4 (ab/2)=(a + b)2, алынған өрнекті түрлендіріңіз:
c2+2 ab=a2 + b2 + 2 ab
Нәтижесінде мынаны аламыз: c2=a2 + b2
Осылайша, тік бұрышты үшбұрыштың геометриялық фигурасы үшбұрыштарға тән барлық қасиеттерге ғана сәйкес келмейді. Тік бұрыштың болуы фигураның басқа ерекше қатынастарға ие болуына әкеледі. Оларды зерттеу ғылымда ғана емес, күнделікті өмірде де пайдалы, өйткені тік бұрышты үшбұрыш сияқты фигура барлық жерде кездеседі.
