Дүние көп есептерді шешу квадрат теңдеудің түбірін табуға болатындай етіп орналастырылған. Теңдеулердің түбірлері әртүрлі үлгілерді сипаттау үшін маңызды. Бұл тіпті ежелгі Вавилондағы барлаушыларға да белгілі болды. Мұндай мәселелерді шешуге астрономдар мен инженерлер де мәжбүр болды. Біздің заманымыздың 6 ғасырында үнді ғалымы Арьябхата квадрат теңдеудің түбірін табудың негіздерін жасады. Формулалар 19 ғасырда аяқталды.
Жалпы түсініктер
Сізді квадрат теңдіктердің негізгі заңдылықтарымен танысуға шақырамыз. Жалпы алғанда теңдікті былай жазуға болады:
ax2 + bx + c=0, Квадрат теңдеудің түбірлерінің саны бір немесе екіге тең болуы мүмкін. Жылдам талдауды дискриминант түсінігі арқылы жасауға болады:
D=b2 - 4ac
Есептелген мәнге байланысты біз аламыз:
- D > 0 болғанда екі түрлі түбір болады. Квадрат теңдеудің түбірлерін анықтаудың жалпы формуласы (-b± √D) / (2a) сияқты көрінеді.
- D=0, бұл жағдайда түбір бір және x=-b / (2a) мәніне сәйкес келеді.
- D < 0, дискриминанттың теріс мәні үшін теңдеудің шешімі жоқ.
Ескертпе: егер дискриминант теріс болса, теңдеудің тек нақты сандар аймағында түбірі болмайды. Егер алгебра күрделі түбірлер ұғымына дейін кеңейтілсе, онда теңдеудің шешімі болады.
Түбірлерді табу формуласын растайтын әрекеттер тізбегін берейік.
Теңдеудің жалпы түрінен былай шығады:
ax2 + bx=-c
Оң және сол бөліктерді 4a-ға көбейтеміз және b2 қосамыз, біз аламыз
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Сол жағын көпмүшенің квадратына түрлендіріңіз (2ax + b)2. 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2 теңдеуінің екі жағының да квадрат түбірін шығарамыз), b коэффициентін оң жаққа ауыстырамыз, мынаны аламыз:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Осыдан:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Нені көрсету керек еді.
Ерекше жағдай
Кейбір жағдайларда мәселені шешуді жеңілдетуге болады. Сонымен, b коэффициенті үшін қарапайым формуланы аламыз.
k=1/2b деп белгілеңіз, онда квадрат теңдеудің түбірлерінің жалпы түрінің формуласы мына түрді алады:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
D=0 болғанда, x=-k / a аламыз
Тағы бір ерекше жағдай – a=1 теңдеудің шешімі.
x2 + bx + c=0 пішіні үшін түбірлер x=-k ± √(k2 - c болады) дискриминанты 0-ден жоғары. D=0 болған жағдайда, түбір қарапайым формуламен анықталады: x=-k.
Диаграммаларды пайдалану
Кез келген адам, өзі білмесе де, квадраттық функциямен жақсы сипатталған физикалық, химиялық, биологиялық және тіпті әлеуметтік құбылыстармен үнемі бетпе-бет келеді.
Ескерту: квадраттық функция негізінде салынған қисық парабола деп аталады.
Міне кейбір мысалдар.
- Снарядтың траекториясын есептегенде көкжиекке бұрыш жасап атылған дененің параболасы бойымен қозғалу қасиеті пайдаланылады.
- Параболаның жүкті біркелкі бөлу қасиеті архитектурада кеңінен қолданылады.
Параболалық функцияның маңыздылығын түсіне отырып, «дискриминант» және «квадрат теңдеудің түбірлері» ұғымдарын пайдалана отырып, оның қасиеттерін зерттеу үшін графикті қалай пайдалану керектігін анықтайық.
a және b коэффициенттерінің мәніне байланысты қисық позициясының тек алты нұсқасы бар:
- Дискриминант оң, a және b таңбалары әртүрлі. Параболаның тармақтары жоғары қарайды, квадрат теңдеудің екі шешімі бар.
- Дискриминант және b коэффициенті нөлге тең, а коэффициенті нөлден үлкен. График оң аймақта, теңдеудің 1 түбірі бар.
- Дискриминант және барлық коэффициенттер оң. Квадрат теңдеудің шешімі жоқ.
- Дискриминант және a коэффициенті теріс, b нөлден үлкен. Графиктің тармақтары төмен бағытталған, теңдеудің екі түбірі бар.
- Дискриминант жәнеb коэффициенті нөлге тең, а коэффициенті теріс. Парабола төмен қарайды, теңдеудің бір түбірі бар.
- Дискриминанттың және барлық коэффициенттердің мәндері теріс. Шешімдер жоқ, функция мәндері толығымен теріс аймақта.
Ескертпе: a=0 опциясы қарастырылмайды, өйткені бұл жағдайда парабола түзу сызыққа айналады.
Жоғарыда айтылғандардың барлығы төмендегі суретте жақсы суреттелген.
Есептерді шешу мысалдары
Шарты: жалпы қасиеттерді пайдаланып, түбірі бір-біріне тең квадрат теңдеу құрыңыз.
Шешімі:
мәселенің шарты бойынша x1 =x2, немесе -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Белгілеуді жеңілдету:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2а))=0, жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді беріңіз. Теңдеу 2√(b2 - 4ac)=0 болады. Бұл мәлімдеме b2 - 4ac=0, демек b болғанда дұрыс болады. 2=4ac, содан кейін b=2√(ac) мәнітеңдеуіне ауыстырылады
ax2 + 2√(ac)x + c=0, қысқартылған түрде x2 + 2√(аламыз c / a)x + c=0.
Жауап:
0-ге тең емес және кез келген c үшін бір ғана шешім бар, егер b=2√(c / a).
Квадрикалық теңдеулер өзінің қарапайымдылығына қарамастан инженерлік есептеулерде үлкен маңызға ие. Кез келген дерлік физикалық процесті кейбір жуықтау арқылы сипаттауға боладыn ретті дәрежелі функциялар. Квадрат теңдеу осындай бірінші жуықтау болады.
