Тәжірибеде әртүрлі пішіндегі геометриялық фигуралардың қималарын салу және қималардың ауданын табу мүмкіндігін қажет ететін тапсырмалар жиі туындайды. Бұл мақалада біз призманың, пирамиданың, конустың және цилиндрдің маңызды бөліктері қалай салынғанын және олардың аудандарын қалай есептеу керектігін қарастырамыз.
3D фигуралар
Стереометриядан кез келген түрдегі үш өлшемді фигура бірнеше беттермен шектелетіні белгілі. Мысалы, призма және пирамида сияқты көп қырлылар үшін бұл беттер көпбұрышты қабырғалар болып табылады. Цилиндр мен конус үшін біз цилиндрлік және конустық фигуралардың айналу беттері туралы айтып отырмыз.
Егер жазықтықты алып, үш өлшемді фигураның бетін ерікті түрде қиып алсақ, кесінді аламыз. Оның ауданы фигураның көлемінің ішінде болатын жазықтық бөлігінің ауданына тең. Бұл аймақтың минималды мәні нөлге тең, ол ұшақ фигураға тиген кезде жүзеге асады. Мысалы, егер жазықтық пирамиданың немесе конустың төбесінен өтетін болса, бір нүктеден құралған қима алынады. Көлденең қима ауданының максималды мәні тәуелдіфигураның және жазықтықтың салыстырмалы орны, сондай-ақ фигураның пішіні мен өлшемі.
Төменде айналымның екі фигурасы (цилиндр және конус) және екі полиэдра (пирамида және призма) үшін қалыптасқан қималардың ауданын қалай есептеу керектігін қарастырамыз.
Цилиндр
Дөңгелек цилиндр – тіктөртбұрыштың кез келген қабырғасының айналасында айналу фигурасы. Цилиндр екі сызықтық параметрмен сипатталады: базалық радиусы r және биіктігі h. Төмендегі диаграмма дөңгелек түзу цилиндрдің қалай болатынын көрсетеді.
Бұл сурет үшін үш маңызды бөлім түрі бар:
- дөңгелек;
- тікбұрышты;
- эллиптикалық.
Эллиптикалық фигураның бүйір бетін оның табанына қандай да бір бұрыш жасап қиылысуы нәтижесінде пайда болады. Дөңгелек - цилиндрдің табанына параллель бүйір бетінің кесу жазықтығының қиылысуының нәтижесі. Соңында, кесу жазықтығы цилиндр осіне параллель болса, төртбұрышты болады.
Дөңгелек аудан мына формуламен есептеледі:
S1=pir2
Цилиндр осі арқылы өтетін осьтік қиманың ауданы, яғни тікбұрышты, келесідей анықталады:
S2=2rh
Конус бөліктері
Конус – тікбұрышты үшбұрыштың катеттерінің бірінің айналасында айналу фигурасы. Конустың бір төбесі және дөңгелек негізі бар. Оның параметрлері де радиусы r және биіктігі h. Қағаз конусының мысалы төменде көрсетілген.
Коникалық қималардың бірнеше түрі бар. Оларды тізіп көрейік:
- дөңгелек;
- эллиптикалық;
- параболикалық;
- гиперболалық;
- үшбұрыш.
Егер сіз дөңгелек негізге қатысты секант жазықтығының көлбеу бұрышын арттырсаңыз, олар бір-бірін ауыстырады. Ең оңай жолы - дөңгелек және үшбұрыштың көлденең қимасының формулаларын жазу.
Дөңгелек қима конустық беттің табанға параллель жазықтықпен қиылысуы нәтижесінде пайда болады. Оның ауданы үшін келесі формула жарамды:
S1=pir2z2/сағ 2
Мұндағы z - фигураның жоғарғы бөлігінен қалыптасқан бөлікке дейінгі қашықтық. Егер z=0 болса, онда жазықтық тек шыңы арқылы өтетінін көруге болады, сондықтан S1 ауданы нөлге тең болады. z < h болғандықтан, зерттелетін бөлімнің ауданы әрқашан негіз үшін оның мәнінен аз болады.
Үшбұрыш жазықтық фигураны өзінің айналу осінің бойымен қиып өткенде алынады. Алынған бөліктің пішіні тең қабырғалы үшбұрыш болады, оның жақтары негіздің диаметрі және конустың екі генераторы болады. Үшбұрыштың көлденең қимасының ауданын қалай табуға болады? Бұл сұрақтың жауабы келесі формула болады:
S2=rh
Бұл теңдік ерікті үшбұрыштың табанының ұзындығы мен биіктігі арқылы ауданы үшін формуланы қолдану арқылы алынады.
Призма бөлімдері
Призма – бір-біріне параллель екі бірдей көпбұрышты негіздердің болуымен сипатталатын фигуралардың үлкен класы,параллелограммдар арқылы қосылған. Призманың кез келген қимасы көпбұрыш болып табылады. Қарастырылып отырған фигуралардың (қиғаш, түзу, n-бұрышты, дұрыс, ойыс призмалар) алуан түрлілігін ескере отырып, олардың кесінділерінің әртүрлілігі де үлкен. Төменде біз тек кейбір ерекше жағдайларды қарастырамыз.
Егер қиюшы жазықтық табанға параллель болса, онда призманың көлденең қимасының ауданы осы табанның ауданына тең болады.
Егер жазықтық екі табанның геометриялық центрлері арқылы өтетін болса, яғни фигураның бүйір жиектеріне параллель болса, онда кесіндіде параллелограмм түзіледі. Түзу және дұрыс призмалар жағдайында қарастырылатын қима көрінісі тіктөртбұрыш болады.
Пирамида
Пирамида - n-бұрыш пен n үшбұрыштан тұратын басқа көпбұрыш. Үшбұрышты пирамиданың мысалы төменде көрсетілген.
Егер қима n-бұрышты табанға параллель жазықтықпен жүргізілсе, онда оның пішіні табанның пішініне тура тең болады. Мұндай бөлімнің ауданы формула бойынша есептеледі:
S1=So(h-z)2/сағ 2
Мұндағы z - табаннан қима жазықтығына дейінгі қашықтық, So - табанның ауданы.
Егер қиюшы жазықтық пирамиданың төбесін қамтыса және оның табанын қиып өтсе, онда үшбұрышты қима аламыз. Оның ауданын есептеу үшін үшбұрыштың сәйкес формуласын пайдалану керек.
