Пирамиданың ауданын қалай есептеуге болады: негізі, бүйір жағы және толық?

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 05:33

Математикадан емтиханға дайындалу кезінде студенттер алгебра мен геометриядан алған білімдерін жүйелеуі керек. Мен барлық белгілі ақпаратты біріктіргім келеді, мысалы, пирамиданың ауданын қалай есептеу керек. Сонымен қатар, негізгі және бүйірлік беттерден бастап бүкіл бет аймағына дейін. Егер бүйірлік беттерде жағдай анық болса, олар үшбұрыштар болғандықтан, негіз әрқашан әртүрлі болады.

Пирамида табанының ауданын қалай табуға болады?

Бұл кез келген пішін болуы мүмкін: ерікті үшбұрыштан n-бұрышқа дейін. Және бұл негіз, бұрыштар санының айырмашылығынан басқа, қалыпты фигура немесе дұрыс емес болуы мүмкін. Мектеп оқушыларын қызықтыратын USE тапсырмаларында тек негізінде дұрыс фигуралар бар тапсырмалар бар. Сондықтан біз тек олар туралы сөйлесетін боламыз.

Тұрақты үшбұрыш

Бұл тең қабырғалы. Оның барлық жақтары тең және «а» әрпімен белгіленген. Бұл жағдайда пирамида табанының ауданы мына формула бойынша есептеледі:

S=(a2√3) / 4.

шаршы

Оның ауданын есептеу формуласы ең қарапайым,мұндағы "a" қайтадан жағы:

S=a2.

Еркін тұрақты n-gon

Көпбұрыштың қабырғасы бірдей белгіленеді. Бұрыштардың саны үшін латын әрпі n пайдаланылады.

S=(na2) / (4тг (180º/n)).

Бүйірлік және жалпы бетті қалай есептеуге болады?

Негізі дұрыс фигура болғандықтан, пирамиданың барлық қабырғалары тең. Оның үстіне, олардың әрқайсысы тең қабырғалы үшбұрыш болып табылады, өйткені бүйір шеттері тең. Содан кейін, пирамиданың бүйірлік ауданын есептеу үшін сізге бірдей мономиалдардың қосындысынан тұратын формула қажет. Терминдер саны негіздің жақтарының санымен анықталады.

Тең қабырғалы үшбұрыштың ауданы табанының жартысы биіктікке көбейтілген формула бойынша есептеледі. Пирамидадағы бұл биіктік апотема деп аталады. Оның белгісі «А». Бүйір бетінің жалпы формуласы:

S=½ PA, мұндағы P – пирамида табанының периметрі.

Негіздің жақтары белгісіз, бірақ бүйір жиектері (c) және оның төбесіндегі жазық бұрышы (α) берілген жағдайлар бар. Содан кейін пирамиданың бүйірлік ауданын есептеу үшін мына формуланы пайдалану керек:

S=n/2in2 sin α.

1-проблема

Жағдай. Пирамиданың жалпы ауданын табыңыз, егер оның табаны қабырғасы 4 см, ал апотемасы √3 см тең қабырғалы үшбұрыш болса.

Шешім. ОныңНегіздің периметрін есептеуден бастау керек. Бұл тұрақты үшбұрыш болғандықтан, P \u003d 34 \u003d 12 см. Апотем белгілі болғандықтан, сіз бүкіл бүйір бетінің ауданын бірден есептей аласыз: ½12√3=6 √3 см 2.

Негізіндегі үшбұрыш үшін келесі аудан мәнін аласыз: (4²√3) / 4=4√3 см^2.

Жалпы ауданды анықтау үшін екі нәтиже мәнін қосу керек: 6√3 + 4√3=10√3 см2.

Жауап. 10√3см2.

2-проблема

Жағдай. Кәдімгі төртбұрышты пирамида бар. Негіздің бүйірінің ұзындығы 7 мм, бүйір жиегі 16 мм. Оның бетінің ауданын білуіңіз керек.

Шешім. Көпбұрыш төртбұрышты және дұрыс болғандықтан, оның негізі шаршы болады. Негіздің және бүйір беттерінің аудандарын біліп алғаннан кейін пирамиданың ауданын есептеуге болады. Шаршының формуласы жоғарыда келтірілген. Ал бүйір беттерінде үшбұрыштың барлық қабырғалары белгілі. Сондықтан олардың аудандарын есептеу үшін Герон формуласын қолдануға болады.

Алғашқы есептеулер қарапайым және мына санға әкеледі: 49 мм². Екінші мән үшін жартылай периметрді есептеу керек: (7 + 162): 2=19,5 мм. Енді сіз тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын есептей аласыз: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)²)=√2985,9375=54,644 мм ^{2. Мұндай үшбұрыштар тек төрт, сондықтан соңғы санды есептеген кезде оны 4-ке көбейту керек.}

Анықталғандай: 49 + 454, 644=267, 576 мм2.

Жауап. Қалаған мән 267, 576мм2.

Мәселе 3

Жағдай. Кәдімгі төртбұрышты пирамида үшін ауданды есептеу керек. Ол шаршының қабырғасын - 6 см және биіктігін - 4 см біледі.

Шешім. Ең оңай жолы - периметр мен апотеманың көбейтіндісі бар формуланы қолдану. Бірінші мәнді табу оңай. Екіншісі сәл қиынырақ.

Біз Пифагор теоремасын еске түсіріп, тікбұрышты үшбұрышты қарастыруымыз керек. Ол пирамиданың биіктігі мен гипотенуза болып табылатын апотема арқылы қалыптасады. Көпбұрыштың биіктігі оның ортасына түсетіндіктен, екінші катет шаршының жарты жағына тең.

Қажетті апотема (тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы) √(3² + 4^{2)=5 (см).}

Енді қажетті мәнді есептей аласыз: ½(46)5+6²=96 (қараңыз^2).

Жауап. 96 см2.

Мәселе 4

Жағдай. Кәдімгі алтыбұрышты пирамида берілген. Оның табанының бүйірлері 22 мм, бүйір қабырғалары 61 мм. Бұл көпбұрыштың бүйір бетінің ауданы қандай?

Шешім. Ондағы дәлелдер No2 есепте сипатталғандай. Тек түбінде шаршысы бар пирамида берілген, енді ол алтыбұрыш.

Біріншіден, негіздің ауданы жоғарыдағы формула бойынша есептеледі: (622²) / (4тг (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 см^2.

Енді бүйір беті болып табылатын тең қабырғалы үшбұрыштың жартылай периметрін табу керек. (22 + 612): 2 \u003d 72 см. Олардың әрқайсысының ауданын есептеу қалады.үшбұрышты таңдап, оны алтыға көбейтіп, негіз үшін шыққанға қосыңыз.

Герон формуласы бойынша есептеу: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 см² . Бүйір бетінің ауданын беретін есептеулер: 6606=3960 см². Бүкіл бетті білу үшін оларды қосу керек: 5217, 47≈5217 см^2.

Жауап. Негізі - 726√3см², бүйір беті - 3960см², жалпы ауданы - 5217см^2.