Теңсіздіктер және теңсіздіктер жүйесі орта мектеп алгебрасында оқытылатын тақырыптардың бірі. Қиындық тұрғысынан бұл ең қиын емес, өйткені оның қарапайым ережелері бар (олар туралы сәл кейінірек). Әдетте, мектеп оқушылары теңсіздіктер жүйесінің шешімін оңай меңгереді. Бұл мұғалімдердің шәкірттерін осы тақырыпқа жай ғана «жаттықтыруының» себебі. Және олар мұны істей алмайды, өйткені ол болашақта басқа математикалық шамаларды қолдану арқылы зерттеледі, сонымен қатар OGE және Бірыңғай мемлекеттік емтихан үшін тексеріледі. Мектеп оқулықтарында теңсіздіктер мен теңсіздіктер жүйесі тақырыбы өте егжей-тегжейлі қарастырылған, сондықтан егер сіз оны зерттегіңіз келсе, онда оларға жүгінген дұрыс. Бұл мақала көп материалдың парафразасы ғана және кейбір олқылықтар болуы мүмкін.
Теңсіздіктер жүйесі түсінігі
Ғылыми тілге жүгінер болсақ, «жүйетеңсіздіктер". Бұл бірнеше теңсіздіктерді бейнелейтін осындай математикалық модель. Әрине, бұл модель шешімді қажет етеді және ол тапсырмада ұсынылған жүйенің барлық теңсіздіктеріне жалпы жауап болады (әдетте ол былай жазылады, мысал: "4 x + 1 > 2 және 30 - x > 6… теңсіздіктер жүйесін шешіңіз").
Теңсіздіктер жүйелері және теңдеулер жүйесі
Жаңа тақырыпты меңгеру барысында түсінбеушілік жиі туындайды. Бір жағынан, бәрі түсінікті және мен тапсырмаларды шешуге кіріскенді жөн көремін, бірақ екінші жағынан, кейбір сәттер «көлеңкеде» қалады, олар жақсы түсінілмейді. Сондай-ақ бұрыннан игерілген білімнің кейбір элементтері жаңаларымен тоғысуы мүмкін. Осы қабаттасу нәтижесінде қателер жиі орын алады.
Сондықтан тақырыбымызды талдауға кіріспес бұрын теңдеулер мен теңсіздіктердің айырмашылығын, олардың жүйелерін еске түсіру керек. Ол үшін бұл математикалық ұғымдардың не екенін тағы бір рет нақтылау қажет. Теңдеу әрқашан теңдік болып табылады және ол әрқашан бір нәрсеге тең (математикада бұл сөз «= белгісімен белгіленеді). Теңсіздік - бұл бір мән екіншісінен үлкен немесе кіші болатын немесе олардың бірдей еместігі туралы бекітуді қамтитын модель. Осылайша, бірінші жағдайда теңдік туралы айту орынды, ал екіншісінде ол қаншалықты айқын көрінсе де,атауының өзі, бастапқы деректердің теңсіздігі туралы. Теңдеулер мен теңсіздіктер жүйелері іс жүзінде бір-бірінен ерекшеленбейді және оларды шешу әдістері бірдей. Жалғыз айырмашылық - біріншісі теңдіктерді, екіншісі теңсіздіктерді пайдаланады.
Теңсіздіктер түрлері
Теңсіздіктің екі түрі бар: сандық және белгісіз айнымалысы бар. Бірінші типте бір-біріне тең емес мәндер (сандар) беріледі, мысалы, 8 > 10. Екінші түрі - белгісіз айнымалысы бар теңсіздіктер (латын әліпбиінің кейбір әрпімен көрсетіледі, көбінесе X). Бұл айнымалыны табу керек. Олардың қанша екеніне қарай математикалық модель бір (бір айнымалысы бар теңсіздіктер жүйесін құрайды) немесе бірнеше айнымалылар (бірнеше айнымалысы бар теңсіздіктер жүйесін құрайды) теңсіздіктерді математикалық модельде ажыратады.
Соңғы екі түрі құрылыс дәрежесіне және шешімнің күрделілік деңгейіне қарай қарапайым және күрделі болып бөлінеді. Қарапайым теңсіздіктерді сызықтық теңсіздіктер деп те атайды. Олар өз кезегінде қатаң және қатаң емес болып екіге бөлінеді. Бір мән аз немесе көп болуы керек деп қатаң түрде «айтыңыз», сондықтан бұл таза теңсіздік. Бірнеше мысалдар бар: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, т.б. Қатаң еместерге теңдік те жатады. Яғни, бір мән басқа мәннен үлкен немесе оған тең болуы мүмкін («≧» белгісі) немесе басқа мәннен кіші немесе оған тең («≦» белгісі). Әлі кезектеТеңсіздіктерде айнымалы түбірде, шаршыда тұрмайды, ештеңеге бөлінбейді, сондықтан оларды «жай» деп атайды. Күрделілерге белгісіз айнымалылар жатады, оларды табу үшін көбірек математикалық амалдар қажет. Олар көбінесе квадратта, текшеде немесе түбір астында болады, олар модульдік, логарифмдік, бөлшектік және т.б. болуы мүмкін. Бірақ біздің міндетіміз теңсіздіктер жүйесінің шешімін түсіну болғандықтан, біз сызықтық теңсіздіктер жүйесі туралы айтатын боламыз. Дегенмен, бұған дейін олардың қасиеттері туралы бірнеше сөз айту керек.
Теңсіздіктердің қасиеттері
Теңсіздіктердің қасиеттері келесі ережелерді қамтиды:
- Теңсіздік белгісі тараптардың ретін өзгерту операциясы қолданылса, кері болады (мысалы, t1 ≦ t2, содан кейін t 2 ≧ t1).
- Теңсіздіктің екі бөлігі де өзіңізге бірдей санды қосуға мүмкіндік береді (мысалы, t1 ≦ t2, содан кейін t 1 + сан ≦ t2 + сан).
- Бір бағыт белгісі бар екі немесе одан да көп теңсіздіктер олардың сол және оң бөліктерін қосуға мүмкіндік береді (мысалы, t1 ≧ t2 болса , t3 ≧ t4, содан кейін t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Теңсіздіктің екі бөлігі де өздерін бірдей оң санға көбейтуге немесе бөлуге мүмкіндік береді (мысалы, t1 ≦ t2және ≦ 0 саны, содан кейін t1 ≧ саны t2).
- Оң мүшелері және бір бағыттағы белгісі бар екі немесе одан да көп теңсіздіктер рұқсат етедібір-бірін көбейту (мысалы, t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, т 4 ≧ 0 содан кейін t1 t3 ≦ t2 t4).
- Теңсіздіктің екі бөлігі де өздерін бірдей теріс санға көбейтуге немесе бөлуге мүмкіндік береді, бірақ теңсіздік белгісі өзгереді (мысалы, t1 ≦ t2 және ≦ 0 саны, содан кейін t1 ≧ саны t2).
- Барлық теңсіздіктер өтпелі (мысалы, t1 ≦ t2 және t2≦ t3, содан кейін t1 ≦ t3).
Енді теңсіздіктерге қатысты теорияның негізгі ережелерін зерттегеннен кейін олардың жүйелерін шешу ережелерін қарастыруға тікелей көшуге болады.
Теңсіздіктер жүйесін шешу. Негізгі ақпарат. Шешімдер
Жоғарыда айтылғандай, шешім – берілген жүйенің барлық теңсіздіктеріне сәйкес келетін айнымалының мәндері. Теңсіздіктер жүйелерінің шешімі – бұл бүкіл жүйені шешуге әкелетін немесе оның шешімдері жоқ екенін дәлелдейтін математикалық амалдардың орындалуы. Бұл жағдайда айнымалы бос сандар жиынына жатады деп айтылады (төмендегідей жазылады: айнымалыны білдіретін әріп ∈ («тиісті» белгісі) ø («бос жиын» белгісі), мысалы, x ∈ ø (ол былай оқылады: ««х» айнымалысы бос жиынға жатады»). Теңсіздіктер жүйесін шешудің бірнеше жолы бар:графикалық, алгебралық, алмастыру әдісі. Айта кету керек, олар бірнеше белгісіз айнымалылары бар математикалық модельдерге сілтеме жасайды. Біреуі ғана болса, бос орын әдісі орындалады.
Графикалық әдіс
Бірнеше белгісіздері бар теңсіздіктер жүйесін шешуге мүмкіндік береді (екі немесе одан да көп). Бұл әдістің арқасында сызықтық теңсіздіктер жүйесі жеткілікті оңай және тез шешіледі, сондықтан ол ең кең таралған әдіс болып табылады. Себебі график құру математикалық амалдарды жазу көлемін азайтады. Қаламнан аздап үзіліс жасап, сызғышпен қарындашты алып, көп жұмыс біткен кезде және сіз аздап әртүрлілікті қаласаңыз, олардың көмегімен келесі әрекеттерді жалғастыру әсіресе жағымды болады. Дегенмен, кейбіреулер бұл әдісті ұнатпайды, себебі сіз тапсырмадан қол үзіп, ақыл-ой әрекетіңізді сурет салуға ауыстыруыңыз керек. Дегенмен, бұл өте тиімді әдіс.
Теңсіздіктер жүйесін графикалық әдіс арқылы шешу үшін әрбір теңсіздіктің барлық мүшелерін олардың сол жағына көшіру керек. Таңбалар керісінше болады, оң жақта нөл жазылуы керек, содан кейін әрбір теңсіздік жеке жазылуы керек. Нәтижесінде теңсіздіктерден функциялар алынады. Осыдан кейін сіз қарындаш пен сызғышты ала аласыз: енді әрбір алынған функцияның графигін салу керек. Олардың қиылысу интервалында болатын барлық сандар жиыны теңсіздіктер жүйесінің шешімі болады.
Алгебралық жол
Екі белгісіз айнымалысы бар теңсіздіктер жүйесін шешуге мүмкіндік береді. Теңсіздіктер де бірдей теңсіздік белгісіне ие болуы керек (яғни оларда не тек «үлкен» белгісі, не тек «кіші» белгісі болуы керек және т.б.) Өзінің шектеулеріне қарамастан, бұл әдіс те күрделірек. Ол екі қадаммен қолданылады.
Біріншісі белгісіз айнымалылардың бірінен құтылуды қамтиды. Алдымен оны таңдау керек, содан кейін осы айнымалының алдында сандар бар-жоғын тексеріңіз. Егер олардың ешқайсысы болмаса (онда айнымалы бір әріп сияқты болады), онда біз ештеңені өзгертпейміз, егер бар болса (айнымалының түрі, мысалы, 5y немесе 12y болады), онда көз жеткізу керек. әрбір теңсіздікте таңдалған айнымалының алдындағы сан бірдей болатыны. Ол үшін теңсіздіктердің әрбір мүшесін ортақ көбейткішке көбейту керек, мысалы, бірінші теңсіздікте 3у, ал екіншісінде 5у жазылса, онда бірінші теңсіздіктің барлық мүшелерін 5-ке көбейту керек., ал екіншісі 3-ке тең. Сіз сәйкесінше 15y және 15y аласыз.
Шешімнің екінші кезеңі. Әрбір теңсіздіктің сол жағын олардың оң жақтарына әр мүшенің таңбасын қарама-қарсысына ауыстыру керек, оң жағына нөлді жазу керек. Содан кейін қызықты бөлік келеді: теңсіздіктерді қосу кезінде таңдалған айнымалыдан (басқаша «азайту» деп аталады) құтылу. Сіз шешуді қажет ететін бір айнымалысы бар теңсіздікті аласыз. Осыдан кейін сіз дәл солай істеуіңіз керек, тек басқа белгісіз айнымалымен. Алынған нәтижелер жүйенің шешімі болады.
Ауыстыру әдісі
Жаңа айнымалы енгізу мүмкіндігі болған кезде теңсіздіктер жүйесін шешуге мүмкіндік береді. Әдетте бұл әдіс теңсіздіктің бір мүшесіндегі белгісіз айнымалыны төртінші дәрежеге көтергенде, ал екінші мүшесінде квадраттағанда қолданылады. Осылайша, бұл әдіс жүйедегі теңсіздік дәрежесін төмендетуге бағытталған. Таңдамалы теңсіздік x4 - x2 - 1 ≦ 0 келесі жолмен шешіледі. Жаңа айнымалы енгізілді, мысалы t. Олар былай деп жазады: «Let t=x2», содан кейін үлгі жаңа пішінде қайта жазылады. Біздің жағдайда t2 - t - 1 ≦0 аламыз. Бұл теңсіздікті интервал әдісімен шешу керек (бұл туралы сәл кейінірек), содан кейін Х айнымалысына оралыңыз, содан кейін басқа теңсіздікпен де солай жасаңыз. Алынған жауаптар жүйенің шешімі болады.
Интервал әдісі
Бұл теңсіздіктер жүйесін шешудің ең оңай жолы және сонымен бірге ол әмбебап және кең таралған. Ол орта мектепте, тіпті орта мектепте де қолданылады. Оның мәні оқушының дәптерге сызылған сандар түзуінен теңсіздік интервалдарын іздеуінде жатыр (бұл график емес, жай сандары бар қарапайым түзу). Теңсіздіктер аралықтары қиылысатын жерде жүйенің шешімі табылады. Аралық әдісін пайдалану үшін мына қадамдарды орындаңыз:
- Әр теңсіздіктің барлық мүшелері таңбасын керісінше өзгерту арқылы сол жаққа ауыстырылады (оң жақта нөл жазылған).
- Теңсіздіктер бөлек жазылады, олардың әрқайсысының шешімі анықталады.
- Сандағы теңсіздіктердің қиылысуларыТүзу. Осы қиылыстардағы барлық сандар шешім болады.
Қай жолды қолдану керек?
Ең оңай және ыңғайлы болып көрінетіні анық, бірақ тапсырмалар белгілі бір әдісті қажет ететін кездер болады. Көбінесе олар график арқылы немесе интервал әдісімен шешу керек дейді. Алгебралық әдіс пен алмастыру өте сирек қолданылады немесе мүлдем қолданылмайды, өйткені олар өте күрделі және түсініксіз, сонымен қатар олар теңсіздіктерді емес, теңдеулер жүйесін шешу үшін көбірек қолданылады, сондықтан графиктер мен интервалдарды салуға жүгіну керек. Олар математикалық операциялардың тиімді және жылдам орындалуына ықпал ететін көріну мүмкіндігін береді.
Егер бірдеңе жұмыс істемесе
Алгебрадан белгілі бір тақырыпты оқу барысында, әрине, оны түсінуде қиындықтар туындауы мүмкін. Және бұл қалыпты жағдай, өйткені біздің миымыз күрделі материалды бірден түсіне алмайтындай етіп жасалған. Көбінесе абзацты қайта оқу, мұғалімнің көмегіне жүгіну немесе типтік есептерді шешуге жаттықтыру қажет. Біздің жағдайда олар, мысалы, былай көрінеді: «3 x + 1 ≧ 0 және 2 x - 1 > 3 теңсіздіктер жүйесін шеш». Осылайша, жеке талпыныс, бөгде адамдардың көмегі және тәжірибе кез келген күрделі тақырыпты түсінуге көмектеседі.
Решебник?
Және шешім кітабы да өте жақсы, бірақ үй тапсырмасын алдау үшін емес, өз-өзіне көмектесу үшін. Олардан шешімі бар теңсіздіктер жүйесін табуға болады, қараңызоларды (үлгілер сияқты), шешім авторы тапсырманы қалай орындағанын түсінуге тырысыңыз, содан кейін оны өз бетіңізше орындауға тырысыңыз.
Қорытынды
Алгебра мектептегі ең қиын пәндердің бірі. Ал, сен не істей аласың? Математика әрқашан осылай болған: біреуге оңай келеді, ал біреуге қиын. Бірақ кез келген жағдайда, жалпы білім беру бағдарламасы кез келген оқушы оны жеңе алатындай етіп жасалғанын есте ұстаған жөн. Сонымен қатар, сіз көптеген көмекшілерді есте ұстауыңыз керек. Олардың кейбіреулері жоғарыда аталды.
