Стереометрия – үш өлшемді геометриялық пішіндердің сипаттамаларын зерттейтін ғылым. Геометрия есептерінде кездесетін белгілі көлемдік фигуралардың бірі – түзу призма. Бұл мақалада оның не екенін қарастырайық, сонымен қатар үшбұрышты негізі бар призманы егжей-тегжейлі сипаттаңыз.
Призма және оның түрлері
Призма – көпбұрышты кеңістікте параллель аудару нәтижесінде пайда болатын фигура. Осы геометриялық операцияның нәтижесінде бірнеше параллелограммнан және бір-біріне параллель екі бірдей көпбұрыштан тұратын фигура пайда болады. Параллелограммдар призманың қабырғалары, ал көпбұрыштар оның табандары болып табылады.
Кез келген призманың n+2 жағы, 3n шеті және 2n төбесі бар, мұндағы n – көпбұрышты негіздің бұрыштары немесе қабырғаларының саны. Суретте 7 жағы, 10 шыңы және 15 шеті бар бесбұрышты призма көрсетілген.
Қарастырылған фигуралар класы призмалардың бірнеше түрімен берілген. Біз оларды қысқаша тізімдейміз:
- ойыс және дөңес;
- қиғаш және түзу;
- дұрыс және қате.
Әр фигура жіктеудің аталған үш түрінің біріне жатады. Геометриялық есептерді шешу кезінде дұрыс және түзу призмалар үшін есептеулерді орындау оңайырақ. Соңғысы мақаланың келесі абзацтарында толығырақ қарастырылады.
Түзу призма дегеніміз не?
Түзу призма - барлық қабырғалары 90° бұрыштары бар төртбұрыштармен бейнеленген ойыс немесе дөңес, дұрыс немесе дұрыс емес призма. Егер қабырғалардың төртбұрыштарының ең болмағанда біреуі тіктөртбұрыш немесе шаршы болмаса, онда призма қиғаш деп аталады. Басқа анықтаманы да беруге болады: түзу призма - бұл кез келген бүйір жиегі биіктікке тең болатын берілген класстың фигурасы. Призманың h биіктігі астында оның табандары арасындағы қашықтық қабылданады.
Тікелей призма деген берілген анықтамалардың екеуі де тең және өзін-өзі қамтамасыз етеді. Олардан табандардың кез келгені мен әр жағы арасындағы барлық екібұрышты бұрыштар 90° болатыны шығады.
Есептерді шығарғанда түзу фигуралармен жұмыс істеу ыңғайлы екені жоғарыда айтылды. Бұл биіктіктің бүйірлік қабырғаның ұзындығына сәйкес келуіне байланысты. Соңғы факт фигураның көлемін және оның бүйір бетінің ауданын есептеу процесін жеңілдетеді.
Тіке призманың көлемі
Көлем – кез келген кеңістіктік фигураға тән мән, ол қарастырылатын беттердің арасына салынған кеңістік бөлігін сандық түрде көрсетеді.объект. Призманың көлемін келесі жалпы формула арқылы есептеуге болады:
V=Soсағ.
Яғни, табанның биіктігі мен ауданының көбейтіндісі қажетті V мәнін береді. Түзу призманың табандары тең болғандықтан, ауданды анықтау үшін So олардың кез келгенін алуға болады.
Жоғарыда келтірілген формуланы оның басқа түрлерімен салыстырғанда түзу призмаға арнайы қолданудың артықшылығы – фигураның биіктігін табу өте оңай, өйткені ол бүйір жиегінің ұзындығына сәйкес келеді.
Бүйірлік аймақ
Қарастырылып отырған класстың түзу фигурасының көлемін ғана емес, оның бүйір бетін де есептеу ыңғайлы. Шынында да, оның кез келген жағы тіктөртбұрыш немесе шаршы. Әрбір студент бұл жалпақ фигуралардың ауданын қалай есептеу керектігін біледі, ол үшін көрші қабырғаларды бір-біріне көбейту керек.
Призманың табаны қабырғалары ai-ге тең ерікті n-бұрыш деп есептейік. i индексі 1-ден n-ге дейін орындалады. Бір тіктөртбұрыштың ауданы келесідей есептеледі:
Si=aiсағ.
Бүйір бетінің ауданын Sb есептеу оңай, егер сіз барлық Si тіктөртбұрыштарды қоссаңыз. Бұл жағдайда Sbтүзу призманың соңғы формуласын аламыз:
Sb=h∑i=1(ai)=hPo.
Осылайша, түзу призманың бүйір бетінің ауданын анықтау үшін оның биіктігін бір табанның периметріне көбейту керек.
Үшбұрышты призма мәселесі
Түзу призма берілген деп есептейік. Негізі тікбұрышты үшбұрыш. Бұл үшбұрыштың катеттері 12 см және 8 см. Призманың биіктігі 15 см болса, фигураның көлемін және оның жалпы ауданын есептеу керек.
Алдымен түзу призманың көлемін есептейік. Табандарында орналасқан үшбұрыштың (тіктөртбұрыш) ауданы бар:
So=a1a2/2=128/2=48см2.
Сіз болжағандай, a1 және a2 - бұл теңдеудегі аяқтар. Негіз аумағы мен биіктігін біле отырып (мәселенің жағдайын қараңыз) V формуласын пайдалана аласыз:
V=Soсағ=4815=720см3.
Фигураның жалпы ауданы екі бөліктен тұрады: негіздердің аудандары және бүйір беті. Екі негіздің аудандары:
S2o=2So=482=96см2.
Бүйір бетінің ауданын есептеу үшін тікбұрышты үшбұрыштың периметрін білу керек. Пифагор теоремасы бойынша оның гипотенузасын a3 есептеңіз, бізде:
a3 =√(a12+ a2 2)=√(122+ 82)=14,42 см.
Онда оң жақ призманың табанының үшбұрышының периметрі:
болады.
P=a1+ a2+ a3=12 + 8 + 14, 42=34, 42 см.
Алдыңғы абзацта жазылған Sb формуласын қолдану,алу:
Sb=hP=1534, 42=516, 3 см.
S2o және Sb аудандарын қоссақ, зерттелетін геометриялық фигураның жалпы бетінің ауданын аламыз:
S=S2o+ Sb=96 + 516, 3=612, 3см2.
Оптикада жарық шығаратын заттардың спектрін зерттеу үшін арнайы әйнектен жасалған үшбұрышты призма қолданылады. Мұндай призмалар дисперсия құбылысына байланысты жарықты құрамдас жиіліктерге ыдыратуға қабілетті.
