Көлем – кеңістіктің барлық үш өлшемінде нөлден басқа өлшемдері бар кез келген фигураның сипаттамасы. Бұл мақалада стереометрия (кеңістіктік фигуралардың геометриясы) тұрғысынан біз призманы қарастырамыз және әртүрлі типтегі призмалардың көлемдерін қалай табуға болатынын көрсетеміз.
Призма дегеніміз не?
Стереометрия бұл сұраққа нақты жауап береді. Ондағы призма деп екі бірдей көпбұрышты бет пен бірнеше параллелограммнан құралған фигура түсініледі. Төмендегі суретте төрт түрлі призма көрсетілген.
Олардың әрқайсысын келесідей алуға болады: көпбұрышты (үшбұрыш, төртбұрыш және т.б.) және белгілі бір ұзындықтағы кесіндіні алу керек. Содан кейін көпбұрыштың әрбір төбесін параллель кесінділер арқылы басқа жазықтыққа көшіру керек. Бастапқыға параллель болатын жаңа жазықтықта бастапқыда таңдалғанға ұқсас жаңа көпбұрыш алынады.
Призмалар әртүрлі болуы мүмкін. Сонымен, олар түзу, қиғаш және дұрыс болуы мүмкін. Егер призманың бүйір жиегі (сегмент,табандарының төбелерін қосатын) фигураның табандарына перпендикуляр болса, онда соңғысы түзу болады. Сәйкесінше, егер бұл шарт орындалмаса, онда біз көлбеу призма туралы айтып отырмыз. Дұрыс фигура – табаны тең бұрышты және тең бүйірлі тік призма.
Кейінірек мақалада біз призмалардың осы түрлерінің әрқайсысының көлемін қалай есептеу керектігін көрсетеміз.
Дұрыс призмалардың көлемі
Ең қарапайым жағдайдан бастайық. Негізі n бұрышты дұрыс призманың көлемінің формуласын береміз. Қарастырылып отырған класстың кез келген фигурасы үшін көлемнің V формуласы келесідей:
V=Soсағ.
Яғни көлемді анықтау үшін So негіздерінің бірінің ауданын есептеп, оны фигураның h биіктігіне көбейту жеткілікті.
Дұрыс призма жағдайында оның табанының қабырғасының ұзындығын а әрпімен, ал бүйір жиегінің ұзындығына тең биіктігін h әрпімен белгілейік. Егер n-бұрыштың негізі дұрыс болса, оның ауданын есептеудің ең оңай жолы келесі әмбебап формуланы қолдану болып табылады:
S=n/4a2ctg(pi/n).
Теңдікке а жақтарының саны мен бір қабырғасының ұзындығының мәнін ауыстырып, n бұрыштық негіздің ауданын есептеуге болады. Мұндағы котангенс функциясы радианмен көрсетілген pi/n бұрышы үшін есептелетінін ескеріңіз.
S үшін жазылған теңдікті ескере отырып, қалыпты призманың көлемінің соңғы формуласын аламыз:
V=n/4a2hctg(pi/n).
Әр нақты жағдай үшін V үшін сәйкес формулаларды жазуға болады, бірақ олардың барлығыжазбаша жалпы өрнектен бірегей түрде шығады. Мысалы, жалпы жағдайда тікбұрышты параллелепипед болып табылатын дұрыс төртбұрышты призма үшін мынаны аламыз:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 сағ.
Егер бұл өрнекте h=a алсақ, онда текше көлемінің формуласын аламыз.
Тіке призмалардың көлемі
Тура фигуралар үшін жоғарыда кәдімгі призмалар үшін берілген көлемді есептеудің жалпы формуласы жоқ екенін бірден байқаймыз. Қарастырылып отырған мәнді тапқан кезде бастапқы өрнекті пайдалану керек:
V=Soсағ.
Мұнда h - алдыңғы жағдайдағыдай бүйірлік жиектің ұзындығы. So негізгі аймағына келетін болсақ, ол әртүрлі мәндерді қабылдай алады. Көлемнің түзу призмасын есептеу міндеті оның табанының ауданын табуға дейін қысқарады.
So мәнін есептеу базаның өзінің сипаттамаларына негізделуі керек. Мысалы, егер бұл үшбұрыш болса, ауданды келесідей есептеуге болады:
So3=1/2aсағa.
Мұнда ha үшбұрыштың апотемасы, яғни оның биіктігі a табанына дейін түсірілген.
Егер негізі төртбұрыш болса, онда ол трапеция, параллелограмм, тіктөртбұрыш немесе толығымен ерікті тип болуы мүмкін. Барлық осы жағдайлар үшін ауданды анықтау үшін сәйкес планиметриялық формуланы пайдалану керек. Мысалы, трапеция үшін бұл формула келесідей болады:
So4=1/2(a1+ a2)сағ a.
Мұнда ha трапеция биіктігі, a1 және a2 ұзындықтар. оның параллель қабырғалары.
Үлкен ретті көпбұрыштардың ауданын анықтау үшін оларды қарапайым фигураларға (үшбұрыштар, төртбұрыштар) бөліп, соңғыларының аудандарының қосындысын есептеу керек.
Еңкейтілген призма көлемі
Бұл призманың көлемін есептеудің ең қиын жағдайы. Мұндай сандар үшін жалпы формула да қолданылады:
V=Soсағ.
Алайда көпбұрыштың ерікті түрін көрсететін негіздің ауданын табудың күрделілігіне фигураның биіктігін анықтау мәселесі қосылады. Ол әрқашан көлбеу призманың бүйір жиегінің ұзындығынан аз болады.
Бұл биіктікті табудың ең оңай жолы - фигураның кез келген бұрышын (жалпақ немесе екібұрышты) білсеңіз. Егер мұндай бұрыш берілсе, онда оны призманың ішінде қабырғаларының бірі ретінде h биіктігін қамтитын тік бұрышты үшбұрыш салу үшін пайдалану керек және тригонометриялық функциялар мен Пифагор теоремасын пайдалана отырып, h мәнін табу керек.
Геометриялық көлем мәселесі
Биіктігі 14 см, қабырғасының ұзындығы 5 см болатын табаны үшбұрышты дұрыс призма берілген. Үшбұрышты призманың көлемі қандай?
Біз дұрыс фигура туралы айтып отырғандықтан, бізде белгілі формуланы қолдануға құқығымыз бар. Бізде:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151,55 см3.
Үшбұрышты призма өте симметриялы фигура болып табылады, оның түрінде әртүрлі архитектуралық құрылымдар жиі жасалады. Бұл шыны призма оптикада қолданылады.
