Интеграл ұғымының пайда болуы оның туындысы арқылы қарсы туынды функцияны табу, сонымен қатар жұмыс көлемін, күрделі фигуралардың ауданын, жүріп өткен жолды анықтау қажеттілігінен туындады. сызықтық емес формулалармен сипатталған қисықтармен сипатталған параметрлер.
Курстан
және физика жұмыс күш пен қашықтықтың көбейтіндісіне тең екенін біледі. Егер барлық қозғалыс тұрақты жылдамдықта болса немесе қашықтықты бірдей күш қолдану арқылы жеңсе, онда бәрі түсінікті, оларды көбейту керек. Тұрақтының интегралы дегеніміз не? Бұл y=kx+c түріндегі сызықтық функция.
Бірақ жұмыс кезінде күш өзгеруі мүмкін және қандай да бір табиғи тәуелділікте. Жылдамдық тұрақты болмаса, жүріп өткен жолды есептеу кезінде де осындай жағдай орын алады.
Сонымен, интеграл не үшін екені түсінікті. Аргументтің шексіз аз өсімімен функция мәндерінің туындыларының қосындысы ретінде оның анықтамасы функцияның сызығымен жоғарыдан шектелген фигураның ауданы ретінде бұл ұғымның негізгі мағынасын толығымен сипаттайды. жиектері анықтаманың шекаралары бойынша.
Жан Гастон Дарбу, француз математигі, XIX ғасырдың екінші жартысындағасырда интегралдың не екенін анық түсіндірді. Ол тіпті орта мектеп оқушысы үшін бұл мәселені түсіну қиын болмайтынын анық айтты.
Кез келген күрделі форманың функциясы бар делік. Аргумент мәндері сызылған у осі шағын интервалдарға бөлінген, ең дұрысы олар шексіз аз, бірақ шексіздік ұғымы абстрактілі болғандықтан, тек шағын сегменттерді елестету жеткілікті, мән оның әдетте грек әрпі Δ (delta) арқылы белгіленеді.
Функция кішкентай кірпіштерге "кесілген" болып шықты.
Әр аргумент мәні сәйкес функция мәндері сызылған y осіндегі нүктеге сәйкес келеді. Бірақ таңдалған аймақтың екі шекарасы болғандықтан, функцияның екі мәні де болады, көп және аз.
Үлкен мәндердің көбейтінділерінің қосындысы Δ өсімі үлкен Darboux қосындысы деп аталады және S деп белгіленеді. Сәйкесінше, шектелген аумақтағы кіші мәндер Δ-ға көбейтіледі, барлығы бірге шағын Darboux сомасын құрайды s. Бөлімнің өзі тіктөртбұрышты трапецияға ұқсайды, өйткені функция сызығының қисықтығы оның шексіз аз өсімімен елемеуге болады. Мұндай геометриялық фигураның ауданын табудың ең оңай жолы - функцияның үлкен және кіші мәндерінің көбейтінділерін Δ-өсіміне қосу және екіге бөлу, яғни оны арифметикалық орта ретінде анықтау.
Бұл Дарбо интегралы:
s=Σf(x) Δ - аз мөлшер;
S=Σf(x+Δ)Δ – үлкен сома.
Сонымен интеграл дегеніміз не? Функция сызығымен және анықтау шекараларымен шектелген аумақ келесідей болады:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Яғни, үлкен және кіші Darboux қосындыларының арифметикалық ортасы.c дифференциация кезінде нөлге орнатылған тұрақты мән.
Осы ұғымның геометриялық өрнегі негізінде интегралдың физикалық мағынасы айқындалады. Жылдамдық функциясымен белгіленген және абсцисса осі бойындағы уақыт аралығымен шектелген фигураның ауданы жүріп өткен жолдың ұзындығы болады.
L=∫f(x)dx t1 мен t2 аралығындағы, Мұнда
f(x) – жылдамдық функциясы, яғни уақыт бойынша өзгеретін формула;
L – жол ұзындығы;
t1 – басталу уақыты;
t2 – саяхаттың аяқталу уақыты.
Дәл сол принцип бойынша жұмыс көлемі анықталады, тек абцисса бойымен қашықтық, ал әрбір нақты нүктеге түсірілген күш мөлшері ордината бойымен кескінделеді.
