Нүктеден жазықтыққа немесе түзу сызыққа дейінгі қашықтықты білу кеңістіктегі фигуралардың көлемі мен бетінің ауданын есептеуге мүмкіндік береді. Бұл қашықтықты геометрияда есептеу көрсетілген геометриялық объектілер үшін сәйкес теңдеулерді қолдану арқылы жүзеге асырылады. Мақалада оны анықтау үшін қандай формулаларды қолдануға болатынын көрсетеміз.
Түзу және жазық теңдеулер
Нүктеден жазықтыққа және түзуге дейінгі қашықтықты анықтауға арналған формулаларды бермес бұрын, бұл нысандарды қандай теңдеулер сипаттайтынын көрсетейік.
Нүктені анықтау үшін берілген координаталар жүйесіндегі координаталар жиыны пайдаланылады. Мұнда осьтер бірлік векторлары бірдей және өзара перпендикуляр болатын декарттық тікбұрышты жүйені ғана қарастырамыз. Жазықтықта ерікті нүкте екі координатпен, кеңістікте үш координатпен сипатталады.
Түзу сызықты анықтау үшін әр түрлі теңдеу түрлері қолданылады. Мақаланың тақырыбына сәйкес біз ұсынамызолардың тек екеуі екі өлшемді кеңістікте сызықтарды анықтау үшін пайдаланылады.
Векторлық теңдеу. Оның келесі белгісі бар:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Мұндағы бірінші мүше түзуде жатқан белгілі нүктенің координаталарын білдіреді. Екінші мүше - бағыт векторының координаталары ерікті λ санына көбейтілген.
Жалпы теңдеу. Оның белгісі келесідей:
Ax + By + C=0;
мұндағы A, B, C кейбір коэффициенттер.
Жалпы теңдеу көбінесе жазықтықтағы түзулерді анықтау үшін қолданылады, алайда нүктеден жазықтықтағы түзуге дейінгі қашықтықты табу үшін векторлық өрнекпен жұмыс істеу ыңғайлырақ.
Үшөлшемді кеңістіктегі жазықтықты бірнеше математикалық жолмен де жазуға болады. Дегенмен, көбінесе есептердегі жалпы теңдеу бар, ол келесідей жазылады:
Ax + By + Cz + D=0.
Бұл белгілеудің басқаларға қатысты артықшылығы – онда жазықтыққа перпендикуляр вектордың координаталары анық жазылады. Бұл вектор ол үшін бағыттаушы деп аталады, ол нормаль бағытымен сәйкес келеді және оның координаттары (A; B; C) тең.
Жоғарыдағы өрнек екі өлшемді кеңістіктегі түзу үшін жалпы теңдеуді жазу формасымен сәйкес келетінін ескеріңіз, сондықтан есептерді шығарған кезде бұл геометриялық нысандарды шатастырмау үшін абай болу керек.
Нүкте мен түзу арасындағы қашықтық
Түзу мен арасындағы қашықтықты қалай есептеу керектігін көрсетейікекі өлшемді кеңістіктегі нүкте.
Біраз Q(x1; y1) нүктесі және берілген жол болсын:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Түзу мен нүкте арасындағы қашықтық Q нүктесінен оған түсірілген осы түзуге перпендикуляр кесіндінің ұзындығы ретінде түсініледі.
Осы қашықтықты есептемес бұрын осы теңдеудегі Q координаттарын ауыстыру керек. Егер олар оны қанағаттандыратын болса, онда Q берілген түзуге жатады, ал сәйкес қашықтық нөлге тең. Егер нүктенің координаталары теңдікке әкелмесе, онда геометриялық объектілер арасындағы қашықтық нөлге тең емес. Оны мына формула арқылы есептеуге болады:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Мұнда P – түзудің еркін нүктесі, ол PQ¯ векторының басы болып табылады. u¯ векторы түзу үшін бағыттаушы кесінді, яғни оның координаттары (a; b).
Бұл формуланы пайдалану үшін алымдағы айқас көбейтіндіні есептеу мүмкіндігі қажет.
Нүкте мен түзу мәселесі
Сізге Q(-3; 1) және теңдеуді қанағаттандыратын түзу арасындағы қашықтықты табу керек делік:
y=5x -2.
Өрнекке Q координаталарын қойып, Q түзуде жатпағанына көз жеткізе аламыз. Жоғарыдағы абзацта берілген d формуласын осы теңдеуді векторлық түрде ұсынсаңыз, қолдануға болады. Осылай жасайық:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Енді осы түзудің кез келген нүктесін алайық, мысалы (0; -2) және одан басталып Q: нүктесінде аяқталатын векторды құрастырайық.
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Енді қашықтықты анықтау үшін формуланы қолданыңыз, біз мынаны аламыз:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Нүктеден ұшаққа дейінгі қашықтық
Түзу жағдайындағыдай, жазықтық пен кеңістіктегі нүктенің арақашықтығы деп берілген нүктеден жазықтыққа перпендикуляр түсірілген және оны қиып өтетін кесіндінің ұзындығы түсініледі.
Кеңістікте нүкте үш координата арқылы берілген. Егер олар (x1; y1; z1) тең болса, онда олардың арасындағы қашықтық жазықтықты және бұл нүктені мына формула арқылы есептеуге болады:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Формуланы пайдалану тек жазықтықтан түзуге дейінгі қашықтықты табуға мүмкіндік беретінін ескеріңіз. Перпендикуляр кесінді жазықтықпен қиылысатын нүктенің координаталарын табу үшін осы кесінді жататын түзудің теңдеуін жазу керек, содан кейін осы түзу мен берілген жазықтықтың ортақ нүктесін табу керек.
Ұшақ пен нүктеге қатысты мәселе
Нүктенің координаталары (3; -1; 2) және жазықтық мына формуламен берілгені белгілі болса, нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табыңыз:
-y + 3z=0.
Сәйкес формуланы пайдалану үшін алдымен коэффициенттерді жазамызберілген ұшақ. Айнымалы x және бос мүше болмағандықтан, A және D коэффициенттері нөлге тең. Бізде:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Бұл жазықтық координат басынан өтетінін және х осінің оған жататынын көрсету оңай.
Нүкте координаталары мен жазықтық коэффициенттерін d қашықтығы формуласына ауыстырсақ:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Егер сіз нүктенің x координатасын өзгертсеңіз, d қашықтығы өзгермейтінін ескеріңіз. Бұл факт нүктелер жиыны (x; -1; 2) берілген жазықтыққа параллель түзу түзетінін білдіреді.
