Туынды ұғымы әрқайсымызға мектеп кезінен таныс болса керек. Әдетте студенттер мұны түсіну қиынға соғады, әрине, өте маңызды. Ол адамдар өмірінің әртүрлі салаларында белсенді түрде қолданылады және көптеген инженерлік әзірлемелер туындыны қолдану арқылы алынған математикалық есептеулерге негізделген. Бірақ сандардың туындылары қандай екенін, оларды қалай есептеуге болатынын және олар бізге қай жерде пайдалы екенін талдауға кіріспес бұрын, тарихқа үңіліп көрейік.
Тарих
Математикалық талдаудың негізі болып табылатын туынды ұғымды («ойлап тапқан» деп айту дұрыс болар еді, өйткені ол табиғатта олай болмаған) бәрімізге белгілі Исаак Ньютон ашқан. бүкіләлемдік тартылыс заңының ашылуынан. Денелердің жылдамдығы мен үдеуінің табиғатын байланыстыру үшін бұл ұғымды физикада алғаш рет қолданған ол. Көптеген ғалымдар Ньютонды осы тамаша өнертабысы үшін әлі күнге дейін мақтайды, өйткені шын мәнінде ол дифференциалдық және интегралдық есептеулердің негізін ойлап тапты, шын мәнінде математиканың «есептеу» деп аталатын тұтас саласының негізін жасады. Егер сол кезде Нобель сыйлығы болса, Ньютон оны бірнеше рет жоғары ықтималдықпен алған болар еді.
Басқа керемет ақылдарсыз емес. Ньютоннан басқаТуынды мен интегралдың дамуымен Леонгард Эйлер, Луи Лагранж және Готфрид Лейбниц сияқты көрнекті математика данышпандары жұмыс істеді. Олардың арқасында біз дифференциалдық есептеу теориясын бүгінгі күнге дейін бар түрінде алдық. Айтпақшы, туындының геометриялық мағынасын ашқан Лейбниц болды, ол функция графигіне жанаманың көлбеуінің тангенсі ғана емес болып шықты.
Сандардың туындылары дегеніміз не? Мектепте өткенді қайталап көрейік.
Туынды дегеніміз не?
Бұл ұғымды бірнеше түрлі жолмен анықтауға болады. Ең қарапайым түсініктеме - туынды функцияның өзгеру жылдамдығы. Кейбір у функциясының х-тің графигін елестетіңіз. Егер ол түзу болмаса, онда оның графикте кейбір қисық сызықтары, өсу және кему кезеңдері болады. Бұл графиктің шексіз аз интервалын алсақ, ол түзу кесінді болады. Сонымен, у координатасы бойындағы осы шексіз кішкентай кесінді өлшемінің х координатасы бойындағы өлшемге қатынасы берілген нүктедегі осы функцияның туындысы болады. Егер функцияны белгілі бір нүктеде емес, біртұтас ретінде қарастырсақ, онда туынды функция, яғни у-ның х-ке белгілі бір тәуелділігі шығады.
Сонымен қатар, туындының функцияның өзгеру жылдамдығы ретіндегі физикалық мағынасынан басқа, геометриялық мағынасы да бар. Ол туралы қазір сөйлесеміз.
Геометриялық мағына
Сандардың туындыларының өзі белгілі бір санды білдіреді, олар дұрыс түсініксіз алып жүрмейдімағынасы жоқ. Туынды функцияның өсу немесе кему жылдамдығын ғана емес, берілген нүктедегі функция графигіне жанаманың көлбеуінің тангенсін де көрсетеді екен. Өте анық анықтама емес. Оны толығырақ талдап көрейік. Бізде функцияның графигі бар делік (қызығу үшін қисық сызығын алайық). Оның нүктелерінің шексіз саны бар, бірақ бір ғана нүктеде максимум немесе минимум бар аймақтар бар. Кез келген осындай нүкте арқылы сол нүктедегі функцияның графигіне перпендикуляр болатын түзу жүргізуге болады. Мұндай сызық жанама деп аталады. Біз оны OX осімен қиылысуға дейін өткіздік делік. Сонымен, жанама мен OX осі арасында алынған бұрыш туынды арқылы анықталады. Дәлірек айтқанда, бұл бұрыштың тангенсі оған тең болады.
Енді ерекше жағдайлар туралы аздап сөйлесейік және сандардың туындыларын талдаймыз.
Ерекше жағдайлар
Айтқанымыздай, сандардың туындылары белгілі бір нүктедегі туындының мәндері болып табылады. Мысалы, y=x2 функциясын алайық. x туындысы сан, ал жалпы жағдайда 2x-ке тең функция. Егер туындыны есептеу керек болса, мысалы, x0=1 нүктесінде, онда біз y'(1)=21=2 аламыз. Барлығы өте қарапайым. Күрделі санның туындысы қызықты жағдай болып табылады. Біз күрделі санның не екенін егжей-тегжейлі түсіндіруге кіріспейміз. Айталық, бұл қиял бірлігі деп аталатын - квадраты -1 болатын санды қамтитын сан. Мұндай туындыны есептеу келесі жағдайда ғана мүмкін боладышарттар:
1) Y және X-ке қатысты нақты және жорамал бөлшектердің бірінші ретті ішінара туындылары болуы керек.
2) Бірінші абзацта сипатталған ішінара туындылардың теңдігімен байланысты Коши-Риман шарттары орындалды.
Тағы бір қызықты жағдай, бұрынғыдай күрделі болмаса да, теріс санның туындысы. Шын мәнінде, кез келген теріс санды -1-ге көбейтілген оң сан ретінде көрсетуге болады. Тұрақты мен функцияның туындысы тұрақтының функцияның туындысына көбейтіндісіне тең.
Туындының күнделікті өмірдегі рөлі туралы білу қызықты болады және біз қазір осыны талқылаймыз.
Қолданба
Әрқайсымыз өмірінде бір рет болса да математиканың оған пайдалы болуы екіталай деп ойлайтын шығармыз. Ал туынды сияқты күрделі нәрсенің, сірә, мүлде қолданысы жоқ. Расында, математика іргелі ғылым, оның барлық жемісін негізінен физика, химия, астрономия, тіпті экономика ғылымдары дамытады. Туынды математикалық талдаудың бастамасы болды, ол бізге функциялардың графиктерінен қорытынды шығаруға мүмкіндік берді және біз оның арқасында табиғат заңдарын түсіндіруді және оларды өз пайдамызға айналдыруды үйрендік.
Қорытынды
Әрине, өмірде туынды әркімге қажет емес. Бірақ математика логиканы дамытады, ол сөзсіз қажет болады. Математиканы ғылымдардың патшайымы деп бекер атамаған: ол білімнің басқа салаларын түсінуге негіз болады.
