Функция және оның ерекшеліктерін зерттеу қазіргі математиканың негізгі тарауларының бірі болып табылады. Кез келген функцияның негізгі құрамдас бөлігі оның қасиеттерін ғана емес, сонымен қатар осы функцияның туындысының параметрлерін бейнелейтін графиктер болып табылады. Осы күрделі тақырыпты қарастырайық. Сонымен функцияның ең үлкен және ең төменгі нүктелерін табудың ең жақсы жолы қандай?
Функция: Анықтама
Басқа мәннің мәндеріне қандай да бір түрде тәуелді кез келген айнымалыны функция деп атауға болады. Мысалы, f(x2) функциясы квадраттық болып табылады және бүкіл x жиынының мәндерін анықтайды. x=9 делік, сонда функциямыздың мәні 92=81-ге тең болады.
Функциялардың әртүрлі түрлері болады: логикалық, векторлық, логарифмдік, тригонометриялық, сандық және т.б. Оларды зерттеумен Лакруа, Лагранж, Лейбниц және Бернулли сияқты көрнекті адамдар айналысты. Олардың жазбалары функцияларды зерттеудің заманауи әдістерінде қорған болады. Минималды нүктелерді таппас бұрын, функцияның және оның туындысының мағынасын түсіну өте маңызды.
Туынды және оның рөлі
Барлық функциялар ішіндеолардың айнымалы мәндеріне байланысты, яғни олар өз мәнін кез келген уақытта өзгерте алады. Графикте бұл у осі бойымен төмен түсетін немесе көтерілетін қисық ретінде бейнеленетін болады (бұл графиктің вертикаль бойындағы «y» сандарының бүкіл жиынтығы). Сонымен, функцияның максимум және минимум нүктесін анықтау дәл осы «тербелістермен» байланысты. Бұл қатынастың не екенін түсіндірейік.
Кез келген функцияның туындысы оның негізгі сипаттамаларын зерттеу және функцияның қаншалықты жылдам өзгеретінін (яғни «x» айнымалысына байланысты мәнін өзгертетінін) есептеу үшін графикке салынады. Функция өскен кезде оның туындысының графигі де өседі, бірақ кез келген секундта функция төмендей бастауы мүмкін, содан кейін туындының графигі кемиді. Туынды минустан плюсқа өтетін нүктелер минималды нүктелер деп аталады. Минималды ұпайларды табу жолын білу үшін туынды ұғымды жақсырақ түсіну керек.
Туындыны қалай есептеу керек?
Функцияның туындысын анықтау және есептеу дифференциалдық есептеуден бірнеше ұғымды білдіреді. Тұтастай алғанда, туынды анықтаманың өзін келесідей көрсетуге болады: бұл функцияның өзгеру жылдамдығын көрсететін мән.
Көптеген оқушылар үшін оны анықтаудың математикалық жолы күрделі болып көрінеді, бірақ іс жүзінде бәрі әлдеқайда қарапайым. Сізге тек ұстану кереккез келген функцияның туындысын табудың стандартты жоспары. Төменде дифференциалдау ережелерін қолданбай және туындылар кестесін жаттамай-ақ функцияның минималды нүктесін қалай табуға болатыны сипатталған.
- Функцияның туындысын график арқылы есептеуге болады. Мұны істеу үшін функцияның өзін бейнелеу керек, содан кейін оның бір нүктесін алу керек (суреттегі А нүктесі) абсцисса осіне тігінен төмен сызық сызыңыз (x0 нүктесі) және А нүктесінде функция графигі үшін жанама сызыңыз. Абсцисса осі мен жанама а бұрышын құрайды. Функцияның қаншалықты жылдам өсетінін есептеу үшін осы бұрыштың тангенсін есептеу керек.
- Тангенс пен х осінің бағыты арасындағы бұрыштың тангенсі А нүктесі бар шағын аудандағы функцияның туындысы болып табылады. Бұл әдіс туындыны анықтаудың геометриялық әдісі болып саналады..
Функцияны зерттеу әдістері
Мектептің математикалық оқу бағдарламасында функцияның минимум нүктесін екі жолмен табуға болады. Біз графикті пайдаланып бірінші әдісті талдадық, бірақ туындының сандық мәнін қалай анықтауға болады? Мұны істеу үшін туындының қасиеттерін сипаттайтын және «x» сияқты айнымалы мәндерді сандарға түрлендіруге көмектесетін бірнеше формулаларды үйрену керек. Келесі әдіс әмбебап болып табылады, сондықтан оны функциялардың барлық дерлік түрлеріне (геометриялық және логарифмдік) қолдануға болады.
- Функцияны туынды функцияға теңестіру керек, содан кейін ережелерді пайдаланып өрнекті жеңілдету керекдифференциация.
- нөлге бөлу).
- Осыдан кейін функцияның бастапқы түрін бүкіл өрнекті нөлге теңестіретін қарапайым теңдеуге түрлендіру керек. Мысалы, егер функция келесідей көрінсе: f(x)=2x3+38x, онда дифференциалдау ережелеріне сәйкес оның туындысы f'(x)=3x тең болады. 2 +1. Содан кейін бұл өрнекті келесі түрдегі теңдеуге түрлендіреміз: 3x2+1=0.
- Теңдеуді шешіп, «x» нүктелерін тапқаннан кейін оларды х осіне салып, белгіленген нүктелер арасындағы осы аймақтардағы туындының оң немесе теріс екенін анықтау керек. Белгілеуден кейін функция қай сәтте төмендей бастайтыны белгілі болады, яғни ол таңбаны минустан керісінше өзгертеді. Осылайша сіз ең төменгі және максималды ұпайларды таба аласыз.
Дифференциация ережелері
Функция мен оның туындысын үйренудің ең негізгі бөлігі дифференциалдау ережелерін білу болып табылады. Тек олардың көмегімен қиын өрнектерді және үлкен күрделі функцияларды түрлендіруге болады. Олармен танысайық, олардың саны өте көп, бірақ олардың барлығы дәрежелік және логарифмдік функциялардың тұрақты қасиеттеріне байланысты өте қарапайым.
- Кез келген тұрақтының туындысы нөлге тең (f(x)=0). Яғни, f(x)=x5+ x - 160 туындысы келесі пішінді алады: f' (x)=5x4+1.
- Екі мүшенің қосындысының туындысы: (f+w)'=f'w + fw'.
- Логарифмдік функцияның туындысы: (logad)'=d/ln ad. Бұл формула логарифмдердің барлық түрлеріне қолданылады.
- Дәреженің туындысы: (x)'=nxn-1. Мысалы, (9x2)'=92x=18x.
- Синусоидалы функцияның туындысы: (sin a)'=cos a. Егер а бұрышының күнәсы 0,5 болса, оның туындысы √3/2 болады.
Экстремум ұпай
Біз ең төменгі нүктелерді қалай табуға болатынын анықтадық, дегенмен функцияның максималды нүктелері түсінігі бар. Егер минимум функция минустан плюске өтетін нүктелерді белгілесе, онда максималды нүктелер х осіндегі функцияның туындысы плюстен қарама-қарсыға өзгеретін нүктелер болып табылады - минус.
Максималды ұпайларды жоғарыда сипатталған әдіс арқылы табуға болады, тек олар функция төмендей бастайтын аймақтарды белгілейтінін ескеру керек, яғни туынды нөлден аз болады.
Математикада екі ұғымды да «экстремум нүктелері» тіркесімен алмастыру әдетке айналған. Тапсырма осы нүктелерді анықтауды сұрағанда, бұл функцияның туындысын есептеп, минималды және максималды нүктелерді табу қажет екенін білдіреді.
