Математикадағы маңызды ұғым – функция. Оның көмегімен сіз табиғатта болып жатқан көптеген процестерді елестете аласыз, формулаларды, кестелерді және графиктегі суреттерді пайдалана отырып, белгілі бір шамалар арасындағы байланысты көрсете аласыз. Мысал ретінде сұйық қабаттың денеге түсіретін қысымының суға бату тереңдігіне, үдеу – белгілі бір күштің затқа әсер етуіне, температураның артуына – берілетін энергияға және басқа да көптеген процестерге тәуелділігін келтіруге болады. Функцияны зерттеу графигін тұрғызуды, оның қасиеттерін, көлемін және мәндерін, өсу және кему аралықтарын нақтылауды қамтиды. Бұл процестің маңызды сәті - экстремум нүктелерін табу. Мұны қалай дұрыс жасау керектігі туралы және әңгіме жалғасады.
Нақты мысалдағы тұжырымдаманың өзі туралы
Медицинада функция графигін салу науқастың жағдайын визуалды түрде көрсете отырып, оның ағзасындағы аурудың барысы туралы айта алады. Тәулікпен берілген уақыт OX осі бойымен, ал адам денесінің температурасы OY осі бойымен бейнеленген деп алайық. Суретте бұл көрсеткіштің қалай күрт көтерілетіні анық көрсетілген жәнесосын құлайды. Сондай-ақ, функцияның бұрын ұлғайып, азая бастаған сәттерін көрсететін ерекше нүктелерді байқау оңай және керісінше. Бұл экстремалды нүктелер, яғни науқастың температурасының бұл жағдайда критикалық мәндері (максимум және минимум), содан кейін оның жағдайында өзгерістер орын алады.
Еңкейту бұрышы
Функцияның туындысы қалай өзгеретінін суреттен анықтау оңай. Егер графиктің түзу сызықтары уақыт өте келе жоғарылайтын болса, онда ол оң болады. Ал олар неғұрлым тік болса, көлбеу бұрышы артқан сайын туындының мәні соғұрлым жоғары болады. Төмендеу кезеңдерінде бұл мән экстремум нүктелерінде нөлге айналатын теріс мәндерді қабылдайды және соңғы жағдайда туындының графигі OX осіне параллель сызылады.
Кез келген басқа процесті дәл осылай өңдеу керек. Бірақ бұл тұжырымдаманың ең жақсы жағы графиктерде анық көрсетілген әртүрлі денелердің қозғалысын айта алады.
Қозғалыс
Кейбір нысан біркелкі жылдамдыққа ие болып, түзу сызықта қозғалды делік. Бұл кезеңде дененің координаталарының өзгеруі белгілі бір қисық сызықты графикалық түрде көрсетеді, оны математик параболаның тармағы деп атайды. Сонымен қатар, функция үнемі өсіп отырады, өйткені координат индикаторлары секунд сайын тезірек және жылдам өзгереді. Жылдамдық графигі туындының әрекетін көрсетеді, оның мәні де артады. Бұл қозғалыстың маңызды нүктелері жоқ екенін білдіреді.
Ол шексіз жалғаса беретін еді. Бірақ егер дене кенеттен баяулауды шешсе, тоқтап, басқасында қозғала бастаңызбағыт? Бұл жағдайда координаттардың көрсеткіштері төмендей бастайды. Функция критикалық мәннен өтіп, жоғарылаудан кемуге ауысады.
Бұл мысалда функция графигіндегі экстремум нүктелері монотонды болуды тоқтатқан сәтте пайда болатынын тағы да түсінуге болады.
Туындының физикалық мағынасы
Бұрын сипатталған туынды мәнінің функцияның өзгеру жылдамдығы екенін анық көрсетті. Бұл нақтылау өзінің физикалық мағынасын қамтиды. Экстремалды нүктелер диаграммадағы маңызды аймақтар болып табылады. Нөлге тең болатын туындының мәнін есептеу арқылы оларды анықтауға және анықтауға болады.
Тағы бір белгі бар, ол экстремум үшін жеткілікті шарт. Мұндай иілу орындарындағы туынды өз таңбасын өзгертеді: максимум аймағында "+"-ден "-"-ге дейін және минимум аймағында "-"-ден "+"-ға дейін.
Гравитация әсерінен қозғалыс
Басқа жағдайды елестетіп көрейік. Доп ойнаған балалар оны көкжиекке бұрышпен қозғала бастағандай етіп лақтырды. Бастапқы сәтте бұл нысанның жылдамдығы ең үлкен болды, бірақ ауырлық күшінің әсерінен ол төмендей бастады және әр секунд сайын бірдей мәнге шамамен 9,8 м/с2. Бұл еркін түсу кезінде жердің тартылыс күшінің әсерінен пайда болатын үдеудің мәні. Айда ол шамамен алты есе аз болар еді.
Дененің қозғалысын сипаттайтын график тармақтары бар парабола,төмен қарай. Экстремум нүктелерін қалай табуға болады? Бұл жағдайда бұл дененің (шардың) жылдамдығы нөлдік мәнді қабылдайтын функцияның шыңы. Функцияның туындысы нөлге айналады. Бұл жағдайда бағыт, демек жылдамдықтың мәні керісінше өзгереді. Дене секунд сайын жылдамырақ және жылдамырақ төмен ұшады және бірдей мөлшерде - 9,8 м/с2.
Екінші туынды
Алдыңғы жағдайда жылдамдық модулінің графигі түзу сызық түрінде салынған. Бұл сызық алдымен төменге бағытталған, өйткені бұл шаманың мәні үнемі төмендейді. Уақыттың бір нүктесінде нөлге жеткеннен кейін бұл мәннің көрсеткіштері арта бастайды және жылдамдық модулінің графикалық көрсетілімінің бағыты күрт өзгереді. Сызық қазір жоғары бағытталған.
Жылдамдық координатаның уақыт туындысы болғандықтан да критикалық нүктеге ие. Бұл аймақта бастапқыда төмендейтін функция жоғарылай бастайды. Бұл функция туындысының экстремум нүктесінің орны. Бұл жағдайда жанаманың еңісі нөлге айналады. Ал үдеу координатаның уақытқа қатысты екінші туындысы бола отырып, таңбаны “-”-ден “+”-ге өзгертеді. Ал біркелкі баяу қозғалыс біркелкі жылдамдатады.
Жеделдету диаграммасы
Енді төрт суретті қарастырыңыз. Олардың әрқайсысы үдеу сияқты физикалық шаманың уақыт бойынша өзгеру графигін көрсетеді. «А» жағдайында оның мәні оң және тұрақты болып қалады. Бұл дененің жылдамдығы, оның координатасы сияқты, үнемі өсетінін білдіреді. Егер аобъект осылайша шексіз ұзақ уақыт бойы қозғалады деп елестетіңіз, координатаның уақытқа тәуелділігін көрсететін функция үнемі өсетін болады. Бұдан шығатыны, оның сыни аймақтары жоқ. Сондай-ақ туындының графигінде экстремум нүктелері жоқ, яғни сызықты өзгеретін жылдамдық.
Оң және үнемі өсіп келе жатқан үдеумен "B" жағдайына да қатысты. Рас, координаттар мен жылдамдықтың графиктері бұл жерде біршама күрделірек болады.
Үдеу нөлге ұмтылғанда
«В» суретін қарап отырып, дененің қозғалысын сипаттайтын мүлде басқа суретті көруге болады. Оның жылдамдығы тармақтары төмен қараған парабола түрінде графикалық түрде бейнеленетін болады. Егер үдеу өзгерісін сипаттайтын сызықты ол OX осімен қиылысқанша жалғастырсақ, әрі қарай, онда біз осы сыни мәнге дейін үдеу нөлге тең болатынын елестетуге болады, онда объектінің жылдамдығы артады. барған сайын баяу. Координаталық функция туындысының экстремум нүктесі параболаның дәл басында болады, содан кейін дене қозғалыс сипатын түбегейлі өзгертіп, басқа бағытта қозғала бастайды.
Соңғы жағдайда «G» қозғалыс сипатын дәл анықтау мүмкін емес. Бұл жерде біз тек қарастырылып жатқан кейбір кезең үшін жеделдету жоқ екенін білеміз. Бұл нысан орнында қала алатынын немесе қозғалыс тұрақты жылдамдықта болатынын білдіреді.
Қосуды үйлестіру тапсырмасы
Мектептегі алгебра сабағында жиі кездесетін және келесіге ұсынылатын тапсырмаларға көшейік.емтиханға дайындық. Төмендегі суретте функцияның графигі көрсетілген. Экстремум ұпайларының қосындысын есептеу қажет.
Функция сипаттамаларының өзгеруі байқалатын критикалық аймақтардың координаталарын анықтау арқылы y осі үшін мұны істейік. Қарапайым сөзбен айтқанда, иілу нүктелері үшін х осі бойынша мәндерді табамыз, содан кейін алынған шарттарды қосуды жалғастырамыз. Графикке сәйкес олар келесі мәндерді қабылдайтыны анық: -8; -7; -5; -3; -2; бір; 3. Бұл -21-ге жетеді, бұл жауап.
Оңтайлы шешім
Тәжірибелік тапсырмаларды орындауда оңтайлы шешімді таңдау қаншалықты маңызды болуы мүмкін екенін түсіндіру қажет емес. Өйткені, мақсатқа жетудің көптеген жолдары бар, ал ең жақсы жол, әдетте, біреу ғана. Бұл, мысалы, кемелерді, ғарыш кемелерін және ұшақтарды, сәулет құрылымдарын жобалау кезінде осы жасанды заттардың оңтайлы пішінін табу үшін өте қажет.
Көлік құралдарының жылдамдығы көбінесе тартылыс күштерінің және басқа да көптеген көрсеткіштердің әсерінен туындайтын шамадан тыс жүктемелерден су және ауа арқылы қозғалу кезіндегі қарсылықты сауатты азайтуға байланысты. Теңіздегі кеме дауыл кезінде тұрақтылық сияқты қасиеттерді қажет етеді, өзен кемесі үшін ең аз тартпа маңызды. Оңтайлы дизайнды есептеу кезінде графиктегі экстремум нүктелері күрделі мәселенің ең жақсы шешімі туралы түсінік бере алады. Мұндай тапсырмалар жиі кездеседіэкономикада, экономикалық салаларда, көптеген басқа өмірлік жағдайларда шешіледі.
Ежелгі тарихтан
Төтенше мәселелер тіпті ежелгі данышпандарды да алаңдатқан. Грек ғалымдары математикалық есептеулер арқылы аудандар мен көлемдердің құпиясын сәтті ашты. Периметрі бірдей әртүрлі фигуралар жазықтығында шеңбердің әрқашан ең үлкен ауданы болатынын олар бірінші болып түсінді. Сол сияқты, допқа бірдей бетінің ауданы бар кеңістіктегі басқа нысандардың арасында максималды көлем беріледі. Архимед, Евклид, Аристотель, Аполлоний сияқты атақты тұлғалар осындай мәселелерді шешуге барын салды. Герон экстремум нүктелерін табуда өте сәтті болды, олар есептеулерге жүгініп, тапқыр құрылғыларды құрастырды. Оларға бірдей принцип бойынша жұмыс істейтін бу, сорғылар және турбиналар арқылы қозғалатын автоматты машиналар кіреді.
Карфаген құрылысы
Сюжеті төтенше есептердің бірін шешуге негізделген аңыз бар. Данышпандардың көмегіне жүгінген финикиялық ханшайым көрсеткен іскерлік көзқарастың нәтижесі Карфаген құрылысы болды. Бұл ежелгі және әйгілі қаланың жер учаскесін Африка тайпаларының бірінің көсемі Дидоға (әміршінің аты осылай атаған) сыйға тартты. Алғашында оған жер телімінің ауданы онша үлкен болып көрінбеді, өйткені келісім-шарт бойынша ол терімен жабылуы керек еді. Бірақ ханшайым сарбаздарына оны жұқа жолақтарға кесіп, олардан белдік жасауды бұйырды. Бұл сайтты қамтығаны соншалық,Бүкіл қала сәйкес келетін орын.
Есептің шығу тегі
Ал енді көне дәуірден кейінгі дәуірге көшейік. Бір қызығы, 17 ғасырда Кеплерге шарап сатушымен кездесуі математикалық талдаудың негіздерін түсінуге түрткі болды. Саудагердің өз кәсібін жетік меңгергені сонша, ол бөшкедегі сусынның көлемін оған темір жгутты түсіру арқылы оңай анықтайтын. Осындай қызық ойға келген атақты ғалым бұл дилемманы өзі шеше алды. Ол кездегі шебер дайындаушылар ыдыстарды бекіту сақиналарының шеңберінің белгілі бір биіктікте және радиусында максималды сыйымдылыққа ие болатындай етіп жасауды меңгерген екен.
Бұл Кеплер үшін әрі қарай ойлануға себеп болды. Бочарлар өз тәжірибесін ұрпақтан-ұрпаққа бере отырып, ұзақ ізденіс, қателіктер және жаңа талпыныстар арқылы оңтайлы шешімге келді. Бірақ Кеплер бұл процесті жылдамдатқысы келді және математикалық есептеулер арқылы қысқа уақыт ішінде солай істеуді үйренгісі келді. Әріптестер жинаған оның барлық әзірлемелері Ферма мен Ньютон - Лейбництің қазір белгілі теоремаларына айналды.
Ең көп аймақ мәселесі
Бізде ұзындығы 50 см сым бар деп елестетейік. Одан ең үлкен ауданы бар тіктөртбұрышты қалай жасауға болады?
Шешім қабылдауды қарапайым және белгілі шындықтардан бастау керек. Біздің фигурамыздың периметрі 50 см болатыны анық. Ол да екі қабырғасының екі есе ұзындықтарынан тұрады. Бұл олардың біреуін "X" деп белгілеп, екіншісін (25 - X) ретінде көрсетуге болатынын білдіреді.
Осы жерден аламызауданы X (25 - X) тең. Бұл өрнекті көптеген мәндерді қабылдайтын функция ретінде көрсетуге болады. Мәселені шешу үшін олардың максимумын табу қажет, яғни экстремум нүктелерін табу керек.
Ол үшін бірінші туындыны тауып, оны нөлге теңестіреміз. Нәтиже қарапайым теңдеу: 25 - 2X=0.
Одан біз тараптардың бірі X=12, 5 екенін білеміз.
Сондықтан, басқа: 25 – 12, 5=12, 5.
Есептің шешімі қабырғасы 12,5 см болатын шаршы болады екен.
Ең жоғары жылдамдықты қалай табуға болады
Тағы бір мысалды қарастырайық. Түзу сызықты қозғалысы S=- t3 + 9t2 – 24t – 8 теңдеуімен сипатталатын дене бар деп елестетіңіз, мұндағы қашықтық жүру метрмен, ал уақыт секундпен көрсетіледі. Максималды жылдамдықты табу қажет. Бұны қалай істейді? Жүктеп алынған жылдамдықты, яғни бірінші туындыны табыңыз.
Теңдеуді аламыз: V=- 3t2 + 18t – 24. Енді есепті шешу үшін қайтадан экстремум нүктелерін табу керек. Мұны алдыңғы тапсырмадағыдай орындау керек. Жылдамдықтың бірінші туындысын тауып, оны нөлге теңестіріңіз.
Аламыз: - 6t + 18=0. Демек, t=3 с. Бұл дененің жылдамдығы сыни мәнге ие болатын уақыт. Алынған мәліметтерді жылдамдық теңдеуіне қойып, мынаны аламыз: V=3 м/с.
Бірақ бұл дәл максималды жылдамдық екенін қалай түсінуге болады, өйткені функцияның критикалық нүктелері оның максималды немесе ең төменгі мәндері болуы мүмкін? Тексеру үшін секундты табу керекжылдамдықтың туындысы. Ол минус таңбасы бар 6 санымен өрнектеледі. Бұл табылған нүкте максимум дегенді білдіреді. Ал екінші туындының оң мәні болған жағдайда минимум болады. Осылайша, табылған шешім дұрыс болып шықты.
Мысал ретінде берілген тапсырмалар функцияның экстремум нүктелерін табу арқылы шешілетін тапсырмалардың бір бөлігі ғана. Шындығында, одан да көп. Ал мұндай білім адамзат өркениеті үшін шексіз мүмкіндіктер ашады.
