Функциялар мен олардың графиктерін зерттеу орта мектеп бағдарламасы аясында ерекше назар аударылатын тақырып. Математикалық талдаудың кейбір негіздері – дифференциация – математикадан емтиханның бейіндік деңгейіне енгізілген. Кейбір мектеп оқушылары бұл тақырып бойынша қиындықтарға тап болады, өйткені олар функция мен туындының графиктерін шатастырады, сонымен қатар алгоритмдерді ұмытады. Бұл мақалада тапсырмалардың негізгі түрлері және оларды шешу жолдары қарастырылады.
Функцияның мәні қандай?
Математикалық функция арнайы теңдеу болып табылады. Ол сандар арасында байланыс орнатады. Функция аргумент мәніне байланысты.
Функцияның мәні берілген формула бойынша есептеледі. Ол үшін осы формуладағы жарамды мәндер ауқымына сәйкес келетін кез келген аргументті x орнына қойып, қажетті математикалық амалдарды орындаңыз. Не?
Функцияның ең кіші мәнін қалай табуға болады?графикалық функцияны пайдалану керек пе?
Функцияның аргументке тәуелділігін графикалық түрде көрсету функция графигі деп аталады. Ол айнымалының немесе аргументтің мәні көлденең абсцисса осі бойымен және сәйкес функция мәні тік ордината осі бойымен сызылған белгілі бірлік сегменті бар жазықтықта салынған.
Аргументтің мәні неғұрлым үлкен болса, ол графикте соғұрлым оң жақта орналасады. Ал функцияның мәні неғұрлым үлкен болса, нүкте соғұрлым жоғары болады.
Бұл не дейді? Функцияның ең кіші мәні графикте ең төменгі орналасқан нүкте болады. Оны диаграмма сегментінде табу үшін сізге қажет:
1) Осы сегменттің соңын тауып, белгілеңіз.
2) Осы сегменттің қай нүктесі ең төмен екенін көрнекі түрде анықтаңыз.
3) Жауап ретінде нүктені у осіне проекциялау арқылы анықтауға болатын оның сандық мәнін жазыңыз.
Туынды диаграммадағы экстремум нүктелері. Қайда қарау керек?
Бірақ есептерді шығарғанда кейде функцияның емес, оның туындысының графигі беріледі. Кездейсоқ ақымақ қателік жібермеу үшін шарттарды мұқият оқып шыққан жөн, өйткені бұл экстремум нүктелерін қай жерден іздеу керек екеніне байланысты.
Сонымен, туынды – функцияның лездік өсу жылдамдығы. Геометриялық анықтамаға сәйкес туынды берілген нүктеге тікелей түсірілген жанаманың еңісіне сәйкес келеді.
Экстремум нүктелерінде жанама Окс осіне параллель болатыны белгілі. Бұл оның еңісі 0 екенін білдіреді.
Осыдан біз экстремум нүктелерінде туынды х осінде жатыр немесе жойылады деген қорытынды жасауға болады. Бірақ оған қоса, осы нүктелерде функция өз бағытын өзгертеді. Яғни, өсу кезеңінен кейін ол төмендей бастайды, ал туынды, сәйкесінше, оңнан теріске ауысады. Немесе керісінше.
Егер туынды оңнан теріс болса, бұл максималды нүкте. Егер терістен оң болса - ең төменгі нүкте.
Маңызды: тапсырмада ең төменгі немесе максималды нүктені көрсету қажет болса, жауап ретінде абсцисса осі бойымен сәйкес мәнді жазу керек. Бірақ функцияның мәнін табу керек болса, алдымен функцияға аргументтің сәйкес мәнін қойып, оны есептеу керек.
Туындыны пайдаланып экстремум нүктелерін қалай табуға болады?
Қарастырылған мысалдар негізінен туынды немесе антидериватив графигімен жұмыс істеуді қамтитын емтиханның №7 тапсырмасына қатысты. Бірақ USE 12-тапсырмасы - сегменттегі функцияның ең кіші мәнін табу (кейде ең үлкені) - ешқандай сызбасыз орындалады және математикалық талдаудың негізгі дағдыларын қажет етеді.
Оны орындау үшін туындыны пайдаланып экстремум нүктелерін таба білу керек. Оларды табу алгоритмі келесідей:
- Функцияның туындысын табыңыз.
- Оны нөлге қойыңыз.
- Теңдеудің түбірін табыңыз.
- Алынған нүктелердің экстремум немесе иілу нүктелері екенін тексеріңіз.
Ол үшін диаграмманы сызып, жалғастырыңызалынған интервалдар сегменттерге жататын сандарды туындыға ауыстыру арқылы туындының белгілерін анықтайды. Егер теңдеуді шешкен кезде қос еселік түбірлер болса, бұл иілу нүктелері.
Теоремаларды қолданып, қай нүктелер минималды, қайсысы максимум екенін анықтаңыз
Туындыны пайдаланып функцияның ең кіші мәнін есептеңіз
Алайда, осы әрекеттердің барлығын орындай отырып, біз x осі бойынша ең төменгі және максималды нүктелердің мәндерін табамыз. Бірақ сегменттегі функцияның ең кіші мәнін қалай табуға болады?
Белгілі бір нүктедегі функцияға сәйкес келетін санды табу үшін не істеу керек? Бұл формулаға аргумент мәнін ауыстыру керек.
Ең кіші және максимум нүктелері сегменттегі функцияның ең кіші және ең үлкен мәніне сәйкес келеді. Сонымен, функцияның мәнін табу үшін алынған x мәндерін пайдаланып функцияны есептеу керек.
Маңызды! Егер тапсырма минимум немесе максимум нүктені көрсетуді талап етсе, онда жауап ретінде x осінің бойымен сәйкес мәнді жазу керек. Бірақ егер функцияның мәнін табу керек болса, онда алдымен аргументтің сәйкес мәнін функцияның орнына қойып, қажетті математикалық амалдарды орындау керек.
Осы сегментте төменгі деңгейлер болмаса, мен не істеуім керек?
Бірақ экстремум нүктелері жоқ сегменттегі функцияның ең кіші мәнін қалай табуға болады?
Бұл функцияның монотонды түрде төмендейтінін немесе жоғарылайтынын білдіреді. Содан кейін функцияға осы сегменттің шеткі нүктелерінің мәнін ауыстыру керек. Екі жол бар.
1) Есептеутуынды және оның оң немесе теріс болатын аралықтары, берілген сегментте функцияның азаюы немесе артуы туралы қорытынды жасау үшін.
Оларға сәйкес функцияға аргументтің үлкен немесе кіші мәнін ауыстырыңыз.
2) Функцияның екі нүктесін де ауыстырып, алынған функция мәндерін салыстырыңыз.
Туындыны табу қандай тапсырмаларда міндетті емес
Әдетте, USE тапсырмаларында әлі де туындыны табу керек. Тек бір-екі ерекшелік бар.
1) Парабола.
Параболаның төбесі формула бойынша табылады.
Егер a < 0 болса, онда параболаның тармақтары төмен бағытталған. Оның шыңы - максималды нүкте.
Егер a > 0 болса, онда параболаның тармақтары жоғары бағытталған болса, шыңы ең төменгі нүкте болып табылады.
Параболаның шыңын есептеп, оның мәнін функцияға ауыстырып, функцияның сәйкес мәнін есептеу керек.
2) Функция y=tg x. Немесе y=ctg x.
Бұл функциялар монотонды түрде артады. Демек, аргументтің мәні неғұрлым үлкен болса, функцияның өзі де соғұрлым үлкен болады. Әрі қарай сегменттегі функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін қалай табуға болатынын мысалдар арқылы қарастырамыз.
Тапсырмалардың негізгі түрлері
Тапсырма: функцияның ең үлкен немесе ең кіші мәні. Диаграммадағы мысал.
Суретте f (x) функциясының туындысының графигін [-6; 6]. Сегменттің қай нүктесінде [-3; 3] f(x) ең кіші мәнді қабылдайды ма?
Сонымен, жаңадан бастағандар үшін көрсетілген сегментті таңдау керек. Онда функция бір рет нөлдік мәнді қабылдайды және оның белгісін өзгертеді - бұл экстремум нүктесі. Теріс саннан туынды оң болатындықтан, бұл функцияның минималды нүктесі екенін білдіреді. Бұл нүкте 2 аргументінің мәніне сәйкес келеді.
Жауабы: 2.
Мысалдар қарауды жалғастырыңыз. Тапсырма: сегменттегі функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін табыңыз.
Функцияның ең кіші мәнін табыңыз y=(x - 8) [6; 8].
1. Күрделі функцияның туындысын алыңыз.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Алынған туындыны нөлге теңестіріп, теңдеуді шешіңіз.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0 немесе ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, түбірлері жоқ
3. Функцияға шеткі нүктелердің мәнін, сондай-ақ теңдеудің алынған түбірлерін ауыстырыңыз.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Жауабы: -1.
Сонымен, бұл мақалада мамандандырылған математикадағы USE тапсырмаларын сәтті шешу үшін қажетті сегменттегі функцияның ең кіші мәнін қалай табуға болатыны туралы негізгі теория қарастырылды. Сонымен қатар математикалық элементтерталдау емтиханның С бөлігіндегі тапсырмаларды шешу кезінде қолданылады, бірақ олар күрделіліктің басқа деңгейін білдіретіні анық, ал олардың шешімдерінің алгоритмдерін бір материал шеңберіне сыйғызу қиын.
