Жазық теңдеулер. Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-02 17:50

Жазықтық нүктемен және түзумен бірге негізгі геометриялық элемент болып табылады. Оны қолдану арқылы кеңістіктік геометрияда көптеген фигуралар салынған. Бұл мақалада біз екі жазықтықтың арасындағы бұрышты қалай табуға болады деген сұрақты толығырақ қарастырамыз.

Тұжырымдама

Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш туралы айтпас бұрын, геометрияның қандай элементі туралы айтып жатқанын жақсы түсіну керек. Терминологияны түсінейік. Жазықтық – кеңістіктегі нүктелердің шексіз жиыны, оларды біріктіріп, біз векторларды аламыз. Соңғысы бір векторға перпендикуляр болады. Оны әдетте жазықтықтың нормаль деп атайды.

Жоғарыдағы суретте жазықтық және оған екі қалыпты вектор көрсетілген. Екі вектордың бір түзуде жатқанын көруге болады. Олардың арасындағы бұрыш 180o.

Теңдеулер

Екі жазықтықтың арасындағы бұрышты, егер қарастырылатын геометриялық элементтің математикалық теңдеуі белгілі болса, анықтауға болады. Мұндай теңдеулердің бірнеше түрі бар,аттары төменде берілген:

• жалпы түрі;
• вектор;
• сегменттерде.

Бұл үш түрі әртүрлі есептерді шешу үшін ең қолайлы, сондықтан олар жиі пайдаланылады.

Жалпы түрдегі теңдеу келесідей:

Ax + By + Cz + D=0.

Мұндағы x, y, z - берілген жазықтыққа жататын ерікті нүктенің координаталары. A, B, C және D параметрлері сандар болып табылады. Бұл белгілеудің ыңғайлылығы мынада: A, B, C сандары жазықтыққа нормаль вектордың координаталары болып табылады.

Ұшақтың векторлық түрін келесідей көрсетуге болады:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Осында (a₂, b₂, c₂) және (a ₁, b₁, c₁) - қарастырылатын жазықтыққа жататын екі координаталық вектордың параметрлері. (x₀, y₀, z_{0) нүкте де осы жазықтықта жатыр. α және β параметрлері тәуелсіз және ерікті мәндерді қабылдай алады.}

Соңында, кесінділердегі жазықтықтың теңдеуі келесі математикалық түрде берілген:

x/p + y/q + z/l=1.

Мұндағы p, q, l - нақты сандар (оның ішінде теріс сандар). Бұл теңдеудің түрі тікбұрышты координаталар жүйесінде жазықтықты бейнелеу қажет болғанда пайдалы, өйткені p, q, l сандары x, y және z осьтерімен қиылысу нүктелерін көрсетеді.ұшақ.

Теңдеудің әрбір түрін қарапайым математикалық амалдар арқылы кез келген басқа түрге түрлендіруге болатынын ескеріңіз.

Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш формуласы

Енді келесі нюансты қарастырыңыз. Үш өлшемді кеңістікте екі жазықтықты тек екі жолмен орналастыруға болады. Не қиылысыңыз, не параллель болыңыз. Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш олардың бағыттаушы векторларының арасында орналасқан нәрсе (қалыпты). Қиылысатын 2 вектор 2 бұрыш құрайды (жалпы жағдайда сүйір және доғал). Жазықтықтар арасындағы бұрыш сүйір деп есептеледі. Теңдеуді қарастырыңыз.

Екі жазықтықтың арасындағы бұрыштың формуласы:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Бұл өрнек n₁¯ және n₂ қалыпты векторларының скаляр көбейтіндісінің тікелей салдары екенін болжау оңай. ¯ қарастырылатын ұшақтар үшін. Нумератордағы нүкте туындысының модулі θ бұрышы тек 0^o - 90^{o аралығындағы мәндерді қабылдайтынын көрсетеді. Бөлгіштегі қалыпты векторлардың модульдерінің көбейтіндісі олардың ұзындықтарының көбейтіндісін білдіреді.}

Ескертпе, егер (n₁¯n_{2¯)=0 болса, онда жазықтықтар тік бұрышта қиылысады.}

Мысалы мәселе

Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш деп нені атайтынын анықтап, келесі есепті шығарамыз. Мысал ретінде. Сонымен, мұндай жазықтықтар арасындағы бұрышты есептеу керек:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Есепті шешу үшін жазықтықтардың бағыт векторларын білу керек. Бірінші жазықтық үшін қалыпты вектор: n₁¯=(2, -3, 0). Екінші жазықтық нормаль векторын табу үшін α және β параметрлерінен кейінгі векторларды көбейту керек. Нәтиже вектор болып табылады: n_{2¯=(5, -3, 2).}

θ бұрышын анықтау үшін алдыңғы абзацтағы формуланы қолданамыз. Біз аламыз:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 рад.

Радианмен есептелген бұрыш 31,26^o сәйкес келеді. Осылайша, есеп шартының жазықтықтары 31, 26^{o бұрышпен қиылысады.}