Тегіс кеңістікте зерттелетін маңызды геометриялық нысан – түзу. Үш өлшемді кеңістікте түзуден басқа жазықтық та бар. Екі нысан да бағыт векторларының көмегімен ыңғайлы түрде анықталған. Бұл не, бұл векторлар түзу мен жазықтықтың теңдеулерін анықтау үшін қалай қолданылады? Осы және басқа сұрақтар мақалада қарастырылған.
Тікелей желі және оны анықтау әдісі
Әр оқушы қандай геометриялық нысан туралы айтып жатқанын жақсы түсінеді. Математика тұрғысынан түзу нүктелер жиыны болып табылады, олар ерікті жұптық байланыс жағдайында параллель векторлар жиынына әкеледі. Сызықтың бұл анықтамасы оған екі және үш өлшемде теңдеу жазу үшін пайдаланылады.
Қарастырылған бір өлшемді нысанды сипаттау үшін төмендегі тізімде берілген теңдеулердің әртүрлі типтері пайдаланылады:
- жалпы көрініс;
- параметрлік;
- вектор;
- канондық немесе симметриялық;
- сегменттерде.
Бұл түрлердің әрқайсысының басқаларға қарағанда біршама артықшылығы бар. Мысалы, кесінділердегі теңдеуді координаталық осьтерге қатысты түзудің мінез-құлқын зерттегенде, жалпы теңдеу берілген түзуге перпендикуляр бағытты тапқанда, сондай-ақ оның бұрышын есептегенде ыңғайлы. x осімен қиылысу (жалпақ корпус үшін).
Осы мақаланың тақырыбы түзудің бағыттаушы векторына қатысты болғандықтан, біз әрі қарай бұл вектор іргелі және анық қамтылған теңдеуді ғана қарастырамыз, яғни векторлық өрнек.
Вектор арқылы түзу сызықты көрсету
Бізде белгілі координаттары (a; b; c) бар кейбір v¯ векторы бар делік. Үш координат болғандықтан, вектор кеңістікте берілген. Оны тікбұрышты координаталар жүйесінде қалай бейнелеуге болады? Бұл өте қарапайым орындалады: үш осьтің әрқайсысында ұзындығы вектордың сәйкес координатасына тең кесінді сызылады. xy, yz және xz жазықтықтарына қалпына келтірілген үш перпендикулярдың қиылысу нүктесі вектордың соңы болады. Оның басы нүкте (0; 0; 0).
Дегенмен, вектордың берілген орны жалғыз емес. Сол сияқты, оның координатасын кеңістіктегі кез келген нүктеге қою арқылы v¯ салуға болады. Бұл аргументтер векторды пайдаланып нақты сызықты орнату мүмкін емес екенін айтады. Ол параллель түзулердің шексіз санының тобын анықтайды.
ҚазірP(x0; y0; z0) бос орынның кейбір нүктесін түзетіңіз. Ал біз шарт қоямыз: түзу П арқылы өтуі керек. Бұл жағдайда v¯ векторында да осы нүкте болуы керек. Соңғы факт P және v¯ арқылы бір жолды анықтауға болатындығын білдіреді. Ол келесі теңдеу түрінде жазылады:
Q=P + λ × v¯
Мұндағы Q - түзуге жататын кез келген нүкте. Бұл нүктені сәйкес λ параметрін таңдау арқылы алуға болады. Жазылған теңдеу векторлық теңдеу, ал v¯ түзудің бағыт векторы деп аталады. Оны P арқылы өтетіндей етіп орналастыру және λ параметрімен ұзындығын өзгерту арқылы Q нүктесінің әрбір нүктесін түзу етіп аламыз.
Координат түрінде теңдеу келесідей жазылады:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Ал айқын (параметрлік) пішінде мынаны жазуға болады:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Егер жоғарыдағы өрнектердегі үшінші координатаны алып тастасақ, онда жазықтықтағы түзудің векторлық теңдеулерін аламыз.
Бағыт векторын білу қандай тапсырмалар үшін пайдалы ?
Ереже бойынша бұл түзулердің параллельдігі мен перпендикулярлығын анықтауға арналған тапсырмалар. Сондай-ақ бағытты анықтайтын тікелей вектор түзулер мен нүкте мен түзу арасындағы қашықтықты есептегенде, түзудің жазықтыққа қатысты әрекетін сипаттау үшін пайдаланылады.
Екісызықтар, егер олардың бағыт векторлары болса, параллель болады. Осыған сәйкес түзулердің перпендикулярлығы олардың векторларының перпендикулярлығы арқылы дәлелденеді. Есептердің бұл түрлерінде жауап алу үшін қарастырылатын векторлардың скаляр көбейтіндісін есептеу жеткілікті.
Түзулер мен нүктелер арасындағы қашықтықты есептеуге арналған тапсырмалар жағдайында бағыт векторы сәйкес формулаға нақты енгізілген. Оны жазып алайық:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Мұнда P1P2¯ - P1 және P нүктелеріне салынған 2 бағытталған сегмент. P2 нүктесі ерікті, v¯ векторымен түзуде жатыр, ал P1 нүктесі қашықтық болуы керек нүкте. анықталу. Ол тәуелсіз болуы мүмкін немесе басқа сызыққа немесе жазықтыққа жатады.
Сызықтар арасындағы қашықтықты олар параллель немесе қиылысатын кезде ғана есептеудің мағынасы бар екенін ескеріңіз. Егер олар қиылысатын болса, онда d нөлге тең болады.
Жоғарыдағы d формуласы жазықтық пен оған параллель түзу арасындағы қашықтықты есептеу үшін де жарамды, тек осы жағдайда ғана P1 жазықтыққа жатуы керек.
Қарастырылған векторды қалай пайдалану керектігін жақсырақ көрсету үшін бірнеше есептерді шығарайық.
Векторлық теңдеу есебі
Түзу келесі теңдеумен сипатталатыны белгілі:
y=3 × x - 4
Сізге сәйкес өрнекті жазуыңыз кереквекторлық пішін.
Бұл әр мектеп оқушысына белгілі, жалпы түрде жазылған түзудің типтік теңдеуі. Оны векторлық түрде қалай қайта жазу керектігін көрсетейік.
Өрнекті келесідей көрсетуге болады:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Ашсаңыз, бастапқы теңдік шығатыны көрініп тұр. Енді оның оң жағын екі векторға бөлеміз, сонда олардың тек біреуінде x болады, бізде:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Жақшадан x-ті алып, оны грек таңбасымен белгілеп, оң жақ векторларын ауыстыру керек:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Біз бастапқы өрнектің векторлық түрін алдық. Түзу сызықтың бағыт векторының координаттары (1; 3).
Сызықтардың салыстырмалы орнын анықтау тапсырмасы
Екі жол кеңістікте берілген:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Олар параллель ме, қиылысып жатыр ма немесе қиылысып жатыр ма?
Нөлдік емес векторлар (-1; 3; 1) және (1; 2; 0) осы сызықтар үшін бағыттаушы болады. Осы теңдеулерді параметрлік түрде өрнектеп, біріншісінің координаталарын екіншісіне ауыстырайық. Біз аламыз:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Табылған λ параметрін жоғарыдағы екі теңдеуге ауыстырсақ, мынаны аламыз:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
γ параметрі бір уақытта екі түрлі мән қабылдай алмайды. Бұл түзулердің бір ортақ нүктесі жоқ, яғни қиылысады деген сөз. Олар параллель емес, өйткені нөлдік емес векторлар бір-біріне параллель емес (олардың параллелдігі үшін бір векторға көбейту арқылы екіншісінің координаталарына әкелетін сан болуы керек).
Ұшақтың математикалық сипаттамасы
Кеңістікке жазықтық орнату үшін жалпы теңдеу береміз:
A × x + B × y + C × z + D=0
Мұнда латынның бас әріптері нақты сандарды білдіреді. Олардың алғашқы үшеуі жазықтықтың нормаль векторының координаталарын анықтайды. Егер ол n¯ арқылы белгіленсе, онда:
n¯=(A; B; C)
Бұл вектор жазықтыққа перпендикуляр, сондықтан оны бағыттаушы деп атайды. Оның білімі, сондай-ақ жазықтыққа жататын кез келген нүктенің белгілі координаталары соңғысын бірегей түрде анықтайды.
Егер P(x1; y1; z1) нүктесі тиесілі болса жазықтықта, содан кейін D кесіндісі келесі түрде есептеледі:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Жазықтықтың жалпы теңдеуін пайдаланып бірнеше есеп шығарайық.
Тапсырмажазықтықтың нормаль векторын табу
Ұшақ келесідей анықталған:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Ол үшін бағыт векторын қалай табуға болады?
Жоғарыда келтірілген теориядан n¯ нормаль векторының координаталары айнымалылардың алдындағы коэффициенттер екендігі шығады. Осыған байланысты n¯ табу үшін теңдеуді жалпы түрде жазу керек. Бізде:
1 / 3 × x + 1/2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Онда жазықтықтың нормаль векторы:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Жазықтық теңдеуін құру есебі
Үш нүктенің координаталары берілген:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Осы нүктелердің барлығын қамтитын жазықтықтың теңдеуі қандай болады.
Бір түзуге жатпайтын үш нүкте арқылы тек бір жазықтықты жүргізуге болады. Оның теңдеуін табу үшін алдымен n¯ жазықтығының бағыт векторын есептейміз. Ол үшін келесідей әрекет етеміз: жазықтыққа жататын ерікті екі векторды тауып, олардың векторлық көбейтіндісін есептейміз. Ол осы жазықтыққа перпендикуляр болатын векторды береді, яғни n¯. Бізде:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Сурет салу үшін M1 нүктесін алыңызжазық өрнектер. Біз аламыз:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Біз алдымен оның бағыт векторын анықтау арқылы кеңістіктегі жазықтықтың жалпы типті өрнегін алдық.
Айқас көбейтінді қасиетін жазықтықтармен есептерді шығарғанда есте сақтау керек, өйткені ол қалыпты вектордың координаталарын қарапайым жолмен анықтауға мүмкіндік береді.
