Маклаурин сериясы және кейбір функцияларды кеңейту

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 05:33

Жоғары математика студенттері берілген қатардың жинақтылық интервалына жататын кейбір дәрежелі қатарлардың қосындысы үздіксіз және шексіз рет дифференциалданған функция болып шығатынын білуі керек. Сұрақ туындайды: берілген ерікті функция f(x) қандай да бір дәрежелі қатарлардың қосындысы екенін бекітуге бола ма? Яғни, қандай жағдайларда f(x) функциясын дәрежелік қатармен көрсетуге болады? Бұл сұрақтың маңыздылығы мынада: f(x) функциясын дәрежелік қатардың алғашқы бірнеше мүшесінің қосындысымен, яғни көпмүшемен шамамен ауыстыруға болады. Функцияны өте қарапайым өрнекпен – көпмүшемен мұндай ауыстыру математикалық талдаудың кейбір есептерін шешу кезінде де ыңғайлы, атап айтқанда: интегралды шешкенде, дифференциалдық теңдеулерді есептегенде және т.б.

Кейбір функция үшін f(х) үшін (n+1)-ші ретке дейінгі туындыларды, соның ішінде соңғысын маңайда есептеуге болатыны дәлелденді (α _{- R; x}0 _{+ R) кейбір нүктенің x=α формуласы жарамды:}

Бұл формула атақты ғалым Брук Тейлордың атымен аталған. Алдыңғы сериядан алынған серия Маклаурин сериясы деп аталады:

Маклаурин сериясында кеңейтуге мүмкіндік беретін ереже:

1. Бірінші, екінші, үшінші… реттердің туындыларын анықтаңыз.
2. x=0 кезіндегі туындылар неге тең екенін есептеңіз.
3. Осы функция үшін Маклаурин сериясын жазып, одан кейін оның жинақтылық аралығын анықтаңыз.
4. Маклаурин формуласының қалған бөлігі болатын интервалды (-R;R) анықтаңыз

R (x) -> 0 n -> шексіздік үшін. Егер біреуі бар болса, ондағы f(x) функциясы Маклаурин сериясының қосындысымен сәйкес келуі керек.

Енді жеке функциялар үшін Маклаурин сериясын қарастырыңыз.

1. Сонымен, біріншісі f(x)=e^x болады. Әрине, оның ерекшеліктеріне сәйкес мұндай функцияның әртүрлі ретті туындылары бар және f^(k)(x)=e^x, мұндағы k барлығына тең. натурал сандар. x=0 орнына қоямыз. Біз f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… аламыз ^{келесідей болады:}

2. f(x)=sin x функциясына арналған Маклаурин қатары. Барлық белгісіздер үшін функцияның f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{''-дан басқа туындылары болатынын бірден түсіндіріңіз. (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), мұндағы k кез келген натурал санға тең. Яғни, қарапайым есептеулерді жүргізгеннен кейін, f(x)=sin x үшін қатар келесідей болады деген қорытындыға келе аламыз:}

3. Енді f(x)=cos x функциясын қарастырып көрейік. Ол барлық белгісіздік үшінерікті ретті туындылары бар және |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Тағы да, кейбір есептеулерді орындағаннан кейін, f(x)=cos x қатары келесідей болатынын аламыз:

Сонымен, біз Маклаурин сериясында кеңейтуге болатын ең маңызды функцияларды тізімдедік, бірақ олар кейбір функциялар үшін Тейлор қатарымен толықтырылған. Енді біз олардың тізімін береміз. Сондай-ақ, Тейлор мен Маклаурин қатарлары жоғары математикадағы қатарларды шешу тәжірибесінің маңызды бөлігі болып табылатынын атап өткен жөн. Сонымен, Тейлор сериясы.

1. Біріншісі f-ii f(x)=ln(1+x) үшін қатар болады. Алдыңғы мысалдардағыдай, бізге f (x)=ln (1 + x) берілгендей, Маклаурин қатарының жалпы түрін пайдаланып қатарды қосуға болады. дегенмен, бұл функция үшін Маклаурин сериясын әлдеқайда оңай алуға болады. Белгілі бір геометриялық қатарды интегралдағаннан кейін біз осы үлгінің f(x)=ln(1+x) үшін қатарды аламыз:

2. Ал екіншісі, біздің мақалада түпкілікті болады, f (x) u003d arctg x үшін серия болады. [-1;1] аралығына жататын x үшін кеңейту жарамды:

Болды. Бұл мақалада жоғары математикада, атап айтқанда, экономикалық және техникалық университеттерде ең жиі қолданылатын Тейлор мен Маклаурин сериялары қарастырылды.