Бастауыш мектепте оқушылар бөлшек сандармен кездеседі. Содан кейін олар әр тақырыпта пайда болады. Бұл сандармен әрекеттерді ұмыту мүмкін емес. Сондықтан жай және ондық бөлшектер туралы барлық ақпаратты білу керек. Бұл ұғымдар қарапайым, бастысы бәрін ретімен түсіну.
Бөлшек сандар не үшін қажет?
Бізді қоршаған әлем тұтас объектілерден тұрады. Сондықтан акциялардың қажеті жоқ. Бірақ күнделікті өмір адамдарды үнемі заттардың және заттардың бөліктерімен жұмыс істеуге итермелейді.
Мысалы, шоколад бірнеше тілімдерден тұрады. Оның плиткасы он екі тіктөртбұрыштан тұратын жағдайды қарастырайық. Егер сіз оны екіге бөлсеңіз, сіз 6 бөлік аласыз. Ол жақсы үшке бөлінеді. Бірақ беске шоколадтың бүтін бөліктерін беруге болмайды.
Айтпақшы, бұл кесінділер қазірдің өзінде бөлшек. Ал олардың әрі қарай бөлінуі күрделі сандарға әкеледі.
«Бөлшек» дегеніміз не?
Бұл бір бөліктен тұратын сан. Сырттай бір-бірінен бөлінген екі санға ұқсайдыкөлденең немесе қиғаш сызық. Бұл функция бөлшек деп аталады. Үстінде (сол жақта) жазылған санды алым деп атайды. Төмендегі (оң жақта) - бөлгіш.
Шынында бөлшек жолағы бөлу белгісі болып шығады. Яғни, алымды дивиденд, ал бөлгішті бөлгіш деп атауға болады.
Қандай бөлшектер бар?
Математикада олардың екі түрі ғана бар: жай және ондық бөлшектер. Мектеп оқушылары бастауыш сыныптарда алғашқыларымен танысып, оларды жай «бөлшек» деп атайды. Екіншісі 5-сыныпта оқиды. Бұл атаулар сол кезде пайда болады.
Жай бөлшектер – жолақпен бөлінген екі сан түрінде жазылатындардың барлығы. Мысалы, 4/7. Ондық - бөлшек бөлігінің позициялық белгісі бар және бүтін саннан үтірмен бөлінген сан. Мысалы, 4, 7. Оқушылар берілген екі мысалдың мүлдем басқа сандар екенін түсінуі керек.
Әр жай бөлшекті ондық бөлшек түрінде жазуға болады. Бұл мәлімдеме керісінше әрқашан дерлік шындық. Ондық бөлшекті жай бөлшек ретінде жазуға мүмкіндік беретін ережелер бар.
Бұл бөлшек түрлерінің қандай ішкі түрлері бар?
Олар зерттеліп жатқандықтан хронологиялық ретпен бастаған дұрыс. Жай бөлшектер бірінші орында. Олардың ішінде 5 кіші түрді ажыратуға болады.
- Дұрыс. Оның алымы әрқашан бөлгіштен кіші.
- Қате. Оның алымы азайғыштан үлкен немесе оған тең.
- Азайтылатын/төмендетілмейтін. Ол сияқты болуы мүмкіндұрыс және бұрыс. Тағы бір маңызды нәрсе, алым мен бөлгіштің ортақ көбейткіштері бар ма. Егер бар болса, онда олар бөлшектің екі бөлігін де бөлуі, яғни оны азайтуы керек.
- Аралас. Бүтін сан оның әдеттегі дұрыс (бұрыс) бөлшек бөлігіне тағайындалады. Және ол әрқашан сол жақта тұрады.
- Композит. Ол бір-біріне бөлінген екі бөлшектен құралады. Яғни, ол бірден үш бөлшек мүмкіндікті қамтиды.
Ондық бөлшектердің тек екі ішкі түрі бар:
- финал, яғни бөлшек бөлігі шектеулі (соңы бар);
- шексіз - ондық бөлшектен кейінгі цифрлары аяқталмайтын сан (оларды шексіз жазуға болады).
Ондық бөлшекті жай бөлшекке қалай түрлендіруге болады?
Егер бұл ақырлы сан болса, ережеге негізделген ассоциация қолданылады - қалай естісем, солай жазамын. Яғни, оны дұрыс оқып, жазу керек, бірақ үтірсіз, бірақ бөлшек сызықпен.
Қажетті бөлгіш туралы кеңес ретінде оның әрқашан бір және бірнеше нөл болатынын есте сақтаңыз. Соңғысы қарастырылып отырған санның бөлшек бөлігіндегі цифрларша жазылуы керек.
Ондық бөлшектердің толық бөлігі болмаса, яғни нөлге тең болса, оларды жай бөлшектерге қалай түрлендіруге болады? Мысалы, 0,9 немесе 0,05 Көрсетілген ережені қолданғаннан кейін нөлдік бүтін сандарды жазу керек болып шығады. Бірақ ол көрсетілмеген. Тек бөлшек бөліктерін жазу ғана қалады. Бірінші сандабөлгіш 10-ға тең болады, екіншісінде 100 болады. Яғни, көрсетілген мысалдарда жауап ретінде сандар болады: 9/10, 5/100. Оның үстіне соңғысын 5-ке азайтуға болады. Сондықтан оның нәтижесін 1/20 деп жазу керек.
Ондық бөлшектің бүтін бөлігі нөлден өзгеше болса, одан жай бөлшекті қалай жасауға болады? Мысалы, 5, 23 немесе 13, 00108. Екі мысал да бүтін бөлікті оқып, оның мәнін жазады. Бірінші жағдайда бұл 5, екіншісінде - 13. Содан кейін бөлшек бөлікке өту керек. Олармен бірдей операцияны орындау қажет. Бірінші сан 23/100, екіншісі - 108/100000 пайда болады. Екінші мәнді қайтадан азайту керек. Жауап аралас бөлшектер: 5 23/100 және 13 27/25000.
Шексіз ондық бөлшекті жай бөлшекке қалай түрлендіруге болады?
Егер ол мерзімді емес болса, онда мұндай операцияны орындау мүмкін емес. Бұл факт әрбір ондық бөлшектің әрқашан соңғы немесе кезеңдікке түрленетініне байланысты.
Мұндай бөлшекпен жасай алатын жалғыз нәрсе - оны дөңгелектеу. Бірақ онда ондық шамамен сол шексіздікке тең болады. Оны кәдімгіге айналдыруға болады. Бірақ кері процесс: ондық жүйеге түрлендіру - ешқашан бастапқы мәнді бермейді. Яғни, шексіз периодты емес бөлшектер жай бөлшекке айналмайды. Бұл есте сақтау керек нәрсе.
Шексіз периодты бөлшек жай бөлшек ретінде қалай жазылады?
Бұл сандарда ондық бөлшектен кейін әрқашан қайталанатын бір немесе бірнеше цифрлар пайда болады. Оларды периодтар деп атайды. Мысалы, 03(3). Мұндағы кезеңде «3». Олар рационал деп жіктеледі, себебі оларды жай бөлшектерге айналдыруға болады.
Периодты бөлшектерді кездестіргендер олардың таза немесе аралас болуы мүмкін екенін біледі. Бірінші жағдайда нүкте бірден үтірден басталады. Екіншісінде бөлшек бөлігі кез келген сандардан басталады, содан кейін қайталау басталады.
Шексіз ондық бөлшекті жай бөлшек ретінде жазу ережесіне сәйкес осы екі сан түрі үшін әртүрлі болады. Таза периодты бөлшектерді жай бөлшектер ретінде жазу өте оңай. Соңғы сандар сияқты, оларды түрлендіру қажет: нүктені алымға жазыңыз, ал 9 саны периодта қанша цифр болса, сонша рет қайталанып, бөлгіш болады.
Мысалы, 0, (5). Санның бүтін бөлігі жоқ, сондықтан бірден бөлшек бөлікке көшу керек. Алымға 5, ал бөлгішке 9 деп жаз. Яғни жауап 5/9 бөлімі болады.
Аралас қарапайым ондық периодты бөлшекті жазу ережесі.
- Бөлшек сандарды нүктеге дейін санау. Олар бөлгіштегі нөлдердің санын көрсетеді.
- Кезеңнің ұзақтығын көру. 9 санының бөлгіші болады.
- Азайғышты жазыңыз: алдымен тоғыз, содан кейін нөл.
- Анумераторды анықтау үшін екі санның айырмасын жазу керек. Ондық үтірден кейінгі барлық сандар нүктемен бірге азайтылады. Шегерілетін - ол нүктесіз.
Мысалы, 0, 5(8) - периодты ондық бөлшекті жай бөлшек ретінде жазыңыз. Кезең алдындағы бөлшек бөлігібір сан. Сондықтан нөл бір болады. Сондай-ақ кезеңде бір ғана цифр бар - 8. Яғни, бір ғана тоғыз бар. Яғни, бөлгіште 90 жазу керек.
58-ден алымды анықтау үшін 5-ті алу керек. 53 шығады. Мысалы, жауап 53/90 жазылуы керек.
Жай бөлшектерді ондық бөлшектерге қалай түрлендіруге болады?
Ең қарапайым нұсқа – бөлгіші 10, 100 және т.б. болатын сан. Содан кейін бөлгіш жай жойылып, бөлшек және бүтін бөліктердің арасына үтір қойылады.
Бөлгіш оңай 10, 100, т.б. айналатын жағдайлар бар. Мысалы, 5, 20, 25 сандары. Оларды сәйкесінше 2, 5 және 4-ке көбейту жеткілікті. Тек бөлгіш үшін ғана емес, алым үшін де бірдей санға көбейту қажет.
Басқа жағдайлардың барлығы үшін қарапайым ереже пайдалы: алымды бөлгішке бөліңіз. Бұл жағдайда сіз екі жауап ала аласыз: соңғы немесе мерзімді ондық бөлшек.
Жай бөлшектері бар әрекеттер
Қосу және азайту
Студенттер оларды басқалардан бұрын таниды. Ал алдымен бөлшектердің бөлгіштері бірдей, содан кейін әртүрлі болады. Жалпы ережелерді осы жоспарға дейін азайтуға болады.
- Бөлгіштердің ең кіші ортақ еселігін табыңыз.
- Барлық жай бөлшектерге қосымша көбейткіштерді жазыңыз.
- Алымдар мен бөлгіштерді олар үшін анықталған көбейткіштерге көбейтіңіз.
- Бөлшектердің алымдарын қосу (азайту) және ортақ бөлімінсіз қалдыруөзгерістер.
- Егер минумератор азайтқыштан кіші болса, онда аралас сан немесе дұрыс бөлшек бар-жоғын анықтау керек.
- Бірінші жағдайда бүтін бөлік бір алуы керек. Бөлшектің алымына азайғышты қосыңыз. Содан кейін азайтуды орындаңыз.
- Екіншісінде - кіші саннан үлкенге дейін азайту ережесін қолдану керек. Яғни, шегерім модулінен минуенд модулін алып тастап, жауап ретінде «-» белгісін қойыңыз.
- Қосу (азайту) нәтижесін мұқият қараңыз. Егер сіз бұрыс бөлшек алсаңыз, онда ол бүкіл бөлікті таңдау керек. Яғни, алымды бөлгішке бөліңіз.
Көбейту және бөлу
Оларды орындау үшін бөлшектерді ортақ бөлгішке келтіру қажет емес. Бұл әрекет етуді жеңілдетеді. Бірақ олар әлі де ережелерді сақтауы керек.
- Жай бөлшектерді көбейту кезінде алымдар мен бөлгіштердегі сандарды ескеру қажет. Кез келген алым мен бөлгіштің ортақ көбейткіші болса, оларды азайтуға болады.
- Алуыштарды көбейту.
- Бөлгіштерді көбейту.
- Егер нәтиже кішірейтілген бөлшек болса, оны қайтадан оңайлату керек.
- Бөлу кезінде алдымен бөлуді көбейтумен, ал бөлгішті (екінші бөлшекті) кері санмен ауыстыру керек (алымы мен бөлімін ауыстырыңыз).
- Одан кейін көбейтудегідей орындаңыз (1-қадамнан бастап).
- Бүтін санға көбейту (бөлу) қажет тапсырмаларда соңғыбұрыс бөлшек түрінде жазылуы керек. Яғни, 1 бөлгішімен. Содан кейін жоғарыда сипатталғандай әрекет етіңіз.
Ондық амалдар
Қосу және азайту
Әрине, ондық бөлшекті әрқашан жай бөлшекке айналдыруға болады. Және бұрыннан сипатталған жоспарға сәйкес әрекет етіңіз. Бірақ кейде бұл аудармасыз әрекет ету ыңғайлырақ. Сонда оларды қосу және азайту ережелері дәл солай болады.
- Санның бөлшек бөлігіндегі, яғни ондық бөлшектен кейінгі цифрлар санын теңестіру. Ондағы жетіспейтін нөл санын тағайындаңыз.
- Бөлшектерді үтірдің астында болатындай етіп жаз.
- Натурал сандар сияқты қосу (азайту).
- Үтірді алып тастаңыз.
Көбейту және бөлу
Мұнда нөлдерді қоспау маңызды. Бөлшектерді мысалда берілгендей қалдыру керек. Содан кейін жоспар бойынша жүріңіз.
- Көбейту үшін үтірді елемей, бөлшектерді бірінің астына жазыңыз.
- Натурал сандарды көбейту.
- Жауаптың оң басынан бастап екі фактордың бөлшек бөлігінде қанша сан болса, сонша цифрды санап, жауапқа үтір қойыңыз.
- Бөлу үшін алдымен бөлгішті түрлендіру керек: оны натурал санға айналдырыңыз. Яғни, бөлгіштің бөлшек бөлігінде қанша цифр бар екеніне байланысты оны 10, 100 және т.б. көбейтіңіз.
- Дивидендті бірдей санға көбейтіңіз.
- Ондық бөлшекті натурал санға бөліңіз.
- Бүтін бөлікті бөлу аяқталған сәтте жауапқа үтір қойыңыз.
Бір мысалда бөлшектің екі түрі де болса ше?
Иә, математикада жай және ондық бөлшектерге амалдарды орындау қажет мысалдар жиі кездеседі. Бұл мәселелердің екі ықтимал шешімі бар. Сандарды объективті түрде өлшеп, ең жақсысын таңдау керек.
Бірінші әдіс: қарапайым ондықтарды көрсету
Бөлу немесе түрлендіру нәтижесінде ақырлы бөлшектер болса, қолайлы. Егер кем дегенде бір сан мерзімді бөлікті берсе, онда бұл техникаға тыйым салынады. Сондықтан қарапайым бөлшектермен жұмыс істегенді ұнатпасаңыз да, оларды санауға тура келеді.
Екінші әдіс: ондық бөлшектерді жай бөлшек ретінде жазу
Ондық бөлшектен кейін 1-2 цифр болса, бұл әдіс ыңғайлы. Егер олар көп болса, өте үлкен қарапайым бөлшек шығуы мүмкін және ондық жазбалар тапсырманы тезірек және оңай есептеуге мүмкіндік береді. Сондықтан тапсырманы әрқашан байсалды бағалап, шешудің ең қарапайым әдісін таңдау керек.
