Георг Кантор (фото мақалада кейінірек берілген) – жиындар теориясын жасап, шексіз үлкен, бірақ бір-бірінен ерекшеленетін трансфинитті сандар ұғымын енгізген неміс математигі. Ол сондай-ақ реттік және негізгі сандарды анықтап, олардың арифметикасын жасады.
Георг Кантор: қысқаша өмірбаян
Санкт-Петербургте 03.03.1845 жылы дүниеге келген. Оның әкесі протестанттық сенімдегі даниялық Георг-Вальдемар Кантор болды, ол саудамен, соның ішінде биржамен айналысты. Оның анасы Мария Бем католик болды және атақты музыканттар отбасынан шыққан. 1856 жылы Георгтың әкесі ауырып қалғанда, отбасы жұмсақ климат іздеп алдымен Висбаденге, содан кейін Франкфуртқа көшті. Баланың математикалық қабілеттері Дармштадт пен Висбадендегі жеке мектептер мен гимназияларда оқып жүргенде 15 жасқа толғанға дейін байқалды. Ақырында Георг Кантор әкесін инженер емес, математик болу ниетіне сендірді.
Цюрих университетінде қысқаша білім алған соң, 1863 жылы Кантор Берлин университетіне физика, философия және математиканы оқуға ауысты. Онда олүйретті:
- Карл Теодор Вейерштрасс, оның талдаудағы мамандануы Георгқа ең көп әсер еткен болуы мүмкін;
- Эрнст Эдуард Куммер, жоғары арифметикадан сабақ берген;
- Леопольд Кронекер, кейінірек Канторға қарсы шыққан сандар теоретигі.
1866 жылы Геттинген университетінде бір семестрді өткізгеннен кейін келесі жылы Георг «Математикада сұрақтар қою өнері есептерді шешуден құндырақ» атты докторлық диссертациясын Карл Фридрих Гаусстың проблемасына қатысты жазды. оның Disquisitiones Arithmeticae (1801) еңбегінде шешілмей қалды. Берлин қыздар мектебінде қысқаша сабақ бергеннен кейін Кантор Галле университетінде жұмыс істей бастады, ол өмірінің соңына дейін алдымен мұғалім, 1872 жылдан бастап доцент, 1879 жылдан бастап профессор болып жұмыс істеді.
Зерттеу
1869-1873 жылдар аралығындағы 10 мақаладан тұратын серияның басында Георг Кантор сандар теориясын қарастырды. Жұмыс оның пәнге деген құштарлығын, Гауссты зерттеуін және Кронеккердің әсерін көрсетті. Кантордың Галледегі әріптесі, оның математикалық қабілетін мойындаған Генрих Эдуард Гейненің ұсынысы бойынша ол тригонометриялық қатарлар теориясына бет бұрып, нақты сандар түсінігін кеңейтті.
1854 жылы неміс математигі Бернхард Риманның күрделі айнымалының функциясы туралы жұмысына сүйене отырып, 1870 жылы Кантор мұндай функцияны тек бір жолмен – тригонометриялық қатармен көрсетуге болатынын көрсетті. Сандардың (нүктелердің) жиынын қарастырумұндай көзқарасқа қайшы келмейтін еді, оны біріншіден, 1872 жылы иррационал сандарды рационал сандардың жинақты тізбектері (бүтін сандардың бөлшектері) тұрғысынан анықтауға және одан әрі өзінің өмірлік жұмысы, жиын теориясы мен тұжырымдамасы бойынша жұмыстың басына әкелді. трансфинитті сандар.
Жиын теориясы
Жиындар теориясы Брауншвейг техникалық институтының математигі Ричард Дедекиндпен хат алмасу нәтижесінде пайда болған Георг Кантор онымен бала кезінен дос болған. Олар жиындар, мейлі шекті, мейлі шексіз болсын, даралықты сақтай отырып, белгілі бір қасиетке ие болатын элементтер жиыны (мысалы, сандар, {0, ±1, ±2..}) деген қорытындыға келді. Бірақ Георг Кантор олардың сипаттамаларын зерттеу үшін жеке сәйкестікті (мысалы, {A, B, C} - {1, 2, 3}) пайдаланғанда, ол олардың мүшелік дәрежесі бойынша, тіпті, бір-бірінен ерекшеленетінін тез түсінді. егер олар шексіз жиындар болса., яғни бөлігі немесе ішкі жиыны өзі сияқты көптеген нысандарды қамтитын жиындар. Оның әдісі көп ұзамай керемет нәтиже берді.
1873 жылы Георг Кантор (математик) рационал сандар шексіз болса да, санауға болатынын көрсетті, өйткені оларды натурал сандармен (яғни 1, 2, 3 және т.б.) бір-біріне сәйкес келтіруге болады. г.). Ол иррационал және рационал сандардан тұратын нақты сандар жиынының шексіз және саналмайтынын көрсетті. Неғұрлым парадоксальды, Кантор барлық алгебралық сандар жиынында сонша элементтер бар екенін дәлелдедінешеу барлық бүтін сандар жиыны және алгебралық емес, иррационал сандардың ішкі жиыны болып табылатын трансценденттік сандар саналмайтын, сондықтан олардың саны бүтін сандардан үлкен және оларды шексіз деп санау керек.
Қарсыластар мен қолдаушылар
Бірақ ол осы нәтижелерді алғаш ұсынған Кантордың мақаласы Креллде жарияланбады, өйткені рецензенттердің бірі Кронеккер үзілді-кесілді қарсы болды. Бірақ Дедекиндтің араласуынан кейін ол 1874 жылы «Барлық нақты алгебралық сандардың сипаттамалық қасиеттері туралы» деген атпен жарық көрді.
Ғылым және жеке өмір
Сол жылы Кантор Интерлакенде (Швейцария) әйелі Уолли Гутманмен бал айында жүргенде, оның жаңа теориясы туралы жақсы пікір айтқан Дедекиндпен кездесті. Джордждың жалақысы аз болды, бірақ 1863 жылы қайтыс болған әкесінің ақшасына ол әйелі мен бес баласына үй салып берді. Оның көптеген мақалалары Швецияда неміс математигінің талантын мойындағандардың бірі болған Геста Миттаг-Леффлер редакциялаған және негізін қалаған Acta Mathematica жаңа журналында жарияланды.
Метафизикамен байланыс
Кантор теориясы шексіздік (мысалы, 1, 2, 3 және т.б. сериялар және одан да күрделі жиындар) математикасына қатысты мүлдем жаңа зерттеу пәні болды, ол көп жағдайда бір-біріне сәйкестікке тәуелді болды. Кантордың жаңа қойылым әдістерін жасауыүздіксіздік пен шексіздікке қатысты сұрақтар оның зерттеуіне екіұшты сипат берді.
Шексіз сандар шынымен де бар екенін дәлелдегенде, ол нақты және потенциалды шексіздікке қатысты ежелгі және ортағасырлық философияға, сондай-ақ ата-анасы берген алғашқы діни білімге жүгінді. 1883 жылы «Жалпы жиындар теориясының негіздері» кітабында Кантор өзінің тұжырымдамасын Платонның метафизикасымен біріктірді.
Бүтін сандар ғана «бар» деп мәлімдеген Кронекер («Бүтін сандарды Құдай жаратты, қалғаны адамның ісі») ұзақ жылдар бойы оның пікірін үзілді-кесілді жоққа шығарып, Берлин университетіне тағайындалуына жол бермеді.
Үздік сандар
1895-97 жж. Георг Кантор өзінің үздіксіздік және шексіздік, оның ішінде шексіз реттік және негізгі сандар туралы түсінігін өзінің ең әйгілі еңбегінде «Трансфинитті сандар теориясын құруға үлес» (1915) деп жариялады. Бұл эссе оның тұжырымдамасын қамтиды, оған ол шексіз жиынды оның ішкі жиындарының бірімен жеке-жеке сәйкестікке қоюға болатынын көрсету арқылы басқарды.
Ең кіші трансфинитті түбегейлі сан астында ол натурал сандармен бір-біріне сәйкес келетін кез келген жиынның кардиналдығын білдірді. Кантор оны aleph-null деп атады. Үлкен трансфинитті жиындар алеф-бір, алеф-екі, т.б. деп белгіленеді. Ол ақырлы арифметикаға ұқсас трансфинитті сандардың арифметикасын одан әрі дамытты. Сонымен олшексіздік ұғымын байытты.
Ол бетпе-бет келген қарсылық пен оның идеяларын толық қабылдауға кеткен уақыт сан деген не деген көне сұрақты қайта бағалау қиындығына байланысты. Кантор түзудегі нүктелер жиынының алеф-нөлге қарағанда жоғары кардиналдығы бар екенін көрсетті. Бұл континуум гипотезасының белгілі мәселесіне әкелді - алеф-нөл мен сызықтағы нүктелердің күші арасында негізгі сандар жоқ. Бұл мәселе 20 ғасырдың бірінші және екінші жартысында үлкен қызығушылық тудырды және оны көптеген математиктер, соның ішінде Курт Годель мен Пол Коэн зерттеді.
Депрессия
1884 жылдан бері Георг Кантордың өмірбаяны оның психикалық ауруының көлеңкесінде қалды, бірақ ол белсенді жұмысын жалғастырды. 1897 жылы Цюрихте бірінші халықаралық математикалық конгресті өткізуге көмектесті. Ішінара оған Кронеккер қарсы болғандықтан, ол жас математиктерге жиі түсіністікпен қарайтын және оларды жаңа идеялар қаупін сезінген мұғалімдердің қудалауынан құтқарудың жолын іздейтін.
Тану
Ғасырлар тоғысында оның жұмысы функция теориясының, талдаудың және топологияның негізі ретінде толығымен танылды. Сонымен қатар, Кантор Георгтың кітаптары математиканың логикалық негіздерінің интуиционистік және формалистік мектептерінің одан әрі дамуына серпін болды. Бұл оқыту жүйесін айтарлықтай өзгертті және көбінесе «жаңа математикамен» байланысты.
1911 жылы Кантор шақырылғандардың қатарында болдыШотландиядағы Сент-Эндрюс университетінің 500 жылдығын мерекелеу. Ол жақында жарияланған Principia Mathematica еңбегінде неміс математигі туралы бірнеше рет сілтеме жасаған Бертран Расселмен кездесуге үміттенді, бірақ бұл болмады. Университет Канторға құрметті дәреже берді, бірақ сырқатына байланысты ол марапатты өзі қабылдай алмады.
Кантор 1913 жылы зейнеткерлікке шықты, кедейшілікте өмір сүрді және Бірінші дүниежүзілік соғыс кезінде аштыққа ұшырады. 1915 жылы оның 70 жылдық мерейтойына арналған мерекелік шаралар соғысқа байланысты тоқтатылды, бірақ оның үйінде шағын рәсім болды. Ол өмірінің соңғы жылдарын өткізген Галледегі психиатриялық ауруханада 06.01.1918 жылы қайтыс болды.
Георг Кантор: өмірбаян. Отбасы
1874 жылы 9 тамызда неміс математигі Уолли Гутманға үйленді. Ерлі-зайыптылардың 4 ұл, 2 қызы болды. Соңғы бала 1886 жылы Кантор сатып алған жаңа үйде дүниеге келген. Әкесінің мұрасы отбасын асырауға көмектесті. 1899 жылы кенже ұлының қайтыс болуы Кантордың денсаулығына қатты әсер етті, содан бері депрессия оны тастаған жоқ.
