Математикада теңдеулерді шешудің орны ерекше. Бұл процестің алдында теорияны оқып-үйренудің көп сағаттары өтеді, оның барысында студент теңдеулерді шешуді, олардың формасын анықтауды және дағдыны толық автоматизмге жеткізуді үйренеді. Дегенмен, тамырларды іздеу әрқашан мағынасы жоқ, өйткені олар жай ғана болмауы мүмкін. Түбірлерді табудың арнайы әдістері бар. Бұл мақалада біз негізгі функцияларды, олардың қолданылу аясын, сондай-ақ олардың түбірлері жоқ жағдайларды талдаймыз.
Қай теңдеудің түбірі жоқ?
Теңдеу бірдей ақиқат болатын x нақты аргументтері болмаса, теңдеудің түбірі болмайды. Маман емес адам үшін бұл тұжырым, көптеген математикалық теоремалар мен формулалар сияқты, өте анық емес және дерексіз болып көрінеді, бірақ бұл теорияда. Іс жүзінде бәрі өте қарапайым болады. Мысалы: 0x=-53 теңдеуінің шешімі жоқ, өйткені нөлмен көбейтіндісі нөлден басқа мән беретін x саны жоқ.
Енді біз теңдеулердің ең негізгі түрлерін қарастырамыз.
1. Сызықтық теңдеу
Теңдеу сызықтық деп аталады, егер оның оң және сол бөліктері сызықтық функциялар түрінде берілген: ax + b=cx + d немесе жалпыланған түрде kx + b=0. Мұндағы a, b, c, d белгілі. сандар, ал х – белгісіз шама. Қай теңдеудің түбірі жоқ? Сызықтық теңдеулердің мысалдары төмендегі суретте көрсетілген.
Негізінде сызықтық теңдеулер жай ғана сан бөлігін бір бөлікке, ал x мазмұнын екіншісіне жылжыту арқылы шешіледі. mx \u003d n түріндегі теңдеу шығады, мұнда m және n - сандар, ал x - белгісіз. х-ті табу үшін екі бөлікті де m-ге бөлу жеткілікті. Сонда x=n/m. Негізінде сызықтық теңдеулердің бір ғана түбірі болады, бірақ түбірі шексіз көп немесе мүлде болмайтын жағдайлар да кездеседі. m=0 және n=0 кезінде теңдеу 0x=0 пішімін алады. Кез келген сан мұндай теңдеудің шешімі болады.
Бірақ қандай теңдеудің түбірі жоқ?
m=0 және n=0 болғанда, теңдеудің нақты сандар жиынынан түбірлері болмайды. 0x=-1; 0x=200 - бұл теңдеулердің түбірі жоқ.
2. Квадрат теңдеу
Квадрат теңдеу – a=0 үшін ax2 + bx + c=0 түріндегі теңдеу. Квадрат теңдеуді шешудің ең көп тараған жолы – оны шешу дискриминант арқылы. Квадрат теңдеудің дискриминантын табу формуласы: D=b2 - 4ac. Онда x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
екі түбір бар.
D > 0 болғанда теңдеудің екі түбірі болады, D=0 болғанда - бір түбір. Бірақ қандай квадрат теңдеудің түбірі жоқ?Квадрат теңдеудің түбірлерінің санын бақылаудың ең оңай жолы - функцияның графигі, ол парабола. > 0 кезінде бұтақтар жоғары бағытталған, < 0 болғанда бұтақтар төмен түсірілген. Дискриминант теріс болса, мұндай квадрат теңдеудің нақты сандар жиынында түбірі болмайды.
Дискриминантты есептемей-ақ түбірлер санын визуалды түрде анықтауға болады. Ол үшін параболаның төбесін тауып, бұтақтардың қай бағытқа бағытталғанын анықтау керек. Шыңның x координатасын мына формула арқылы анықтауға болады: x0 =-b / 2a. Бұл жағдайда төбенің y координатасы x0 мәнін бастапқы теңдеуге жай ғана ауыстыру арқылы табылады.
x2 – 8x + 72=0 квадрат теңдеуінің түбірі жоқ, себебі оның теріс дискриминанты бар D=(–8)2 - 4172=-224. Бұл параболаның х осіне тимейтінін және функция ешқашан 0 мәнін алмайтынын білдіреді, сондықтан теңдеудің нақты түбірлері жоқ.
3. Тригонометриялық теңдеулер
Тригонометриялық функциялар тригонометриялық шеңберде қарастырылады, бірақ декарттық координаталар жүйесінде де ұсынылуы мүмкін. Бұл мақалада біз екі негізгі тригонометриялық функцияны және олардың теңдеулерін қарастырамыз: sinx және cosx. Бұл функциялар радиусы 1, |sinx| болатын тригонометриялық шеңберді құрайтындықтан және |cosx| 1-ден үлкен болуы мүмкін емес. Сонымен қандай синкс теңдеуінің түбірі жоқ? Суретте берілген sinx функциясының графигін қарастырайықтөменде.
Функцияның симметриялы және 2pi қайталау периоды бар екенін көреміз. Осыған сүйене отырып, бұл функцияның максималды мәні 1, ал минимумы -1 болуы мүмкін деп айта аламыз. Мысалы, cosx=5 өрнегі түбірлері болмайды, себебі оның модулі бірден үлкен.
Бұл тригонометриялық теңдеулердің ең қарапайым мысалы. Шындығында, олардың шешімі көптеген беттерді алуы мүмкін, оның соңында сіз қате формуланы қолданғаныңызды түсінесіз және бәрін қайтадан бастау керек. Кейде, тіпті түбірлерді дұрыс тапқанда да, сіз ODZ шектеулерін ескеруді ұмытып кетуіңіз мүмкін, сондықтан жауапта қосымша түбір немесе интервал пайда болады және бүкіл жауап қатеге айналады. Сондықтан барлық шектеулерді қатаң сақтаңыз, себебі барлық түбірлер тапсырма көлеміне сәйкес келмейді.
4. Теңдеулер жүйесі
Теңдеулер жүйесі – бұйра немесе шаршы жақшалармен біріктірілген теңдеулер жиынтығы. Бұйра жақшалар барлық теңдеулердің бірлескен орындалуын білдіреді. Яғни, егер теңдеулердің кем дегенде біреуінің түбірі болмаса немесе екіншісіне қайшы келсе, бүкіл жүйенің шешімі болмайды. Шаршы жақшалар «немесе» сөзін білдіреді. Бұл жүйенің кем дегенде бір теңдеуінің шешімі болса, онда бүкіл жүйенің шешімі бар екенін білдіреді.
Шаршы жақшалары бар жүйенің жауабы жеке теңдеулердің барлық түбірлерінің жиынтығы болып табылады. Ал бұйра жақшалары бар жүйелерде тек ортақ тамырлар бар. Теңдеулер жүйесі абсолютті әртүрлі функцияларды қамтуы мүмкін, сондықтан бұл күрделілік жоққай теңдеудің түбірі жоқ екенін бірден анықтауға мүмкіндік береді.
Жалпылау және теңдеудің түбірін табуға арналған кеңестер
Есептік кітаптар мен оқулықтарда теңдеулердің әртүрлі түрлері бар: түбірі бар және жоқ. Біріншіден, егер сіз тамыр таба алмасаңыз, олар мүлдем жоқ деп ойламаңыз. Сіз бір жерде қате жіберген шығарсыз, содан кейін шешіміңізді екі рет тексеріңіз.
Біз ең негізгі теңдеулер мен олардың түрлерін қарастырдық. Енді қай теңдеудің түбірі жоқ екенін анықтауға болады. Көп жағдайда мұны істеу қиын емес. Теңдеулерді шешуде табысқа жету үшін тек зейін мен шоғырлану қажет. Көбірек жаттығыңыз, бұл материалды әлдеқайда жақсырақ және жылдам шарлауға көмектеседі.
Демек, теңдеудің түбірі болмайды, егер:
- сызықтық теңдеудегі mx=n мәні m=0 және n=0;
- квадрат теңдеуде дискриминант нөлден кіші болса;
- cosx=m / sinx=n түріндегі тригонометриялық теңдеуде, егер |m| > 0, |н| > 0;
- ең болмағанда бір теңдеудің түбірі жоқ болса, бұйра жақшалары бар теңдеулер жүйесінде және барлық теңдеулердің түбірі болмаса, төртбұрышты жақшалары бар теңдеулер жүйесінде.
