Мектеп оқушылары ең үлкен қиындықтарды жеңетін математика саласының бірі - тригонометрия. Таңқаларлық емес: білімнің бұл саласын еркін меңгеру үшін сізге кеңістіктік ойлау, формулалар арқылы синустар, косинустар, тангенстер, котангенстерді табу, өрнектерді оңайлату және есептеулерде pi санын қолдана білу қажет. Бұған қоса, теоремаларды дәлелдеу кезінде тригонометрияны қолдана білу керек және бұл үшін дамыған математикалық жады немесе күрделі логикалық тізбектерді шығару мүмкіндігі қажет.
Тригонометрияның шығу тегі
Бұл ғылымға кіріспе бұрыштың синусын, косинусын және тангенсін анықтаудан басталуы керек, бірақ алдымен тригонометрияның жалпы не істейтінін анықтау керек.
Тарихи тұрғыдан тікбұрышты үшбұрыштар математика ғылымының осы бөліміндегі негізгі зерттеу нысаны болды. 90 градус бұрыштың болуы екіге мүмкіндік беретін әртүрлі операцияларды орындауға мүмкіндік бередіжағы және бір бұрышы немесе екі бұрышы және бір жағы қарастырылып отырған суреттің барлық параметрлерінің мәндерін анықтау үшін. Бұрын адамдар бұл үлгіні байқап, оны ғимараттар салуда, навигацияда, астрономияда және тіпті өнерде белсенді қолдана бастады.
Бастау
Алғашында адамдар бұрыштар мен қабырғалардың қатынасы туралы тек тікбұрышты үшбұрыштар мысалында айтқан. Содан кейін математиканың осы бөлімінің күнделікті өмірде қолдану шекарасын кеңейтуге мүмкіндік беретін арнайы формулалар ашылды.
Бүгінгі таңда мектепте тригонометрияны оқыту тікбұрышты үшбұрыштардан басталады, содан кейін оқушылар алған білімін физикада және абстрактілі тригонометриялық теңдеулерді шешуде пайдаланады, онымен жұмыс орта мектептен басталады.
Сфералық тригонометрия
Кейін ғылым дамудың келесі деңгейіне жеткенде сфералық геометрияда синус, косинус, тангенс, котангенсі бар формулалар қолданыла бастады, мұнда басқа ережелер қолданылады және үшбұрыштағы бұрыштардың қосындысы әрқашан көп болады. 180 градустан жоғары. Бұл бөлім мектепте оқытылмайды, бірақ оның бар болуы туралы білу қажет, кем дегенде, жер беті және кез келген басқа планетаның беті дөңес болғандықтан, бетінің кез келген белгісі «доға тәрізді болады» дегенді білдіреді. үш өлшемді кеңістікте.
Глобус пен жіпті ал. Жіпті жер шарының кез келген екі нүктесіне бекітіңіз, сонда ол тартылады. Назар аударыңыз - ол доғаның пішініне ие болды. Ол осындай формалармен айналысадыгеодезия, астрономия және басқа да теориялық және қолданбалы салаларда қолданылатын сфералық геометрия.
Тікбұрышты үшбұрыш
Тригонометрияны қолдану жолдары туралы аздап біліп алғаннан кейін синус, косинус, тангенс деген не екенін, олардың көмегімен қандай есептеулер жүргізуге болатынын және қандай формулаларды қолдану керектігін түсіну үшін негізгі тригонометрияға оралайық.
Ең алдымен тікбұрышты үшбұрышқа қатысты ұғымдарды түсіну керек. Біріншіден, гипотенуза 90 градус бұрышқа қарама-қарсы жақ болып табылады. Ол ең ұзын. Пифагор теоремасы бойынша оның сандық мәні қалған екі жақтың квадраттарының қосындысының түбіріне тең екені есімізде.
Мысалы, егер екі қабырға сәйкесінше 3 және 4 сантиметр болса, гипотенузаның ұзындығы 5 сантиметр болады. Айтпақшы, ежелгі мысырлықтар бұл туралы төрт жарым мың жыл бұрын білген.
Тік бұрышты құрайтын қалған екі жақ катет деп аталады. Сонымен қатар, тікбұрышты координаталар жүйесіндегі үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 градус екенін есте ұстауымыз керек.
Анықтама
Соңында, геометриялық негізді жақсы түсініп, біз бұрыштың синусы, косинусы және тангенсінің анықтамасына жүгіне аламыз.
Бұрыштың синусы – қарама-қарсы катеттің (яғни керекті бұрышқа қарама-қарсы жағының) гипотенузаға қатынасы. Бұрыштың косинусы - көршілес катеттің гипотенузаға қатынасы.
Синусы да, косинус та біреуден үлкен болмайтынын есте сақтаңыз! Неліктен?Өйткені гипотенуза әдепкі бойынша тікбұрышты үшбұрыштың ең ұзын қабырғасы болып табылады. Аяқ қанша ұзын болса да, ол гипотенузаға қарағанда қысқа болады, яғни олардың қатынасы әрқашан бірден аз болады. Осылайша, есептің жауабында 1-ден жоғары мәні бар синус немесе косинус алсаңыз, есептеулерде немесе дәлелдеуде қатені іздеңіз. Бұл жауап анық қате.
Соңында, бұрыштың тангенсі - қарама-қарсы жақтың көршілес қабырғаға қатынасы. Сол нәтиже синустың косинусқа бөлінуін береді. Қараңыз: формула бойынша қабырғаның ұзындығын гипотенузаға бөлеміз, содан кейін екінші қабырғасының ұзындығына бөлеміз және гипотенузаға көбейтеміз. Осылайша, біз тангенс анықтамасындағыдай қатынасты аламыз.
Котангенс, сәйкесінше, бұрышқа іргелес жатқан жақтың қарама-қарсы жаққа қатынасы. Бірлікті тангенске бөлу арқылы бірдей нәтиже аламыз.
Сонымен, біз синус, косинус, тангенс және котангенс деген ненің анықтамаларын қарастырдық және формулалармен жұмыс істей аламыз.
Қарапайым формулалар
Тригонометрияда формулаларсыз болмайды - оларсыз синусты, косинусты, тангенсті, котангентті қалай табуға болады? Бірақ бұл мәселелерді шешу кезінде қажет нәрсе.
Тригонометрияны оқуды бастағанда білу қажет бірінші формула бұрыштың синусы мен косинусының квадраттарының қосындысы бірге тең екенін айтады. Бұл формула Пифагор теоремасының тікелей салдары, бірақ бүйір жағын емес, бұрыштың мәнін табу қажет болса, уақытты үнемдейді.
Көптеген оқушылар екінші формуланы есіне түсіре алмайдымектеп есептерін шешуде танымал: бірдің қосындысы және бұрыштың жанамасының квадраты бұрыштың косинусының квадратына бөлінгенге тең. Мұқият қараңыз: бұл бірінші формуладағыдай мәлімдеме, тек сәйкестендірудің екі жағы да косинустың квадратына бөлінген. Қарапайым математикалық операция тригонометриялық формуланы мүлдем танылмайтын етеді екен. Есіңізде болсын: синустың, косинустың, тангенстің және котангенстің не екенін, түрлендіру ережелерін және бірнеше негізгі формулаларды біле отырып, кез келген уақытта қағаз парағында қажетті күрделірек формулаларды дербес шығаруға болады.
Қос бұрышты формулалар және аргументтерді қосу
Үйренуге болатын тағы екі формула бұрыштардың қосындысы мен айырмасы үшін синус пен косинус мәндеріне қатысты. Олар төмендегі суретте көрсетілген. Назар аударыңыз, бірінші жағдайда синус пен косинус екі есеге көбейтіледі, ал екінші жағдайда синус пен косинустың жұптық көбейтіндісі қосылады.
Сондай-ақ қос бұрыш аргументтерімен байланысты формулалар бар. Олар толығымен алдыңғыларынан алынған - тәжірибе ретінде бета бұрышына тең альфа бұрышын алып, оларды өзіңіз алуға тырысыңыз.
Соңында, қос бұрыш формулаларын синус, косинус, тангенс альфа дәрежесін азайту үшін түрлендіруге болатынын ескеріңіз.
Теоремалар
Негізгі тригонометриядағы екі негізгі теорема синустар теоремасы және косинус теоремасы. Осы теоремалардың көмегімен сіз синусты, косинусты және тангенсті, демек фигураның ауданын және шамасын қалай табуға болатынын оңай түсінуге болады.әр жағы, т.б.
Синустар теоремасы үшбұрыштың қабырғаларының әрқайсысының ұзындығын қарама-қарсы бұрыштың мәніне бөлу нәтижесінде бірдей сан шығатынын айтады. Сонымен қатар, бұл сан шектелген шеңбердің екі радиусына, яғни берілген үшбұрыштың барлық нүктелерін қамтитын шеңберге тең болады.
Косинус теоремасы Пифагор теоремасын жалпылайды, оны кез келген үшбұрыштарға проекциялайды. Екі жақтың квадраттарының қосындысынан оларға іргелес бұрыштың қос косинусына көбейтілген көбейтіндісін алып тастаңыз - алынған мән үшінші жақтың квадратына тең болады. Осылайша, Пифагор теоремасы косинус теоремасының ерекше жағдайы болып шығады.
Назарсыздықтан кеткен қателер
Тіпті синус, косинус және тангенстің не екенін біле тұра, ойсыздықтан немесе қарапайым есептеулердегі қателіктен қателесу оңай. Мұндай қателерді болдырмау үшін ең танымалдарын қарастырайық.
Біріншіден, соңғы нәтиже шықпай тұрып, жай бөлшектерді ондық бөлшекке түрлендіруге болмайды - шартта басқаша көрсетілмесе, жауапты жай бөлшек ретінде қалдыруға болады. Мұндай түрлендіруді қате деп атауға болмайды, бірақ тапсырманың әрбір кезеңінде жаңа тамырлар пайда болуы мүмкін екенін есте ұстаған жөн, автордың идеясына сәйкес оларды азайту керек. Бұл жағдайда қажетсіз математикалық операцияларға уақыт жоғалтасыз. Бұл әсіресе үш немесе екі түбір сияқты мәндерге қатысты, өйткені олар әр қадамда тапсырмаларда кездеседі. Дөңгелектеу үшін де солай."Ұсқынсыз" сандар.
Содан кейін косинус теоремасы кез келген үшбұрышқа қолданылады, бірақ Пифагор теоремасы емес! Егер сіз олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтілген жақтардың екі еселенген көбейтіндісін алып тастауды қате ұмытсаңыз, сіз мүлде қате нәтиже алып қана қоймай, сонымен қатар тақырыпты толық түсінбеуіңізді көрсетесіз. Бұл абайсызда жасалған қатеден де жаман.
Үшіншіден, синустар, косинустар, тангенстер, котангенстер үшін 30 және 60 градус бұрыштарының мәндерін шатастырмаңыз. Бұл мәндерді есте сақтаңыз, өйткені 30 градус синусы 60 косинусына тең және керісінше. Оларды араластыру оңай және сіз сөзсіз қате нәтиже аласыз.
Қолданба
Көптеген студенттер тригонометрияны оқуға асықпайды, өйткені олар оның қолданбалы мағынасын түсінбейді. Инженер немесе астроном үшін синус, косинус, тангенс дегеніміз не? Бұл алыстағы жұлдыздарға дейінгі қашықтықты есептеуге, метеориттің құлауын болжауға, басқа планетаға зерттеу зондын жіберуге болатын тұжырымдамалар. Оларсыз ғимарат салу, машинаны жобалау, жер бетіндегі жүктемені немесе объектінің траекториясын есептеу мүмкін емес. Және бұл ең айқын мысалдар ғана! Өйткені, тригонометрия музыкадан медицинаға дейін барлық жерде қолданылады.
Қорытынды
Сонымен сіз синус, косинус, тангенс не екенін білесіз. Сіз оларды есептеулерде пайдалана аласыз және мектеп тапсырмаларын сәтті шеше аласыз.
Бүкіл мәселетригонометрия үшбұрыштың белгілі параметрлері бойынша белгісіздерді есептеу қажет екендігіне дейін төмендетіледі. Барлығы алты параметр бар: үш жақтың ұзындығы және үш бұрыштың шамасы. Тапсырмалардағы барлық айырмашылық әртүрлі кіріс деректерінің берілуінде.
Синусты, косинусты, тангенсті аяқтардың белгілі ұзындықтарына немесе гипотенузаға негізделген қалай табуға болатынын енді білесіз. Бұл терминдер қатынастан басқа ештеңені білдірмейтіндіктен, ал қатынас бөлшек болғандықтан, тригонометриялық есептің негізгі мақсаты қарапайым теңдеудің немесе теңдеулер жүйесінің түбірін табу болып табылады. Мұнда сізге әдеттегі мектеп математикасы көмектеседі.
