Алтыбұрышты призма және оның негізгі сипаттамалары

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-02 17:50

Кеңістіктік геометрия призмаларды зерттейді. Олардың маңызды сипаттамалары - олардағы көлем, бетінің ауданы және құрамдас элементтердің саны. Мақалада алтыбұрышты призма үшін осы қасиеттердің барлығын қарастырамыз.

Біз қандай призма туралы айтып отырмыз?

Алтыбұрышты призма – алты қабырғасы мен алты бұрышы бар екі көпбұрыштан және белгіленген алтыбұрыштарды бір геометриялық пішінге қосатын алты параллелограммнан жасалған фигура.

Суретте осы призманың мысалы көрсетілген.

Қызылмен белгіленген алтыбұрыш фигураның негізі деп аталады. Оның негіздерінің саны екіге тең және екеуі де бірдей екені анық. Призманың сары-жасыл беттері оның қабырғалары деп аталады. Суретте олар квадраттармен берілген, бірақ жалпы параллелограммдар.

Алтыбұрышты призма көлбеу және түзу болуы мүмкін. Бірінші жағдайда, негіз мен қабырғалар арасындағы бұрыштар түзу емес, екіншісінде олар 90o тең. Сондай-ақ, бұл призма дұрыс және дұрыс емес болуы мүмкін. Кәдімгі алтыбұрыштыпризма түзу және негізінде дұрыс алтыбұрыш болуы керек. Суреттегі жоғарыдағы призма осы талаптарды қанағаттандырады, сондықтан ол дұрыс деп аталады. Әрі қарай мақалада біз жалпы жағдай ретінде тек оның қасиеттерін зерттейміз.

Элементтер

Кез келген призма үшін оның негізгі элементтері жиектер, беттер және шыңдар болып табылады. Алтыбұрышты призма да ерекшелік емес. Жоғарыдағы сурет осы элементтердің санын санауға мүмкіндік береді. Сонымен, біз 8 бетті немесе бүйірді аламыз (екі табан және алты бүйірлік параллелограмм), төбелердің саны 12 (әрбір табан үшін 6 төбе), алтыбұрышты призманың шеттерінің саны 18 (алты бүйірлік және 12 негіздері үшін).

1750 жылдары Леонхард Эйлер (швейцариялық математик) призманы қамтитын барлық көп қырлылар үшін көрсетілген элементтердің сандары арасындағы математикалық қатынасты белгіледі. Бұл қатынас келесідей көрінеді:

жиектер саны=беттер саны + шыңдар саны - 2.

Жоғарыдағы сандар осы формуланы қанағаттандырады.

Призма диагональдары

Алтыбұрышты призманың барлық диагональдарын екі түрге бөлуге болады:

• оның беттерінің жазықтығында жатқандар;
• фигураның бүкіл көлеміне жататындар.

Төмендегі суретте осы диагональдардың барлығы көрсетілген.

D₁ бүйірлік диагональ, D₂ және D₃ екенін көруге болады. диагональдары бүкіл призма, D₄ және D_{5 - негіздің диагональдары.}

Бүйірлердің диагональдарының ұзындықтары бір-біріне тең. Оларды белгілі Пифагор теоремасы арқылы есептеу оңай. Алтыбұрыштың қабырғасының ұзындығы a, бүйір қырының ұзындығы болсын. Сонда диагональ ұзындығы болады:

D₁=√(a² + b^2).

Қиғаш D₄ анықтау да оңай. Егер кәдімгі алтыбұрыш радиусы a болатын шеңберге сәйкес келетінін еске түсірсек, D_{4 - бұл шеңбердің диаметрі, яғни келесі формуланы аламыз:}

D_4=2a.

Диагональды D₅негіздерді табу қиынырақ. Ол үшін ABC теңбүйірлі үшбұрышын қарастырайық (суретті қараңыз). Ол үшін AB=BC=a, ABC бұрышы 120^{o. Осы бұрыштан биіктікті төмендететін болсақ (ол биссектриса мен медиана да болады), онда айнымалы ток негізінің жартысы мынаған тең болады:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

Айнымалы ток жағы D_{5 диагоналы, сондықтан біз мынаны аламыз:}

D_5=AC=√3a.

Енді кәдімгі алтыбұрышты призманың D₂ және D_{3 диагональдарын табу қалды. Ол үшін олардың сәйкес тікбұрышты үшбұрыштардың гипотенузалары екенін көру керек. Пифагор теоремасын қолданып, мынаны аламыз:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Осылайша, кез келген a және b мәндері үшін ең үлкен диагональD_2.

Бет ауданы

Не қауіп төніп тұрғанын түсінудің ең оңай жолы - осы призманың дамуын қарастыру. Ол суретте көрсетілген.

Қарастырылып отырған фигураның барлық жақтарының ауданын анықтау үшін төртбұрыштың ауданы мен алтыбұрыштың ауданын бөлек есептеп, содан кейін оларды көбейту керек екенін көруге болады. призмадағы әрбір n-гонаның санына тең сәйкес бүтін сандар арқылы және нәтижелерді қосыңыз. Алтыбұрыштар 2, тіктөртбұрыштар 6.

Тіктөртбұрыштың ауданы үшін мынаны аламыз:

S_1=ab.

Онда бүйір бетінің ауданы:

S_2=6ab.

Алтыбұрыштың ауданын анықтаудың ең оңай жолы сәйкес формуланы пайдалану болып табылады, ол келесідей көрінеді:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Осы өрнекке 6-ға тең n санын қойып, бір алтыбұрыштың ауданын аламыз:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Призма табандарының ауданын алу үшін бұл өрнекті екіге көбейту керек:

S_os=3√3a^2.

Сигураның жалпы бетінің ауданын алу үшін S_os және S_{2 қосу керек:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Призма көлемі

Формуладан кейіналтыбұрышты негіздің ауданы, қарастырылып отырған призмадағы көлемді есептеу алмұрттарды жару сияқты оңай. Мұны істеу үшін сізге бір негіздің (алтыбұрыш) ауданын ұзындығы бүйір жиегінің ұзындығына тең болатын фигураның биіктігіне көбейту керек. Біз формуланы аламыз:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Негізгі және биіктіктің көбейтіндісі қиғаш призманы қосқанда абсолютті кез келген призманың көлемінің мәнін беретінін ескеріңіз. Дегенмен, соңғы жағдайда биіктікті есептеу қиын, өйткені ол енді бүйірлік қабырғаның ұзындығына тең болмайды. Кәдімгі алтыбұрышты призмаға келетін болсақ, оның көлемінің мәні екі айнымалының функциясы болып табылады: a және b жақтары.