Күш – физикадағы ең маңызды ұғымдардың бірі. Ол кез келген объектілердің күйінің өзгеруіне әкеледі. Бұл мақалада біз бұл шаманың не екенін, қандай күштер бар екенін қарастырамыз, сонымен қатар күштің оське және жазықтыққа проекциясын қалай табуға болатынын көрсетеміз.
Күш және оның физикалық мәні
Физикада күш дегеніміз дененің уақыт бірлігіндегі импульсінің өзгеруін көрсететін векторлық шама. Бұл анықтама күшті динамикалық сипаттама деп қарастырады. Статика тұрғысынан физикадағы күш денелердің серпімді немесе пластикалық деформациясының өлшемі болып табылады.
Халықаралық SI жүйесі күшті Ньютонмен (N) көрсетеді. 1 Ньютон дегеніміз не, классикалық механиканың екінші заңының мысалын түсінудің ең оңай жолы. Оның математикалық белгісі келесідей:
F¯=ma¯
Мұнда F¯ – массасы m денеге әсер ететін және a¯ үдеуіне әкелетін қандай да бір сыртқы күш. Бір Ньютонның сандық анықтамасы мына формуладан шығады: 1 Н - массасы 1 кг дененің жылдамдығын секунд сайын 1 м/с өзгертуге әкелетін күш.
Динамикалық мысалдарКүштің көрінісі - жердің тартылыс өрісінде автомобильдің немесе еркін құлап жатқан дененің үдеуі.
Күштің статикалық көрінісі, атап өтілгендей, деформация құбылыстарымен байланысты. Мұнда келесі формулалар берілуі керек:
F=PS
F=-kx
Бірінші өрнек F күшін оның кейбір S аймағына түсіретін P қысымымен байланыстырады. Осы формула арқылы 1 N 1 м аумаққа қолданылатын 1 паскаль қысымы ретінде анықталуы мүмкін 2. Мысалы, теңіз деңгейіндегі атмосфералық ауа бағаны 1 м2105N! күшпен 1 м жерге басады.
Екінші өрнек Гук заңының классикалық түрі болып табылады. Мысалы, серіппені x сызықтық мәні бойынша созу немесе сығу қарсы F күшінің пайда болуына әкеледі (k өрнегінде - пропорционалдық фактор).
Қандай күштер бар
Күштердің статикалық және динамикалық болуы мүмкін екендігі жоғарыда көрсетілген. Мұнда біз бұл ерекшеліктен басқа, олар контактілі немесе алыс қашықтықтағы күштер болуы мүмкін екенін айтамыз. Мысалы, үйкеліс күші, тірек реакциялары жанасу күштері. Олардың пайда болу себебі - Паули принципінің дұрыстығы. Соңғысы екі электронның бір күйде бола алмайтынын айтады. Сондықтан екі атомның жанасуы олардың итерілуіне әкеледі.
Ұзақ қашықтықтағы күштер денелердің белгілі бір тасымалдаушы өріс арқылы әрекеттесуінің нәтижесінде пайда болады. Мысалы, ауырлық күші немесе электромагниттік әрекеттесу. Екі күштің де шексіз ауқымы бар,алайда олардың интенсивтілігі қашықтықтың квадраты ретінде төмендейді (Кулон заңдары мен ауырлық күші).
Қуат – векторлық шама
Қарастырылған физикалық шаманың мәнін қарастыра отырып, күштің оське проекциясы мәселесін зерттеуге көшуге болады. Ең алдымен бұл шаманың вектор екенін, яғни модулі мен бағытымен сипатталатынын атап өтеміз. Біз күш модулін және оның бағытын қалай есептеу керектігін көрсетеміз.
Кез келген векторды оның басы мен соңы координаталарының мәндері белгілі болса, берілген координаталар жүйесінде бірегей түрде анықтауға болатыны белгілі. Кейбір бағытталған MN¯ сегменті бар деп есептейік. Содан кейін оның бағыты мен модулін келесі өрнектер арқылы анықтауға болады:
MN¯=(x2-x1; y2-y 1; z2-z1);
|MN¯|=√((x2-x1)2+ (y2 -y1)2+ (z2-z1 )2).
Мұнда 2 индексі бар координаттар N нүктесіне, 1 индексі бар координаттар M нүктесіне сәйкес келеді. MN¯ векторы M нүктесінен N-ге бағытталған.
Жалпылық үшін біз үш өлшемді кеңістіктегі вектордың модулі мен координаталарын (бағытын) қалай табуға болатынын көрсеттік. Үшінші координатасы жоқ ұқсас формулалар жазықтықтағы жағдай үшін жарамды.
Осылайша, күш модулі оның Ньютонмен көрсетілген абсолютті мәні болып табылады. Геометрия тұрғысынан модуль бағытталған сегменттің ұзындығы болып табылады.
Күштің проекциясы неге байланыстыось?
Бағытталған кесінділердің координаталық осьтер мен жазықтықтарға проекциялары туралы айту ең қолайлы, егер сәйкес векторды алдымен координаталар басына, яғни (0; 0; 0) нүктесіне орналастырсаңыз. Бізде F¯ күш векторы бар делік. Оның басын (0; 0; 0) нүктесіне орналастырайық, онда вектордың координаталарын былай жазуға болады:
F¯=((x1- 0); (y1- 0); (z1 - 0))=(x1; y1; z1).
F¯ векторы берілген координаталар жүйесіндегі кеңістіктегі күштің бағытын көрсетеді. Енді F¯ ұшынан осьтердің әрқайсысына перпендикуляр кесінділер салайық. Перпендикулярдың сәйкес осімен қиылысу нүктесінен басына дейінгі қашықтық күштің оське проекциясы деп аталады. F¯ күші жағдайында оның x, y және z осьтеріндегі проекциялары x1, y1болатынын болжау қиын емес. және z 1, тиісінше. Бұл координаттар күш проекцияларының модульдерін (сегменттердің ұзындығы) көрсететінін ескеріңіз.
Күш пен оның координаталық осьтердегі проекциялары арасындағы бұрыштар
Бұл бұрыштарды есептеу қиын емес. Оны шешу үшін тригонометриялық функциялардың қасиеттерін білу және Пифагор теоремасын қолдана білу қажет.
Мысалы, күш бағыты мен оның х осіндегі проекциясы арасындағы бұрышты анықтайық. Тиісті тікбұрышты үшбұрышты гипотенуза (F¯ векторы) және катет (x1 сегменті) құрайды. Екінші катет - F¯ векторының ұшынан х осіне дейінгі қашықтық. F¯ және x осі арасындағы α бұрышы мына формуламен есептеледі:
α=arccos(|x1|/|F¯|)=arccos(x1/√(x 12+y12+z1 2)).
Көріп отырғаныңыздай, ось пен вектор арасындағы бұрышты анықтау үшін бағытталған кесіндінің соңының координаталарын білу қажет және жеткілікті.
Басқа осьтері бар бұрыштар үшін (y және z) ұқсас өрнектерді жазуға болады:
β=arccos(|y1|/|F¯|)=arccos(y1/√(x 12+y12+z 12));
γ=arccos(|z1|/|F¯|)=arccos(z1/√(x 12+y12+z 12)).
Барлық формулаларда санауыштарда доғал бұрыштардың пайда болуын болдырмайтын модульдер бар екенін ескеріңіз. Күш пен оның осьтік проекциялары арасындағы бұрыштар әрқашан 90o-ден аз немесе оған тең.
Күш және оның координаталық жазықтықтағы проекциялары
Күштің жазықтыққа проекциясының анықтамасы осьтегімен бірдей, тек бұл жағдайда перпендикуляр оське емес, жазықтыққа түсірілуі керек.
Кеңістіктік тікбұрышты координаталар жүйесі жағдайында бізде үш өзара перпендикуляр xy (көлденең), yz (фронталь вертикаль), xz (бүйірлік вертикаль) жазықтықтары бар. Вектордың ұшынан аталған жазықтықтарға түсірілген перпендикулярлардың қиылысу нүктелері:
(x1; y1; 0) xy үшін;
(x1; 0; z1) xz үшін;
(0; y1; z1) zy үшін.
Егер белгіленген нүктелердің әрқайсысы координат басына қосылса, онда F¯ күшінің сәйкес жазықтыққа проекциясын аламыз. Күштің модулі қандай, біз білеміз. Әрбір проекцияның модулін табу үшін Пифагор теоремасын қолдану керек. Жазықтықтағы проекцияларды Fxy, Fxz және Fzy деп белгілейік. Сонда теңдіктер олардың модульдері үшін жарамды болады:
Fxy=√(x12+y1 2);
Fxz=√(x12+ z1 2);
Fzy=√(y12+ z1 2).
Жазықтыққа проекциялар мен күш векторы арасындағы бұрыштар
Жоғарыдағы абзацта қарастырылатын F¯ векторының жазықтығына проекциялар модульдері үшін формулалар берілген. Бұл проекциялар F¯ кесіндісі және оның ұшынан жазықтыққа дейінгі қашықтығымен бірге тік бұрышты үшбұрыштарды құрайды. Сондықтан осьтегі проекциялардағы сияқты, қарастырылып отырған бұрыштарды есептеу үшін тригонометриялық функциялардың анықтамасын қолдануға болады. Келесі теңдіктерді жазуға болады:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(√(x12 +y12) /√(x12 +y12+z12));
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(√(x12 +z12)/√(x12 +y12+z12));
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(√(y12+z12)/√(x12+y12 +z12)).
F¯ күшінің бағыты мен оның жазықтыққа сәйкес проекциясы арасындағы бұрыш F¯ мен осы жазықтықтың арасындағы бұрышқа тең екенін түсіну маңызды. Егер бұл мәселені геометрия тұрғысынан қарастыратын болсақ, онда бағытталған F¯ кесіндісі xy, xz және zy жазықтықтарына қатысты көлбеу деп айта аламыз.
Күш проекциялары қайда қолданылады?
Координаталық осьтердегі және жазықтықтағы күш проекцияларына арналған жоғарыда келтірілген формулалар тек теориялық қызығушылық тудырмайды. Олар көбінесе физикалық есептерді шешуде қолданылады. Проекцияларды табу процесінің өзі күштің құрамдас бөліктеріне ыдырауы деп аталады. Соңғылары векторлар, олардың қосындысы бастапқы күш векторын беруі керек. Жалпы жағдайда күшті ерікті құрамдас бөліктерге ыдыратуға болады, алайда есептерді шешу үшін перпендикуляр осьтер мен жазықтықтарға проекцияларды қолдану ыңғайлы.
Күш проекциялары тұжырымдамасы қолданылатын мәселелер өте әртүрлі болуы мүмкін. Мысалы, Ньютонның сол екінші заңы денеге әсер ететін сыртқы күш F¯ жылдамдық векторы сияқты бағытталу керек деп есептейді. Егер олардың бағыттары қандай да бір бұрышпен ерекшеленсе, онда теңдік жарамды болуы үшін оған F¯ күшінің өзін емес, оның v¯ бағытына проекциясын қою керек.
Содан кейін біз бірнеше мысал келтіреміз, онда жазылғанды қалай пайдалану керектігін көрсетемізформулалар.
Жазықтықтағы және координаталық осьтердегі күш проекцияларын анықтау тапсырмасы
Келесі F¯ күші бар деп есептейік, ол келесі соңы мен басталу координаталары бар вектормен көрсетілген:
(2; 0; 1);
(-1; 4; -1).
Күштің модулін, сондай-ақ оның координаталық осьтер мен жазықтықтардағы барлық проекцияларын және F¯ мен оның әрбір проекциясының арасындағы бұрыштарды анықтау қажет.
Есепті шешуді F¯ векторының координаталарын есептеу арқылы бастайық. Бізде:
F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).
Онда күш модулі болады:
|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.
Координаталық осьтерге проекциялар F¯ векторының сәйкес координаталарына тең. Олардың арасындағы бұрыштарды және F¯ бағытын есептейік. Бізде:
α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14o;
β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03o;
γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20o.
F¯ векторының координаталары белгілі болғандықтан, координаталық жазықтықтағы күш проекцияларының модульдерін есептеуге болады. Жоғарыдағы формулаларды қолданып, біз аламыз:
Fxy=√(9 +16)=5 N;
Fxz=√(9 + 4)=3, 606 N;
Fzy=√(16 + 4)=4, 472 N.
Соңында жазықтықтағы табылған проекциялар мен күш векторы арасындағы бұрыштарды есептеу қалды. Бізде:
α=arccos(Fxy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8o;
β=arccos(Fxz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0o;
γ=arccos(Fzy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9o.
Осылайша, F¯ векторы xy координаталық жазықтығына ең жақын.
Көлбеу жазықтықта сырғанауға қатысты мәселе
Енді күш проекциясы тұжырымдамасын қолдану қажет болатын физикалық есепті шешейік. Ағаштан жасалған көлбеу жазықтық берілсін. Оның көкжиекке еңкею бұрышы 45o. Ұшақта массасы 3 кг болатын ағаш блок бар. Егер сырғанау үйкеліс коэффициенті 0,7 екені белгілі болса, бұл жолақ қандай үдеумен жазықтықта төмен жылжитынын анықтау керек.
Алдымен дененің қозғалыс теңдеуін құрайық. Оған тек екі күш әсер ететіндіктен (ауырлық күшінің жазықтыққа проекциясы және үйкеліс күші), теңдеу мына пішінді алады:
Fg- Ff=ma=>
a=(Fg- Ff)/м.
Мұнда Fg, Ff сәйкесінше ауырлық пен үйкеліс проекциясы. Яғни, тапсырма олардың мәндерін есептеуге дейін қысқарады.
Жазықтықтың көкжиекке еңкею бұрышы 45o болғандықтан, ауырлық проекциясы Fg екенін көрсету оңай.жазықтықтың бетінде мынаған тең болады:
Fg=mgsin(45o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.
Бұл күш проекциясы бұзылуға тырысадыағаш блок және оны жылдамдатыңыз.
Анықтамаға сәйкес сырғанау үйкеліс күші:
Ff=ΜN
Мұндағы Μ=0, 7 (есептің шартын қараңыз). Тіректің реакция күші N көлбеу жазықтыққа перпендикуляр оське ауырлық күшінің проекциясына тең, яғни:
N=mgcos(45o)
Онда үйкеліс күші:
Ff=Μmgcos(45o)=0, 739, 81/√2 ≈ 14, 57 N.
Табылған күштерді қозғалыс теңдеуіне ауыстырсақ, мынаны аламыз:
a=(Fg- Ff)/м=(20,81 - 14,57)/3=2,08 м/ c2.
Осылайша, блок көлбеу жазықтықпен төмен түсіп, жылдамдығын секунд сайын 2,08 м/с арттырады.
