Шеңбер – геометриядағы негізгі фигура, оның қасиеттері мектепте 8-сыныпта қарастырылады. Шеңбермен байланысты типтік есептердің бірі оның шеңбер секторы деп аталатын бөлігінің ауданын табу болып табылады. Мақалада сектордың ауданы мен оның доғасының ұзындығына арналған формулалар, сондай-ақ оларды белгілі бір мәселені шешу үшін пайдалану мысалы берілген.
Шеңбер және шеңбер түсінігі
Шеңбер секторының ауданы формуласын бермес бұрын, көрсетілген фигураның не екенін қарастырайық. Математикалық анықтамаға сәйкес шеңбер деп барлық нүктелері қандай да бір бір нүктеден (орталық) бірдей қашықтықта орналасқан жазықтықтағы осындай фигура түсініледі.
Шеңберді қарастырған кезде келесі терминология қолданылады:
- Радиус – орталық нүктеден шеңбердің қисығына дейін жүргізілген кесінді. Ол әдетте R әрпімен белгіленеді.
- Диаметр – шеңбердің екі нүктесін қосатын, сонымен бірге фигураның ортасынан өтетін кесінді. Ол әдетте D әрпімен белгіленеді.
- Доға - қисық шеңбердің бөлігі. Ол ұзындық бірліктерімен немесе бұрыштармен өлшенеді.
Шеңбер – геометрияның тағы бір маңызды фигурасы, ол қисық шеңбермен шектелген нүктелер жиынтығы.
Шеңбер аумағы мен шеңбері
Элементтің атауында көрсетілген мәндер екі қарапайым формула арқылы есептеледі. Олар төменде берілген:
- Шеңбер: L=2piR.
- Шеңбердің ауданы: S=piR2.
Бұл формулалардағы pi - Pi деп аталатын тұрақты. Бұл иррационал, яғни жай бөлшек түрінде дәл өрнектелмейді. Pi шамамен 3,1416.
Жоғарыдағы өрнектерден көріп отырғанымыздай, ауданы мен ұзындығын есептеу үшін тек шеңбердің радиусын білу жеткілікті.
Шеңбер секторының ауданы және оның доғасының ұзындығы
Сәйкес формулаларды қарастырмас бұрын, геометриядағы бұрыш әдетте екі негізгі жолмен өрнектелетінін еске түсіреміз:
- секс-кіші дәрежеде және оның осінің айналасында толық айналу 360o;
- радианмен, pi бөлшектері ретінде өрнектеледі және келесі теңдеу арқылы градусқа қатысты: 2pi=360o.
Шеңбердің секторы үш сызықпен шектелген фигура: шеңбер доғасы және осы доғаның ұштарында орналасқан екі радиус. Дөңгелек сектордың мысалы төмендегі фотода көрсетілген.
Шеңбер үшін сектор деген не екенін түсіну оңайоның ауданын және сәйкес доғаның ұзындығын қалай есептеу керектігін түсіну. Жоғарыдағы суреттен сектор доғасының θ бұрышына сәйкес келетінін көруге болады. Толық шеңбер 2pi радианға сәйкес келетінін білеміз, сондықтан дөңгелек сектордың ауданы үшін формула келесідей болады: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Мұнда θ бұрышы радианмен өрнектеледі. Сектор аймағының ұқсас формуласы, егер θ бұрышы градуспен өлшенсе, келесідей болады: S1=piθR2 /360.
Секторды құрайтын доғаның ұзындығы мына формула бойынша есептеледі: L1=θ2piR/(2pi)=θR. Ал егер θ градуспен белгілі болса, онда: L1=piθR/180.
Есептерді шешу мысалы
Шеңбер секторының ауданы мен оның доғасының ұзындығы формулаларын пайдалану жолын көрсету үшін қарапайым есептің мысалын қолданайық.
Дөңгелектің 12 спицы бар екені белгілі. Доңғалақ бір толық айналым жасағанда, ол 1,5 метр қашықтықты басып өтеді. Доңғалақтың екі көршілес спицы арасындағы аумақ қандай және олардың арасындағы доғаның ұзындығы қандай?
Сәйкес формулалардан көріп отырғаныңыздай, оларды қолдану үшін екі шаманы білу керек: шеңбердің радиусы және доғаның бұрышы. Радиусты дөңгелектің шеңберін білу арқылы есептеуге болады, өйткені оның бір айналымда жүріп өткен жолы оған дәл сәйкес келеді. Бізде: 2Rpi=1,5, одан: R=1,5/(2pi)=0,2387 метр. Ең жақын спицтердің арасындағы бұрышты олардың санын білу арқылы анықтауға болады. Барлық 12 спиц шеңберді бірдей секторларға біркелкі бөледі деп есептесек, біз 12 бірдей сектор аламыз. Сәйкесінше, екі спиц арасындағы доғаның бұрыштық өлшемі: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 радиан.
Біз барлық қажетті мәндерді таптық, енді оларды формулаларға ауыстыруға және есеп шарты бойынша талап етілетін мәндерді есептеуге болады. Біз аламыз: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 м2, немесе 149см2; L1=0,52360,2387=0,125 м немесе 12,5 см.
