Құрамында квадрат түбірі бар сандық өрнектермен жұмыс істеу OGE және USE есептерінің бірқатарын сәтті шешу үшін қажет. Бұл емтихандарда тамырды алу не екенін және оның іс жүзінде қалай орындалатынын негізгі түсіну әдетте жеткілікті.
Анықтама
Х санының n-ші түбірі – теңдігі ақиқат болатын x саны: xn =X.
Түбірі бар өрнектің мәнін табу X және n берілген x мәнін табуды білдіреді.
Х-тің квадрат түбірі немесе екінші түбірі бірдей - теңдігі орындалатын x саны: x2 =X.
Тағайындау: ∛Х. Мұндағы 3 – түбірдің дәрежесі, Х – түбір өрнегі. '√' белгісі жиі радикал деп аталады.
Түбірдің үстіндегі сан дәрежені көрсетпесе, әдепкі 2 дәрежесі болады.
Жұп дәрежелі мектеп курсында теріс түбірлер мен радикалды өрнектер әдетте қарастырылмайды. Мысалы, жоқ√-2 және √4 өрнегі үшін дұрыс жауап 2, дегенмен (-2)2 4-ке тең.
Түбірлердің ұтымдылығы мен иррационалдылығы
Түбірмен мүмкін болатын ең қарапайым тапсырма - өрнектің мәнін табу немесе оның ұтымдылығын тексеру.
Мысалы, √25 мәндерін есептеңіз; ∛8; ∛-125:
- √25=5, себебі 52 =25;
- ∛8=2, себебі 23 =8;
- ∛ - 125=-5 (-5)3 =-125.
Берілген мысалдардағы жауаптар рационал сандар.
Көркем тұрақтылар мен айнымалылар жоқ өрнектермен жұмыс істегенде, мұндай тексеруді әрқашан табиғи қуатқа көтерудің кері операциясын пайдаланып орындау ұсынылады. x санын n-ші дәрежеге дейін табу x-тің n көбейтіндісінің көбейтіндісін есептеуге тең.
Мәні иррационал, яғни шексіз периодты емес бөлшек түрінде жазылған түбірі бар өрнектер көп.
Анықтамасы бойынша рационалдар жай бөлшек түрінде өрнектелетін сандар, ал иррационалдар басқа барлық нақты сандар.
Оларға √24, √0, 1, √101 жатады.
Егер есептер кітабында: түбірі 2, 3, 5, 6, 7, т.б. болатын өрнектің мәнін табыңыз, яғни квадраттар кестесінде жоқ натурал сандардан., онда дұрыс жауап √ 2 болуы мүмкін (егер басқаша көрсетілмесе).
Бағалау
Мәселелердеашық жауап, егер түбірі бар өрнектің мәнін тауып, оны рационал сан ретінде жазу мүмкін болмаса, нәтиже радикал ретінде қалдырылуы керек.
Кейбір тапсырмалар бағалауды қажет етуі мүмкін. Мысалы, 6 мен √37 салыстырыңыз. Шешім екі санның да квадратын алуды және нәтижелерді салыстыруды талап етеді. Екі санның ішінде квадраты үлкен болғаны үлкен. Бұл ереже барлық оң сандар үшін жұмыс істейді:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- мағынасы √37 > 6.
Сол сияқты бірнеше сандарды өсу немесе кему ретімен орналастыру керек есептер шығарылады.
Мысалы: 5, √6, √48, √√64 сандарын өсу ретімен орналастырыңыз.
Квадраттан кейін бізде: 25, 6, 48, √64. Барлық сандарды √64 санымен салыстыру үшін қайтадан квадратқа алуға болады, бірақ ол 8 рационал санға тең. 6 < 8 < 25 < 48, сондықтан шешімі: 48.
Өрнекті жеңілдету
Түбірі бар өрнектің мәнін табу мүмкін емес, сондықтан оны оңайлату керек. Бұған келесі формула көмектеседі:
√ab=√a√b.
Екі санның көбейтіндісінің түбірі олардың түбірлерінің көбейтіндісіне тең. Бұл операция санды көбейткіштерге бөлу мүмкіндігін де қажет етеді.
Алғашқы кезеңде жұмысты жылдамдату үшін қолыңызда жай сандар мен квадраттар кестесі болған жөн. Бұл кестелер жиіболашақта пайдалану есте қалады.
Мысалы, √242 иррационал сан, оны келесідей түрлендіруге болады:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Нәтиже әдетте 11√2 түрінде жазылады (оқыңыз: екіден он бір түбір).
Егер олардың бірінен табиғи түбір алу үшін санды қандай екі факторға ыдырату керектігін бірден көру қиын болса, толық ыдырауды жай көбейткіштерге пайдалануға болады. Кеңейтуде бірдей жай сан екі рет кездессе, ол түбір белгісінен алынады. Көптеген факторлар болған кезде, түбірді бірнеше қадаммен шығарып алуға болады.
Мысалы: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). 2 саны кеңейтімде 2 рет кездеседі (шын мәнінде екі еседен көп, бірақ біз әлі де кеңейтімдегі алғашқы екі кездесуге қызығушылық танытамыз).
Оны түбір белгісінің астынан шығарамыз:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Бірдей әрекетті қайталаңыз:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
Қалған радикалды өрнекте 2 және 3 бір рет кездеседі, сондықтан 5 факторын алып тастау керек:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
және арифметикалық амалдарды орындаңыз:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Сонымен, біз √2400=20√6 аламыз.
Егер тапсырмада: "квадрат түбірі бар өрнектің мәнін табу" анық айтылмаса, онда таңдау,Жауапты қай пішінде қалдыру керектігі (түбірді радикалдың астынан шығару керек пе) студентте қалады және шешілетін мәселеге байланысты болуы мүмкін.
Алғашында техникалық құралдарды қолданбай-ақ тапсырмаларды ресімдеуге, есептеуге, оның ішінде ауызша немесе жазбаша түрде жоғары талаптар қойылады.
Иррационал сандық өрнектермен жұмыс істеу ережелерін жақсы меңгергеннен кейін ғана күрделі әріптік өрнектерге және иррационал теңдеулерді шешуге және өрнектің мүмкін мәндерінің ауқымын есептеуге көшу мағынасы бар. радикалды.
Студенттер мұндай мәселеге математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханда, сондай-ақ мамандандырылған университеттердің бірінші курсында математикалық талдауды және сабақтас пәндерді оқыған кезде кездеседі.
