Тұрақты алтыбұрышты пирамида. Көлем және бет ауданы формулалары. Геометриялық есепті шешу

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-02 17:50

Стереометрия кеңістіктегі геометрияның бір саласы ретінде призмалардың, цилиндрлердің, конустардың, шарлардың, пирамидалардың және басқа да үш өлшемді фигуралардың қасиеттерін зерттейді. Бұл мақала алтыбұрышты қалыпты пирамиданың сипаттамалары мен қасиеттерін егжей-тегжейлі шолуға арналған.

Қай пирамида зерттеледі

Дұрыс алтыбұрышты пирамида – бір тең қабырғалы және тең бұрышты алтыбұрышпен және алты бірдей тең қабырғалы үшбұрышпен шектелген кеңістіктегі фигура. Бұл үшбұрыштар белгілі бір жағдайларда тең қабырғалы болуы мүмкін. Бұл пирамида төменде көрсетілген.

Мұнда дәл осындай фигура көрсетілген, тек бір жағдайда оның бүйір бетін оқырманға қаратып, ал екіншісінде - бүйір жиегімен бұрылған.

Кәдімгі алтыбұрышты пирамиданың жоғарыда аталған 7 беті бар. Сондай-ақ оның 7 шыңы және 12 қыры бар. Призмадан айырмашылығы, барлық пирамидалардың бүйір жақтарының қиылысуынан пайда болатын бір ерекше төбесі болады.үшбұрыштар. Тұрақты пирамида үшін ол маңызды рөл атқарады, өйткені одан фигураның негізіне түсірілген перпендикуляр биіктік болып табылады. Әрі қарай биіктік h әрпімен белгіленеді.

Көрсетілген пирамида екі себепке байланысты дұрыс деп аталады:

• оның табанында қабырғаларының ұзындығы a және бұрыштары тең 120o; алтыбұрыш орналасқан.
• Пирамиданың биіктігі h алтыбұрышты дәл оның центрінде қиып өтеді (қиылысу нүктесі алтыбұрыштың барлық жағынан және барлық шыңдарынан бірдей қашықтықта жатыр).

Бет ауданы

Дұрыс алтыбұрышты пирамиданың қасиеттері оның ауданын анықтаудан қарастырылады. Ол үшін алдымен фигураны жазықтықта жайып алу пайдалы. Оның схемалық көрінісі төменде көрсетілген.

Түзу ауданы, демек, қарастырылып отырған фигураның бүкіл беті алты бірдей үшбұрыш пен бір алтыбұрыштың аудандарының қосындысына тең екенін көруге болады.

Алтыбұрыштың ауданын анықтау үшін S_{6 қалыпты n-бұрыштың әмбебап формуласын пайдаланыңыз:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Мұндағы a - алтыбұрыштың қабырғасының ұзындығы.

Үшбұрыштың S₃ бүйір қабырғасының ауданын оның биіктігінің мәнін білсеңіз табуға болады h_b:

S₃=1/2сағ_ba.

Себебі алтауы даүшбұрыштар бір-біріне тең болса, онда негізі дұрыс алтыбұрышты пирамиданың ауданын анықтауға арналған жұмыс өрнекін аламыз:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Пирамида көлемі

Аудан сияқты, алтыбұрышты қалыпты пирамиданың көлемі де оның маңызды қасиеті болып табылады. Бұл көлем барлық пирамидалар мен конустар үшін жалпы формула бойынша есептеледі. Оны жазып алайық:

V=1/3S_oсағ.

Мұнда S_o таңбасы алтыбұрышты негіздің ауданы, яғни S_o=S _6.

Жоғарыдағы S_{6 формуласын V формуласына ауыстырып, дұрыс алтыбұрышты пирамиданың көлемін анықтаудың соңғы теңдігіне келеміз:}

V=√3/2a2сағ.

Геометриялық есептің мысалы

Кәдімгі алтыбұрышты пирамидада бүйір жиегі негіз жағының ұзындығынан екі есе үлкен. Соңғысы 7 см екенін біле отырып, бұл фигураның бетінің ауданы мен көлемін есептеу керек.

Сіз болжағандай, бұл мәселені шешу S және V үшін жоғарыда алынған өрнектерді қолдануды қамтиды. Дегенмен, оларды бірден қолдану мүмкін емес, өйткені біз апотем мен сөзді білмейміз. дұрыс алтыбұрышты пирамиданың биіктігі. Оларды есептеп көрейік.

h_b апотемасын b, a/2 және h_{b қабырғаларында салынған тікбұрышты үшбұрышты қарастыру арқылы анықтауға болады. Мұндағы b - бүйірлік жиектің ұзындығы. Мәселенің шартын пайдалана отырып, біз мынаны аламыз:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 см.}

Пирамиданың h биіктігін дәл апотема сияқты анықтауға болады, бірақ енді пирамиданың ішінде орналасқан қабырғалары h, b және a болатын үшбұрышты қарастыруымыз керек. Биіктігі: болады

сағ=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 см.}

Есептелетін биіктік мәні апотемадан аз екенін көруге болады, бұл кез келген пирамида үшін дұрыс.

Енді көлем мен аумақ үшін өрнектерді пайдалануға болады:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96см^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48см^3.

Осылайша, кәдімгі алтыбұрышты пирамиданың кез келген сипаттамасын анық анықтау үшін оның кез келген екі сызықтық параметрін білу керек.