Тура үшбұрышты призма. Көлем және бет ауданы формулалары. Геометриялық есепті шешу

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2024-01-02 17:50

Орта мектепте фигуралардың жазықтықтағы қасиеттерін зерттегеннен кейін призмалар, шарлар, пирамидалар, цилиндрлер және конустар сияқты кеңістіктік геометриялық объектілерді қарастыруға көшеді. Бұл мақалада біз түзу үшбұрышты призманың толық сипаттамасын береміз.

Үшбұрыш призмасы дегеніміз не?

Мақаланы әрі қарай талқыланатын фигураның анықтамасынан бастайық. Геометрия тұрғысынан призма - бұл параллель жазықтықта орналасқан, бірдей бұрыштары түзу кесінділермен қосылған екі бірдей n-бұрыштардан құралған кеңістіктегі фигура. Бұл сегменттер бүйір қабырғалары деп аталады. Негіздің бүйірлерімен бірге олар әдетте параллелограммдармен бейнеленетін бүйір бетін құрайды.

Екі n-бұрышы фигураның негізі болып табылады. Егер бүйірлік жиектер оларға перпендикуляр болса, онда олар түзу призма туралы айтады. Сәйкесінше, егер көпбұрыштың табандарындағы n қабырғаларының саны үш болса, онда мұндай фигураны үшбұрышты призма деп атайды.

Үшбұрышты түзу призма жоғарыда суретте көрсетілген. Бұл фигураны тұрақты деп те атайды, өйткені оның табандары тең қабырғалы үшбұрыштар. Суретте h әрпімен көрсетілген фигураның бүйір жиегінің ұзындығы оның биіктігі деп аталады.

Суреттен табаны үшбұрышты призманың бес жағынан жасалғаны көрсетілген, оның екеуі тең қабырғалы үшбұрыштар және үшеуі бірдей тіктөртбұрыштар. Беткейлерден басқа призманың табанында алты төбесі және тоғыз қыры бар. Қарастырылған элементтердің сандары бір-бірімен Эйлер теоремасы бойынша байланысқан:

жиектер саны=шыңдар саны + жақтардың саны - 2.

Тік бұрышты үшбұрыш призманың ауданы

Жоғарыда қарастырылып отырған фигура екі түрлі (екі үшбұрыш, үш тіктөртбұрыш) бес жүзден тұратынын білдік. Бұл беттердің барлығы призманың толық бетін құрайды. Олардың жалпы ауданы фигураның ауданы болып табылады. Төменде үшбұрышты призма ашылады, оны алдымен суреттен екі негізді кесіп, содан кейін бір жиегін кесіп, бүйір бетін ашу арқылы алуға болады.

Осы сыпырудың бетінің ауданын анықтауға арналған формулаларды берейік. Тік бұрышты үшбұрышты призманың негіздерінен бастайық. Олар үшбұрыштарды бейнелейтіндіктен, олардың әрқайсысының S_{3 аймағын келесідей табуға болады:}

S₃=1/2ah_a.

Мұнда a – үшбұрыштың қабырғасы, h_{a – үшбұрыштың төбесінен осы жаққа түсірілген биіктік.}

Егер үшбұрыш теңбүйірлі (тұрақты) болса, S_{3 формуласы бір ғана a параметріне байланысты. Мынадай көрінеді:}

S₃=√3/4a^2.

Бұл өрнекті a, a/2, h_{a кесінділері арқылы құрылған тікбұрышты үшбұрышты қарастыру арқылы алуға болады.}

Қарапайым фигура үшін S_o негіздерінің ауданы S_{3 мәнінен екі есе көп:}

S_o=2S₃=√3/2a^2.

С_{b бүйір бетінің ауданына келетін болсақ, оны есептеу қиын емес. Мұны істеу үшін a және h қабырғалары түзілген бір тіктөртбұрыштың ауданын үшке көбейту жеткілікті. Сәйкес формула:}

S_b=3aсағ.

Осылайша табаны үшбұрышты дұрыс призманың ауданы келесі формула бойынша табылады:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 aсағ.}

Егер призма түз, бірақ дұрыс емес болса, оның ауданын есептеу үшін бір-біріне тең емес тіктөртбұрыштардың аудандарын бөлек қосу керек.

Фигураның көлемін анықтау

Призма көлемі деп оның қабырғаларымен (беттерімен) шектелген кеңістік түсініледі. Тік бұрышты үшбұрышты призманың көлемін есептеу оның бетінің ауданын есептеуге қарағанда әлдеқайда оңай. Мұны істеу үшін негіздің ауданы мен фигураның биіктігін білу жеткілікті. Түзу фигураның h биіктігі оның бүйір жиегінің ұзындығы болғандықтан және негіз ауданын қалай есептеу керек, біз алдыңғынүкте, содан кейін қажетті көлемді алу үшін осы екі мәнді бір-біріне көбейту қалады. Оның формуласы:

V=S_3сағ.

Бір негіздің ауданы мен биіктігінің көбейтіндісі тек түзу призманың ғана емес, қиғаш фигураның және тіпті цилиндрдің көлемін беретінін ескеріңіз.

Мәселені шешу

Шыны үшбұрышты призмалар оптикада дисперсия құбылысына байланысты электромагниттік сәулелену спектрін зерттеу үшін қолданылады. Кәдімгі шыны призманың табанының бүйірінің ұзындығы 10 см, жиегінің ұзындығы 15 см болатыны белгілі. Оның шыны беттерінің ауданы қандай және оның көлемі қандай?

Ауданды анықтау үшін мақалада жазылған формуланы қолданамыз. Бізде:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6см^2.

V көлемін анықтау үшін жоғарыдағы формуланы да қолданамыз:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 см}3^.

Призманың жиектері 10 см және ұзындығы 15 см болғанымен, фигураның көлемі небәрі 0,65 л (қабырғасы 10 см текшенің көлемі 1 литр).