Заттың газ агрегаттық күйінің қасиеттерін зерттеу қазіргі физиканың маңызды бағыттарының бірі болып табылады. Газдарды микроскопиялық масштабта қарастыратын болсақ, жүйенің барлық макроскопиялық параметрлерін алуға болады. Бұл мақала газдардың молекулалық-кинетикалық теориясының маңызды мәселесін ашады: жылдамдықтар бойынша молекулалардың Максвелл таралуы дегеніміз не.
Тарихи дерек
Газдың микроскопиялық қозғалатын бөлшектер жүйесі ретіндегі идеясы Ежелгі Грецияда пайда болған. Оны жасау үшін ғылымға 1700 жылдан астам уақыт қажет болды.
Газдың қазіргі молекулярлық-кинетикалық теориясының (МКТ) негізін қалаушы Даниил Бернуллиді қарастырған жөн. 1738 жылы «Гидродинамика» атты еңбегін жариялады. Онда Бернулли бүгінгі күнге дейін қолданылып келген МКТ идеяларын атап өтті. Сонымен, ғалым газдар барлық бағытта ретсіз қозғалатын бөлшектерден тұрады деп есептеді. Көптеген соқтығыстарыдыс қабырғалары бар бөлшектер газдардағы қысымның болуы ретінде қабылданады. Бөлшектердің жылдамдығы жүйенің температурасымен тығыз байланысты. Бернуллидің батыл идеяларын ғылыми қоғамдастық қабылдамады, өйткені энергияның сақталу заңы әлі анықталмаған.
Кейіннен көптеген ғалымдар газдардың кинетикалық моделін құрумен айналысты. Олардың ішінде 1857 жылы қарапайым газ үлгісін жасаған Рудольф Клаузиусты атап өткен жөн. Онда ғалым молекулалардағы трансляциялық, айналу және тербеліс еркіндік дәрежелерінің болуына ерекше назар аударған.
1859 жылы Клаузиустың жұмысын зерттей отырып, Джеймс Максвелл молекулалық жылдамдықтар бойынша Максвелл таралуы деп аталатын тұжырымды тұжырымдады. Шындығында, Максвелл MKT идеяларын математикалық аппаратпен растады. Кейіннен Людвиг Больцман (1871) Максвелл бөлудің қорытындыларын жалпылады. Ол жылдамдықтар мен энергиялар бойынша молекулалардың жалпы статистикалық таралуын тұжырымдады. Қазіргі уақытта ол Максвелл-Больцман үлестірімі ретінде белгілі.
Идеал газ. ILC негізгі постулаттары
Максвелл тарату функциясының не екенін түсіну үшін бұл функция қолданылатын жүйелерді нақты түсіну керек. Біз идеалды газ туралы айтып отырмыз. Физикада бұл ұғым потенциалдық энергиясы жоқ іс жүзінде өлшемсіз бөлшектерден тұратын сұйық зат ретінде түсініледі. Бұл бөлшектер жоғары жылдамдықпен қозғалады, сондықтан олардың мінез-құлқы толығымен кинетикалық энергиямен анықталады. Оның үстіне, бөлшектер арасындағы қашықтық тым үлкенолардың өлшемдерімен салыстырғанда, соңғылары ескерілмейді.
Идеал газдар MKT ішінде сипатталған. Оның негізгі постулаттары келесідей:
- газ жүйелері өте көп бос бөлшектерден тұрады;
- бөлшектер түзу траекториялар бойымен әртүрлі бағытта әртүрлі жылдамдықпен кездейсоқ қозғалады;
- бөлшектер ыдыс қабырғаларымен серпімді соқтығысады (бөлшектердің бір-бірімен соқтығысу ықтималдығы олардың шағын өлшемдеріне байланысты төмен);
- Жүйе температурасы бөлшектердің орташа кинетикалық энергиясымен бірегей түрде анықталады, егер жүйеде термодинамикалық тепе-теңдік орнатылған болса, уақытында сақталады.
Максвеллдің таралу заңы
Егер адамның қолында бір газ молекуласының жылдамдығын өлшеуге болатын аспап болса, онда тиісті тәжірибе жүргізгеннен кейін ол таң қалар еді. Эксперимент кез келген газ жүйесінің әрбір молекуласы толығымен еркін жылдамдықпен қозғалатынын көрсетеді. Бұл жағдайда қоршаған ортамен жылулық тепе-теңдіктегі бір жүйе аясында өте баяу және өте жылдам молекулалар анықталатын еді.
Максвеллдің газ молекулаларының жылдамдықтарының таралу заңы зерттелетін жүйедегі v жылдамдығы берілген бөлшектерді табу ықтималдығын анықтауға мүмкіндік беретін құрал. Сәйкес функция келесідей көрінеді:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
Бұл өрнекте, m -бөлшек (молекула) массасы, k – Больцман тұрақтысы, Т – абсолютті температура. Сонымен, егер бөлшектердің химиялық табиғаты (m мәні) белгілі болса, онда f(v) функциясы абсолютті температура арқылы бірегей түрде анықталады. f(v) функциясы ықтималдық тығыздығы деп аталады. Егер одан қандай да бір жылдамдық шегі (v; v+dv) үшін интегралды алсақ, онда көрсетілген интервалда жылдамдықтары бар Ni бөлшектердің санын аламыз. Сәйкесінше, 0-ден ∞-ке дейінгі жылдамдық шектері үшін ықтималдық тығыздығының f(v) интегралын алсақ, онда жүйедегі N молекулаларының жалпы санын аламыз.
Ықтималдық тығыздығының графикалық көрінісі f(v)
Ықтималдық тығыздығы функциясының біршама күрделі математикалық түрі бар, сондықтан оның берілген температурадағы әрекетін көрсету оңай емес. Егер сіз оны екі өлшемді графикте бейнелесеңіз, бұл мәселені шешуге болады. Максвелл таралу графигінің схемалық көрінісі төменде суретте көрсетілген.
Молекулалардың v жылдамдығы теріс мәндерге ие бола алмайтындықтан, оның нөлден басталатынын көреміз. График нөлге біркелкі түсіп, жоғары жылдамдықтар аймағында аяқталады (f(∞)->0). Келесі мүмкіндік те таң қалдырады: тегіс қисық асимметриялы, шағын жылдамдықтарда ол күрт төмендейді.
Ықтималдық тығыздығы функциясы f(v) әрекетінің маңызды ерекшелігі онда бір айқын максимумның болуы болып табылады. Функцияның физикалық мағынасы бойынша бұл максимум газдағы молекулалардың жылдамдықтарының ең ықтимал мәніне сәйкес келеді.жүйе.
f(v)
функциясы үшін маңызды жылдамдықтар
Ықтималдық тығыздығы функциясы f(v) және оның графикалық көрінісі жылдамдықтың үш маңызды түрін анықтауға мүмкіндік береді.
Айқын және жоғарыда айтылған жылдамдықтың бірінші түрі - ең ықтимал жылдамдық v1. Графикте оның мәні f(v) функциясының максимумына сәйкес келеді. Дәл осы жылдамдық пен оған жақын мәндер жүйенің бөлшектерінің көпшілігіне ие болады. Оны есептеу қиын емес, ол үшін f(v) функциясының жылдамдығына қатысты бірінші туындысын алып, оны нөлге теңестіру жеткілікті. Осы математикалық операциялардың нәтижесінде біз соңғы нәтижені аламыз:
v1=√(2RT/M).
Мұндағы R – әмбебап газ тұрақтысы, M – молекулалардың молярлық массасы.
Жылдамдықтың екінші түрі - оның барлық N бөлшектер үшін орташа мәні. Оны v2 деп белгілейік. Оны барлық жылдамдықтар бойынша vf(v) функциясын интегралдау арқылы есептеуге болады. Белгіленген интеграцияның нәтижесі келесі формула болады:
v2=√(8RT/(piM)).
Парақатынас 8/pi>2 болғандықтан, орташа жылдамдық әрқашан ең ықтималнан сәл жоғары болады.
Физикадан аздап хабары бар әрбір адам молекулалардың орташа жылдамдығы v2 газ жүйесінде үлкен маңызға ие болуы керек екенін түсінеді. Дегенмен, бұл қате болжам. RMS жылдамдығы әлдеқайда маңызды. Оны белгілейікv3.
Анықтамаға сәйкес, орташа квадраттық жылдамдық – бұл барлық бөлшектердің жеке жылдамдықтарының квадраттарының қосындысы, осы бөлшектердің санына бөлінген және квадрат түбір ретінде алынған. Оны Максвелл үлестірімі үшін есептеуге болады, егер v2f(v) функциясының барлық жылдамдықтары бойынша интегралды анықтасақ. Орташа квадраттық жылдамдықтың формуласы келесі пішінді алады:
v3=√(3RT/M).
Теңдік бұл жылдамдықтың кез келген газ жүйесі үшін v2 және v1 жылдамдығынан жоғары екенін көрсетеді.
Осылайша, Максвелл таралу графигінде қарастырылған жылдамдықтардың барлық түрлері экстремумда немесе оның оң жағында жатыр.
v3 маңыздылығы
Жоғарыда газ жүйесінің физикалық процестері мен қасиеттерін түсіну үшін орташа квадраттық жылдамдық v2 қарапайым орташа жылдамдыққа қарағанда маңыздырақ екені атап өтілді. Бұл дұрыс, өйткені идеал газдың кинетикалық энергиясы v3-ге тәуелді, бірақ v2.
Егер бір атомды идеал газды қарастыратын болсақ, онда ол үшін келесі өрнек дұрыс болады:
mv32/2=3/2kT.
Мұнда теңдеудің әрбір бөлігі m массалық бір бөлшектің кинетикалық энергиясын көрсетеді. Неліктен өрнекте орташа жылдамдық v2 емес, дәл v3 мәні бар? Өте қарапайым: әрбір бөлшектің кинетикалық энергиясын анықтау кезінде оның жеке жылдамдығы v квадраты алынады, содан кейін барлық жылдамдықтарқосылып, N бөлшектер санына бөлінеді. Яғни кинетикалық энергияны анықтау процедурасының өзі орташа квадраттық жылдамдықтың мәніне әкеледі.
f(v) функциясының температураға тәуелділігі
Біз жоғарыда молекулалық жылдамдықтардың ықтималдық тығыздығы тек температураға байланысты екенін анықтадық. Егер T ұлғайса немесе азайса, функция қалай өзгереді? Төмендегі диаграмма бұл сұраққа жауап береді.
Жабық жүйенің жылытуы шыңның жағылуына және оның жоғары жылдамдықтарға жылжуына әкелетінін байқауға болады. Температураның жоғарылауы жылдамдықтардың барлық түрлерінің өсуіне және олардың әрқайсысының ықтималдық тығыздығының төмендеуіне әкеледі. Тұйық жүйедегі N бөлшектер санының сақталуына байланысты шың мәні төмендейді.
Одан кейін біз алынған теориялық материалды бекіту үшін бірнеше мәселені шешеміз.
Ауадағы азот молекулаларына қатысты мәселе
Жылдамдықтарды есептеу қажет v1, v2 және v3 ауа азоты үшін 300 К температурада (шамамен 27 oC).
Азоттың N2 молярлық массасы 28 г/моль. Жоғарыдағы формулаларды қолданып, біз мынаны аламыз:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 м/с;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 м/с;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 м/с.
Оттегі багының мәселесі
Цилиндрдегі оттегі белгілі бір температурада болды T1. Содан кейін шар салқынырақ бөлмеге қойылды. Жүйе термодинамикалық тепе-теңдікке жеткенде, оттегі молекулалары үшін Максвелл жылдамдығының таралу графигі қалай өзгереді?
Теорияны еске түсіре отырып, мәселенің сұрағына былай жауап беруге болады: молекулалар жылдамдықтарының барлық түрлерінің мәндері төмендейді, f(v) функциясының шыңы солға жылжиды, тар және жоғары болады.
