Голдбах мәселесі - барлық математика тарихындағы ең көне және ең көп көтерілген есептердің бірі.
Бұл болжам 4 × 1018-ден кіші барлық бүтін сандар үшін дұрыс екені дәлелденді, бірақ математиктердің айтарлықтай күш-жігеріне қарамастан дәлелденбеген.
Нөмір
Голдбах саны - тақ жай сандар жұбының қосындысы болатын оң жұп бүтін сан. Голдбах болжамының тағы бір түрі төрттен үлкен барлық жұп бүтін сандар Голдбах сандары болып табылады.
Мұндай сандарды бөлу Голдбах бөлімі (немесе бөлімі) деп аталады. Төменде кейбір жұп сандар үшін ұқсас бөлімдердің мысалдары берілген:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Гипотезаны ашу
Голдбахтың Эйлер есімді әріптесі бар еді, ол санауды, күрделі формулаларды жазуды және шешілмейтін теорияларды ұсынғанды ұнататын. Бұл жағынан олар Голдбахқа ұқсас болды. Эйлер өзімен бірге Голдбахқа дейін де осындай математикалық жұмбақ жасадытұрақты хат алмасу. Содан кейін ол өз қолжазбасының шетінде екінші ұсынысты ұсынды, оған сәйкес 2-ден үлкен бүтін санды үш жай санның қосындысы ретінде жазуға болады. Ол 1-ді жай сан деп есептеді.
Екі гипотеза қазір ұқсас екені белгілі, бірақ ол кезде бұл проблема болмаған сияқты. Голдбах есебінің қазіргі нұсқасы 5-тен үлкен әрбір бүтін санды үш жай санның қосындысы ретінде жазуға болатынын айтады. Эйлер 1742 жылдың 30 маусымындағы хатында жауап беріп, Голдбахтың бұрынғы әңгімесін еске түсірді («… сондықтан біз келесі мәлімдемеден туындайтын бастапқы (және шекті емес) гипотеза туралы айтып отырмыз»).
Эйлер-Голдбах мәселесі
2 және оның жұп сандарын екі жай санның қосындысы ретінде жазуға болады, бұл да Голдбахтың болжамы. 1742 жылғы 30 маусымдағы хатында Эйлер әрбір жұп бүтін сан екі жай санның қосылуының нәтижесі екенін айтты, оны дәлелдей алмаса да, ол нақты анықталған теорема деп санайды.
Үшінші нұсқа
Голдбах мәселесінің үшінші нұсқасы (басқа екі нұсқаға баламалы) – бұл болжамның бүгінгі күні әдетте берілген формасы. Оны бүгінгі күні «әлсіз», «тақ» немесе «үштік» Голдбах болжамы деп аталатын әлсіз гипотезадан ажырату үшін оны «күшті», «жұп» немесе «екілік» Голдбах болжамы деп те атайды. Әлсіз болжам 7-ден үлкен барлық тақ сандар үш тақ жай санның қосындысы екенін айтады. Әлсіз болжам 2013 жылы дәлелденді. Әлсіз гипотезакүшті гипотезаның салдары. Кері нәтиже және күшті Голдбах болжамы әлі күнге дейін дәлелденбеген.
Тексеру
Кіші n мәндері үшін Голдбах мәселесін (демек, Голдбах болжамын) тексеруге болады. Мысалы, 1938 жылы Нилс Пипинг n ≦ 105-ке дейінгі гипотезаны мұқият тексерді. Алғашқы компьютерлердің пайда болуымен n-дің тағы да көптеген мәндері есептелді.
Оливейра Силва 2013 жылғы жағдай бойынша n ≦ 4 × 1018 (және 4 × 1017 дейін екі рет тексерілген) гипотезасын растайтын бөлінген компьютерлік іздеуді орындады. Осы іздеудің бір жазбасы: 3,325,581,707,333,960,528 - 9781-ден төмен жай саны бар Голдбах бөлінісі жоқ ең кіші сан.
Эвристика
Голдбах болжамының күшті түрінің нұсқасы келесідей: n ұлғайған сайын шама шексіздікке ұмтылатындықтан, әрбір үлкен жұп санның екі жай санның қосындысы ретінде бірнеше көрінісі болады деп күтеміз. Бірақ шын мәнінде мұндай өкілдіктер өте көп. Голдбах мәселесін кім шешті? Өкінішке орай, әлі ешкім.
Бұл эвристикалық аргумент шын мәнінде біршама дәл емес, өйткені ол m статистикалық тұрғыдан n-ден тәуелсіз деп болжайды. Мысалы, егер m тақ болса, онда n - m де тақ, ал егер m жұп болса, онда n - m жұп және бұл тривиальды емес (күрделі) қатынас, өйткені 2 санынан бөлек, тек тақ. сандар жай болуы мүмкін. Сол сияқты, егер n 3-ке бөлінетін болса және m 3-тен басқа жай болса, онда n - m да өзаражай сан 3 бар, сондықтан жалпы санға қарағанда жай сан болуы ықтимал. Талдаудың бұл түрін мұқият жүргізе отырып, 1923 жылы Харди мен Литлвуд өздерінің әйгілі Харди-Литтлвуд кортежінің болжамының бөлігі ретінде бүкіл теорияның жоғарыда көрсетілген нақтылауын жасады. Бірақ бұл мәселені шешуге әзірге көмектеспеді.
Күшті гипотеза
Голдбахтың күшті болжамы әлсіз Голдбах болжамына қарағанда әлдеқайда күрделі. Шнирельман кейінірек 1-ден асатын кез келген натурал санды ең көп C жай сандарының қосындысы ретінде жазуға болатынын дәлелдеді, мұндағы С тиімді есептелетін тұрақты. Көптеген математиктер оны шешуге тырысты, сандарды санау және көбейту, күрделі формулаларды ұсыну және т.б. Бірақ олар ешқашан жетістікке жете алмады, өйткені гипотеза тым күрделі. Ешбір формула көмектеспеді.
Бірақ Голдбах мәселесін аздап дәлелдеу мәселесінен алыстаған жөн. Шнирелман тұрақтысы осы қасиеті бар ең кіші С саны болып табылады. Шнирелманның өзі C <800 000 алды. Бұл нәтижені кейіннен Оливье Рамарет сияқты көптеген авторлар толықтырды, ол 1995 жылы әрбір жұп саны n ≧ 4 шын мәнінде ең көбі алты жай санның қосындысы екенін көрсетті. Қазіргі уақытта Гаральд Хельфготттың Голдбах теориясымен байланыстырылған ең танымал нәтиже.
Ары қарай дамыту
1924 жылы Харди мен Литлвуд G. R. H. екілік Голдбах есебін бұзатын X-ке дейінгі жұп сандар саны кішкентай c-ға қарағанда әлдеқайда аз екенін көрсетті.
1973 жылы Чен ЦзинюнМен бұл мәселені шешуге тырыстым, бірақ ол жұмыс істемеді. Ол да математик болған, сондықтан жұмбақтарды шешіп, теоремаларды дәлелдегенді қатты ұнататын.
1975 жылы екі американ математигі c және C оң тұрақтылары бар екенін көрсетті – олар үшін N жеткілікті үлкен. Атап айтқанда, жұп бүтін сандар жиынының тығыздығы нөлге тең. Мұның бәрі болашақта болатын үштік Голдбах мәселесін шешуге көмектесті.
1951 жылы Линник әрбір жеткілікті үлкен жұп сан бір-біріне бір жай сан мен басқа жай санды қосудың нәтижесі болатындай тұрақты К-ның бар екенін дәлелдеді. Роджер Хит-Браун және Ян-Кристоф Шлаге-Пучта 2002 жылы K=13 жұмыс істейтінін анықтады. Бұл бір-біріне қосуды, әртүрлі сандарды қосып, не болатынын көруді ұнататын барлық адамдар үшін өте қызықты.
Голдбах мәселесінің шешімі
Математикадағы көптеген белгілі болжамдар сияқты, Голдбах болжамының бірнеше болжамды дәлелдері бар, олардың ешқайсысын математикалық қауымдастық қабылдамайды.
Голдбахтың болжамы бірден үлкен әрбір натурал санды ең көбі үш жай санның қосындысы ретінде жазуға болатынын білдірсе де, мүмкін болатын ең үлкен жай санды пайдаланатын ашкөз алгоритмді пайдаланып мұндай қосындыны табу әрқашан мүмкін емес. әр қадамда. Pillai тізбегі олардың ашкөз көріністерінде ең қарапайым сандарды қажет ететін сандарды қадағалайды. Сондықтан Голдбах мәселесінің шешіміәлі де сұрақ. Дегенмен, ерте ме, кеш пе, ол шешіледі.
Жай сандар шаршылар сияқты басқа нақты сандар жиынымен ауыстырылатын Голдбах мәселесіне ұқсас теориялар бар.
Кристиан Голдбах
Кристиан Голдбах – неміс математигі, ол сонымен бірге құқықты да зерттеген. Ол бүгін Голдбах болжамымен есте қалды.
Ол өмір бойы математик болып жұмыс істеді - ол сандарды қосуды, жаңа формулаларды ойлап табуды қатты ұнататын. Сондай-ақ ол бірнеше тілді білген, олардың әрқайсысында жеке күнделігін жүргізетін. Бұл тілдер неміс, француз, итальян және орыс тілдері болды. Сондай-ақ, кейбір деректер бойынша ол ағылшын және латын тілдерін меңгерген. Ол көзі тірісінде-ақ белгілі математик ретінде танылды. Голдбах Ресеймен де тығыз байланыста болды, өйткені оның көптеген ресейлік әріптестері және корольдік отбасының жеке ықыласы болды.
Ол 1725 жылы жаңадан ашылған Петербург Ғылым академиясында математика профессоры және академияның тарихшысы ретінде жұмысын жалғастырды. 1728 жылы Петр II Ресей патшасы болған кезде, Голдбах оның тәлімгері болды. 1742 жылы Ресей Сыртқы істер министрлігіне кірді. Яғни, ол шын мәнінде біздің елде жұмыс істеген. Ол кезде Ресейге көптеген ғалымдар, жазушылар, философтар, әскери адамдар келді, өйткені Ресей ол кезде Америка сияқты мүмкіндіктер елі болатын. Көбі осында мансап жасады. Біздің кейіпкеріміз де ерекшелік емес.
Кристиан Голдбах көп тілді білді - ол неміс және латын тілдерінде күнделік жазды, оның хаттарынеміс, латын, француз және итальян тілдерінде жазылған, ал ресми құжаттарда орыс, неміс және латын тілдерінде жазылған.
1764 жылы 20 қарашада 74 жасында Мәскеуде қайтыс болды. Голдбахтың мәселесі шешілген күн оның естелігіне лайықты құрмет болады.
Қорытынды
Голдбах бізге осы ғылымның ең үлкен құпияларының бірін берген ұлы математик болды. Оның қашан шешілетіні, шешілмейтіні белгісіз. Ферма теоремасы жағдайындағыдай оның болжамды рұқсаты математика үшін жаңа перспективаларды ашатынын ғана білеміз. Математиктер оны шешуді және талдауды жақсы көреді. Бұл эвристикалық тұрғыдан өте қызықты және қызықты. Тіпті математика студенттері Голдбах есебін шешуді ұнатады. Басқа қалай? Өйткені, жастар үнемі жарқын, өршіл және шешілмеген барлық нәрсеге тартылады, өйткені қиындықтарды жеңу арқылы адам өзін-өзі дәлелдей алады. Жақын арада бұл мәселені жас, өршіл, ізденімпаздар шешеді деп сенейік.
