«Ферма теоремасы – қысқаша дәлелдеу» сұранысының танымалдылығына қарап, бұл математикалық есеп шынымен де көпшілікті қызықтырады. Бұл теореманы алғаш рет 1637 жылы Пьер де Ферма «Арифметика» көшірмесінің шетінде айтқан, ол жерде оның шешімі шетіне сыймайтындай үлкен болатынын мәлімдеген.
Бірінші сәтті дәлел 1995 жылы жарияланды - бұл Эндрю Уайлс Ферма теоремасының толық дәлелі болды. Бұл «таңқаларлық прогресс» ретінде сипатталды және Уайлсқа 2016 жылы Абель сыйлығын алуға әкелді. Салыстырмалы түрде қысқаша сипатталғанымен, Ферма теоремасының дәлелі модульдік теореманың көп бөлігін дәлелдеді және көптеген басқа мәселелерге жаңа тәсілдер мен модульді көтерудің тиімді әдістерін ашты. Бұл жетістіктер математиканы болашақта 100 жылдан кейін дамытады. Бүгінгі Ферманың кіші теоремасының дәлелі емесбұл әдеттен тыс нәрсе.
Шешілмеген мәселе 19 ғасырда алгебралық сандар теориясының дамуына және 20 ғасырда модульдік теореманың дәлелін іздеуге түрткі болды. Бұл математика тарихындағы ең көрнекті теоремалардың бірі және Ферманың соңғы теоремасының толық бөліну дәлелі болғанға дейін ол Гиннестің рекордтар кітабында «ең қиын математикалық есеп» ретінде болды, оның бір ерекшелігі мынада: онда сәтсіз дәлелдердің ең көп саны бар.
Тарихи дерек
Пифагор теңдеуі x2 + y2=z2 оң мәндердің шексіз санына ие x, y және z үшін бүтін шешімдер. Бұл шешімдер Пифагор үштігі деп аталады. Шамамен 1637 жылы Ферма кітаптың шетіне a + b =cтеңдеуінің жоқ екенін жазды. Натурал сандардағы шешімдер, егер n - 2-ден үлкен бүтін сан. Ферма теоремасының оны жасаушы мәлімдеген қарапайым дәлелі оның мақтанарлық өнертабысы болды. Ұлы француз математигінің кітабы ол қайтыс болғаннан кейін 30 жылдан кейін табылды. Ферманың соңғы теоремасы деп аталатын бұл теңдеу үш жарым ғасыр бойы математикада шешілмей қалды.
Теорема ақырында математикадағы ең көрнекті шешілмеген есептердің біріне айналды. Мұны дәлелдеу әрекеттері сандар теориясының маңызды дамуын тудырдыУақыт өте келе Ферманың соңғы теоремасы математикада шешілмеген мәселе ретінде белгілі болды.
Дәлелдердің қысқаша тарихы
Егер n=4 болса, оны Ферманың өзі дәлелдегендей, жай сандар болып табылатын n индекстері үшін теореманы дәлелдеу жеткілікті. Келесі екі ғасырда (1637-1839) болжам тек 3, 5 және 7 жай сандар үшін дәлелденді, дегенмен Софи Жермен барлық жай сандар класына қолданылатын тәсілді жаңартып, дәлелдеді. 19 ғасырдың ортасында Эрнст Куммер мұны кеңейтіп, барлық дұрыс жай сандар үшін теореманы дәлелдеді, бұл ретте тұрақты емес жай сандар жеке талданады. Куммердің жұмысына және күрделі компьютерлік зерттеулерге сүйене отырып, басқа математиктер теореманың шешімін кеңейте алды, оның мақсаты барлық негізгі көрсеткішті төрт миллионға дейін қамтуды көздеді, бірақ барлық дәреже көрсеткіштерінің дәлелі әлі де қол жетімді емес (математиктер әдетте теореманың шешімі мүмкін емес, өте қиын немесе қазіргі біліммен қол жетімсіз деп саналады).
Шимура мен Танияманың жұмысы
1955 жылы жапон математиктері Горо Шимура мен Ютака Танияма эллиптикалық қисық сызықтар мен модульдік формалар, математиканың бір-бірінен мүлдем басқа екі саласы арасында байланыс бар деп күдіктенген. Сол кезде Танияма-Шимура-Вейль болжамы және (соңында) модульдік теорема ретінде белгілі, ол Ферманың соңғы теоремасымен айқын байланыссыз өз бетінше өмір сүрді. Оның өзі маңызды математикалық теорема ретінде кеңінен қарастырылды, бірақ оны (Ферма теоремасы сияқты) дәлелдеу мүмкін емес деп саналды. Сол кездеСонымен бірге Ферманың соңғы теоремасын (күрделі математикалық формулаларды бөлу және қолдану арқылы) дәлелдеу жарты ғасырдан кейін ғана жүзеге асырылды.
1984 жылы Герхард Фрей бұрын бір-бірімен байланысы жоқ және шешілмеген екі мәселенің арасындағы анық байланысты байқады. Екі теореманың бір-бірімен тығыз байланысты екенін толық растауды 1986 жылы Кен Рибет жариялады, ол Жан-Пьер Серраның ішінара дәлелдеуіне негізделген, ол «эпсилон гипотезасы» деп аталатын бір бөлігін қоспағанда, барлығын дәлелдеді. Қарапайым тілмен айтқанда, Фрей, Серра және Рибенің бұл еңбектері модульдік теореманы кем дегенде эллиптикалық қисықтардың жартылай тұрақты класы үшін дәлелдеуге болатын болса, Ферманың соңғы теоремасының дәлелі де ерте ме, кеш пе ашылатынын көрсетті. Ферманың соңғы теоремасына қайшы келетін кез келген шешімді модульдік теоремаға қайшы келу үшін де қолдануға болады. Демек, егер модульдік теорема ақиқат болып шықса, анықтама бойынша Ферманың соңғы теоремасына қайшы келетін шешім болуы мүмкін емес, яғни ол жақын арада дәлелденуі керек еді.
Екі теорема да математикадағы қиын есептер болса да, шешілмейтін деп есептелсе де, екі жапондық жұмыс Ферманың соңғы теоремасын кейбір сандар үшін ғана емес, барлық сандар үшін қалай кеңейтуге және дәлелдеуге болатыны туралы алғашқы ұсыныс болды. Зерттеу тақырыбын таңдаған зерттеушілер үшін Ферманың соңғы теоремасынан айырмашылығы модульдік теорема зерттеудің негізгі белсенді бағыты болғаны маңызды болды.тек тарихи оғаштық емес, дәлелдер әзірленді, сондықтан оның жұмысына жұмсалған уақытты кәсіби тұрғыдан ақтауға болады. Дегенмен, жалпы консенсус Таняма-Симура болжамын шешу орынсыз болып шықты.
Ферманың соңғы теоремасы: Уайлс дәлелі
Рибет Фрей теориясының дұрыстығын дәлелдегенін білген ағылшын математигі Эндрю Уайлс бала кезінен Ферманың соңғы теоремасына қызығушылық танытқан және эллиптикалық қисық сызықтармен және көршілес домендермен жұмыс істеу тәжірибесі бар ағылшын математигі Эндрю Уайлс Танияма-Шимураны дәлелдеуге шешім қабылдады. Ферманың соңғы теоремасын дәлелдеу тәсілі ретінде болжам. 1993 жылы өзінің мақсатын жариялағаннан кейін алты жыл өткен соң, теореманы шешу мәселесімен жасырын жұмыс істегенде, Уайлс байланысты болжамды дәлелдей алды, бұл өз кезегінде оған Ферманың соңғы теоремасын дәлелдеуге көмектеседі. Уайлс құжатының көлемі мен көлемі өте үлкен болды.
Бірлескен шолу кезінде оның түпнұсқалық мақаласының бір бөлігінде кемшілік табылды және теореманы бірлесіп шешу үшін Ричард Тейлормен тағы бір жыл ынтымақтастық қажет болды. Нәтижесінде Уайлстың Ферманың соңғы теоремасының соңғы дәлелі көп күттірмеді. 1995 жылы ол Уайлстың бұрынғы математикалық жұмысына қарағанда әлдеқайда аз көлемде жарияланды, бұл оның теореманы дәлелдеу мүмкіндігі туралы бұрынғы тұжырымдарында қателеспегенін көрсетеді. Уайлстың жетістігі танымал баспасөзде кеңінен жарияланып, кітаптар мен теледидар бағдарламаларында танымал болды. Қазіргі уақытта дәлелденген Танияма-Шимура-Вейль болжамының қалған бөліктері жәнеМодульдік теорема ретінде белгілі, кейіннен 1996 және 2001 жылдар аралығында Уайлс жұмысына негізделген басқа математиктер дәлелдеді. Жетістіктері үшін Уайлс көптеген марапаттарға ие болды, соның ішінде 2016 жылғы Абель сыйлығы.
Уайлстың Ферманың соңғы теоремасының дәлелі эллиптикалық қисықтар үшін модульдік теореманы шешудің ерекше жағдайы болып табылады. Дегенмен, бұл осындай ауқымды математикалық операцияның ең танымал жағдайы. Британ математигі Рибе теоремасын шешумен қатар Ферманың соңғы теоремасының дәлелдемесін де алды. Ферманың соңғы теоремасы мен модульдік теоремасын қазіргі математиктер әмбебап дерлік дәлелдеу мүмкін емес деп санады, бірақ Эндрю Уайлс ғылым әлеміне тіпті сарапшылардың да қателесуі мүмкін екенін дәлелдей алды.
Уайлс алғаш рет сәрсенбіде 1993 жылы 23 маусымда Кембриджде «Модульдік пішіндер, эллиптикалық қисықтар және галуа репрезентациялары» атты дәрісте өзінің ашқан жаңалығын жариялады. Алайда 1993 жылдың қыркүйегінде оның есептеулерінде қате бар екені анықталды. Бір жылдан кейін, 1994 жылдың 19 қыркүйегінде, ол «жұмыс өмірінің ең маңызды сәті» деп атайтын кезде, Уайлс оған мәселенің шешімін математикалық талаптарды қанағаттандыра алатындай етіп түзетуге мүмкіндік беретін аянға тап болды. қауымдастық.
Жұмыс сипаттамасы
Ферма теоремасының дәлелі Эндрю Уайлс алгебралық геометрия мен сандар теориясының көптеген әдістерін пайдаланады және оларда көптеген салдарлары бар.математиканың салалары. Ол сондай-ақ схемалар категориясы және Ивасава теориясы сияқты заманауи алгебралық геометрияның стандартты конструкцияларын, сондай-ақ Пьер де Ферма үшін қол жетімді болмаған 20 ғасырдағы басқа әдістерді пайдаланады.
Дәлелді қамтитын екі мақала 129 беттен тұрады және жеті жыл ішінде жазылған. Джон Коутс бұл жаңалықты сандар теориясының ең үлкен жетістіктерінің бірі деп сипаттады, ал Джон Конуэй оны 20-ғасырдың басты математикалық жетістігі деп атады. Уайлс жартылай орнықты эллиптикалық қисықтардың ерекше жағдайы үшін модульдік теореманы дәлелдеу арқылы Ферманың соңғы теоремасын дәлелдеу үшін модульді көтерудің күшті әдістерін жасады және көптеген басқа мәселелерге жаңа тәсілдер ашты. Ферманың соңғы теоремасын шешкені үшін ол рыцарь атағын алды және басқа да марапаттарға ие болды. Уайлс Абель сыйлығын жеңіп алғаны белгілі болғанда, Норвегия ғылым академиясы оның жетістігін «Ферманың соңғы теоремасының тамаша және қарапайым дәлелі» деп сипаттады.
Қалай болды
Уайлстың түпнұсқа қолжазбасын теореманың шешімімен қарастырған адамдардың бірі Ник Катц болды. Шолу барысында ол британдыққа бірнеше нақтылау сұрақтарын қойды, бұл Уайлсты оның жұмысында олқылық бар екенін мойындауға итермеледі. Дәлелдеудің бір сыни бөлігінде белгілі бір топтың тәртібін бағалауды беретін қате жіберілді: Колывагин мен Флах әдісін кеңейту үшін қолданылатын Эйлер жүйесі толық емес. Дегенмен, қате оның жұмысын пайдасыз етпеді - Уайлс жұмысының әрбір бөлігі көптеген адамдар сияқты өте маңызды және жаңашыл болды.оның жұмыс барысында жасаған және қолжазбаның бір бөлігіне ғана әсер еткен әзірлемелер мен әдістер. Алайда 1993 жылы жарияланған бұл түпнұсқа жұмыста Ферманың соңғы теоремасының дәлелі болған жоқ.
Уайлс бір жылға жуық уақытын теореманың шешімін қайта ашуға тырысты, алдымен жалғыз өзі, содан кейін өзінің бұрынғы студенті Ричард Тейлормен бірлесіп, бірақ бәрі бекер болып көрінді. 1993 жылдың аяғында Уайлс дәлелдемелері сынақта сәтсіздікке ұшырады деген қауесет тарады, бірақ бұл сәтсіздіктің қаншалықты маңызды екені белгісіз. Математиктер Уайлсқа оның жұмысының егжей-тегжейлерін, ол орындалды ма, жоқ па, ашып көрсету үшін қысым көрсете бастады, осылайша кеңірек математиктер қауымы оның қол жеткізген барлық нәрсені зерттеп, пайдалана алады. Уайлс қатесін тез түзетудің орнына Ферманың соңғы теоремасын дәлелдеуде қосымша қиын аспектілерді ғана тапты және ақыры оның қаншалықты қиын екенін түсінді.
Уайлс 1994 жылдың 19 қыркүйегінде ол бас тартудың және бас тартудың алдында тұрғанын және сәтсіздікке ұшырау үшін отставкаға кететінін айтады. Аяқталмаған жұмысын басқалар соған сүйеніп, қай жерде қателескенін табуы үшін жариялауға дайын болды. Ағылшын математигі өзіне соңғы мүмкіндік беруді ұйғарды және кенеттен Колывагин-Флак тәсілінің жұмыс істемейтінін түсінген кезде, оның амалының нәтиже бермеуінің негізгі себептерін түсінуге тырысу үшін соңғы рет теореманы талдады.дәлелдеу процесіне Ивасава теориясын қосады, бұл оның жұмыс істеуіне мүмкіндік береді.
6 қазанда Уайлс үш әріптесінен (соның ішінде Фальтинс) жаңа жұмысын қарастыруды өтінді, ал 1994 жылы 24 қазанда ол екі қолжазбаны – «Модульдік эллиптикалық қисықтар және Ферманың соңғы теоремасы» және «Теоретикалық қасиеттері кейбір Хекке алгебраларының сақинасы», оның екіншісін Уайлс Тейлормен бірге жазды және негізгі мақаладағы түзетілген қадамды негіздеу үшін белгілі бір шарттар орындалғанын дәлелдеді.
Бұл екі мақала қаралды және соңында 1995 жылдың мамыр айында «Математика жылнамасында» толық мәтінді басылым ретінде жарияланды. Эндрюдің жаңа есептеулері кеңінен талданып, ақыры ғылыми қауымдастық тарапынан қабылданды. Бұл мақалаларда жартылай орнықты эллиптикалық қисықтардың модульдік теоремасы белгіленді – бұл Ферманың соңғы теоремасы жасалғаннан кейін 358 жыл өткен соң дәлелдеу жолындағы соңғы қадам.
Ұлы мәселенің тарихы
Бұл теореманы шешу көптеген ғасырлар бойы математикадағы ең үлкен мәселе болып саналды. 1816 және 1850 жылдары Француз ғылым академиясы Ферманың соңғы теоремасын жалпы дәлелдеу үшін сыйлық ұсынды. 1857 жылы академия Куммерге идеалды сандарды зерттегені үшін 3000 франк пен алтын медаль берді, бірақ ол жүлдеге үміткер болмаса да. Оған 1883 жылы Брюссель академиясы тағы бір сыйлық ұсынды.
Вольфскелл сыйлығы
1908 жылы неміс өнеркәсіпшісі және әуесқой математигі Поль Вольфскель 100 000 алтын марканы өсиет етті (сол кездегі үлкен сома)Бұл ақша Ферманың соңғы теоремасын толық дәлелдеу үшін сыйлыққа айналуы үшін Геттинген Ғылым академиясы. 1908 жылы 27 маусымда Академия марапаттау туралы тоғыз ережені жариялады. Басқа нәрселермен қатар, бұл ережелер дәлелдемелерді рецензияланатын журналда жариялауды талап етті. Сыйлық жарияланғаннан кейін екі жылдан кейін ғана берілуі керек еді. Байқау 2007 жылдың 13 қыркүйегінде аяқталуы керек еді - басталғанына шамамен бір ғасыр өткен соң. 1997 жылы 27 маусымда Уайлс Вольфшельдің ақшалай сыйлығын, содан кейін тағы 50 000 доллар алды. 2016 жылдың наурыз айында ол Норвегия үкіметінен Абель сыйлығының бір бөлігі ретінде «сандар теориясында жаңа дәуірді ашатын жартылай тұрақты эллиптикалық қисықтардың модульдік болжамының көмегімен Ферманың соңғы теоремасының таңғажайып дәлелі» үшін 600 000 еуро алды. Бұл қарапайым ағылшынның әлемдік жеңісі болды.
Уайлс дәлелдегенге дейін Ферма теоремасы, бұрын айтылғандай, ғасырлар бойы абсолютті шешілмейтін болып саналды. Әртүрлі уақытта Вольфскелл комитетіне шамамен 10 фут (3 метр) хат алмасуды құрайтын мыңдаған дұрыс емес дәлелдер ұсынылды. Сыйлық пайда болған алғашқы жылы ғана (1907-1908 ж.) теореманы шешуге үміткер 621 өтінім берілді, дегенмен 1970-жылдары олардың саны айына шамамен 3-4 өтінімге дейін азайды. Вольфшельдің шолушысы Ф. Шлихтингтің айтуынша, дәлелдемелердің көпшілігі мектептерде оқытылатын қарапайым әдістерге негізделген және олар көбінесе «техникалық білімі бар, бірақ мансабы сәтсіз адамдар» ретінде ұсынылған. Математика тарихшысы Говард Авестің айтуынша, соңғыФерма теоремасы өзінше рекорд орнатты – бұл қате дәлелдердің ең көп саны бар теорема.
Ферманың жетістіктері жапондықтарға бұйырды
Бұдан бұрын айтылғандай, шамамен 1955 жылы жапон математиктері Горо Шимура мен Ютака Танияма математиканың бір-бірінен мүлде басқа екі саласы – эллиптикалық қисық сызықтар мен модульдік формалар арасындағы ықтимал байланысты ашты. Алынған модульдік теорема (ол кезде Танияма-Симура болжамы ретінде белгілі) әрбір эллиптикалық қисық модульдік екенін айтады, яғни оны бірегей модульдік пішінмен байланыстыруға болады.
Теория бастапқыда екіталай немесе өте алыпсатарлық деп қабылданбады, бірақ сандар теоретикі Андре Вайл жапондық тұжырымдарды растайтын дәлелдер тапқан кезде аса байыпты қабылданды. Нәтижесінде, гипотеза жиі Таняма-Шимура-Вейль гипотезасы деп аталды. Ол болашақта дәлелденуі қажет маңызды гипотезалардың тізімі болып табылатын Langlands бағдарламасының бір бөлігі болды.
Тіпті байыпты тексерістен кейін де болжамды қазіргі математиктер өте қиын немесе дәлелдеу мүмкін емес деп таныды. Енді бұл нақты теореманы шешімімен бүкіл әлемді таң қалдыратын Эндрю Уайлс күтіп тұр.
Ферма теоремасы: Перельманның дәлелі
Танымал мифке қарамастан, орыс математигі Григорий Перельман өзінің барлық данышпандығына қарамастан Ферма теоремасына ешқандай қатысы жоқ. Бұл, алайда, оны ешбір жағдайда бұзбайды.ғылыми қауымдастыққа көптеген үлестер.
