Ең қарапайым тригонометриялық функция y=Sin(x) берілген, ол өзінің әрбір нүктесінде анықтаудың барлық облысынан дифференциалданады. Кез келген аргументтің синусының туындысы сол бұрыштың косинусына тең екенін дәлелдеу керек, яғни y'=Cos(x).
Дәлелдеу функциясының туындысының анықтамасына негізделген
Нақты бір нүктенің Δx шағын төңірегінде x (еркін) орнатыңыз x0. Берілген функцияның өсімшесін табу үшін функцияның ондағы және х нүктесіндегі мәнін көрсетейік. Егер Δх аргументтің өсімі болса, онда жаңа аргумент x0+Δx=x, y(x) аргументінің берілген мәні үшін бұл функцияның мәні Sin(х) болады. 0 +Δx), функцияның белгілі бір y нүктесіндегі мәні (x0) де белгілі.
Енді бізде Δу=Sin(х0+Δх)-Sin(х0) – функцияның нәтижелі өсімі.
Тең емес екі бұрыштың қосындысының синусының формуласына сәйкес Δу айырмасын түрлендіреміз.
Δy=Sin(x0) Cos(Δx)+Cos(x0) Sin(Δx) минус Sin (x 0)=(Cos(Δx)-1) Күнә(x0)+Кос(x0 ) Күнә(Δх).
Ауыстыру орындалдыбіріншісін үшінші Sin (x0) арқылы топтаған терминдер, ортақ көбейткішті - синусты жақшаның ішінен шығарыңыз. Өрнекте Cos(Δх)-1 айырмасын алдық. Жақшаның алдындағы және жақшадағы белгіні өзгерту қалады. 1-Cos(Δх) неге тең екенін біле отырып, біз ауыстыру жасаймыз және жеңілдетілген Δу өрнегін аламыз, содан кейін оны Δх-ке бөлеміз.
Δу/Δх келесідей болады: Cos(х 0 ) Күнә(Δх)/Δх-2 Күнә2(0, 5 Δх) Күнә(х0) /Δх. Бұл функция өсімінің рұқсат етілген аргумент өсіміне қатынасы.
Нөлге ұмтылатын Δх кезінде біз алған қатынас лимитінің шегін табу керек.
Бұл жағдайда Sin(Δх)/Δx шегі 1-ге тең екені белгілі. Ал алынған үлестегі 2 Sin2(0, 5 Δх)/Δх өрнегі көбейткіш ретінде бірінші тамаша шекті қамтитын көбейтіндіге түрлендіру арқылы қорытындыланады: алымды бөлеміз. және бөлшектің бөлімін 2-ге, квадратты синусты көбейтіндіге ауыстырамыз. Мынадай:
(Sin(0, 5 Δx)/(0, 5 Δx)) Sin(Δx/2).
Δx нөлге ұмтылатындықтан, бұл өрнектің шегі нөлге тең болады (1 есе 0). Δy/Δх қатынасының шегі Cos(х0) 1-0 тең болып шықты, бұл Cos(х0), 0-ге ұмтылатын Δx тәуелді емес өрнек. Бұдан мынадай қорытынды шығады: кез келген х бұрышының синусының туындысы х косинусына тең, оны былай жазамыз: y'=Cos(x).
Алынған формула барлық қарапайым функциялар жиналған белгілі туындылар кестесінде берілген
Синустың туындысы кездесетін есептерді шығарғанда дифференциалдау ережелерін және кестедегі дайын формулаларды қолдануға болады. Мысалы: y=3·Sin(x)-15 қарапайым функциясының туындысын табыңыз. Туындының таңбасынан сандық көбейткішті алып, тұрақты санның туындысын есептеп (ол нөлге тең) дифференциалдаудың элементар ережелерін қолданайық. Cos (x) тең х бұрышының синусының туындысының кестелік мәнін қолданамыз. Жауапты аламыз: y'=3·Cos(x)-O. Бұл туынды өз кезегінде y=3 Cos(x) элементар функциясы болып табылады.
Кез келген аргументтің синус квадратының туындысы
Бұл өрнекті есептеген кезде (Sin2(x))', күрделі функцияның қалай дифференциалданатынын есте сақтау керек. Сонымен, y=Sin2(x) – қуат функциясы, өйткені синус квадрат болады. Оның аргументі де тригонометриялық функция, күрделі аргумент. Бұл жағдайда нәтиже көбейтіндіге тең, оның бірінші факторы берілген күрделі аргументтің квадратының туындысы, ал екіншісі синустың туындысы болады. Функцияны функциядан ажырату ережесі осылай көрінеді: (u(v(x)))' тең (u(v(x)))'·(v(x))'. v(x) өрнегі күрделі аргумент (ішкі функция). Егер «y синус квадратына тең х» функциясы берілсе, онда бұл күрделі функцияның туындысы у'=2·Sin(x)·Cos(x) болады. Көбейтіндіде бірінші еселенген көбейткіш белгілі дәрежелік функцияның туындысы, ал Cos(x) - синусының туындысы, күрделі квадраттық функцияның аргументі. Соңғы нәтиже түрлендіруге болады,қос бұрыштың синусының тригонометриялық формуласын қолдану. Жауабы: туынды Син(2 x). Бұл формуланы есте сақтау оңай және жиі кестелік формула ретінде пайдаланылады.
