Призма – мектептегі қатты геометрия курсында оқытылатын көпбұрыш немесе көпбұрыш. Бұл көпбұрыштың маңызды қасиеттерінің бірі оның көлемі болып табылады. Мақалада бұл мәнді қалай есептеуге болатынын қарастырайық, сонымен қатар призмалардың көлемінің формулаларын беріңіз - тұрақты төртбұрышты және алтыбұрышты.
Стереометриядағы призма
Бұл фигура параллель жазықтықта орналасқан екі бірдей көпбұрыштан және бірнеше параллелограммнан тұратын көпбұрыш деп түсініледі. Призмалардың кейбір түрлері үшін параллелограммдар тікбұрышты төртбұрыштарды немесе шаршыларды көрсете алады. Төменде бесбұрышты призманың мысалы берілген.
Жоғарыдағы суреттегідей фигураны тұрғызу үшін бесбұрышты алып, оны кеңістікте белгілі бір қашықтыққа параллель тасымалдауды жүзеге асыру керек. Екі бесбұрыштың қабырғаларын параллелограммдар арқылы қоса отырып, біз қажетті призманы аламыз.
Әр призма беттерден, шыңдардан және шеттерден тұрады. Призманың төбелеріпирамидадан айырмашылығы тең, олардың әрқайсысы екі негіздің біріне жатады. Беткейлер мен жиектер екі түрлі болады: негіздерге жататындар және бүйірлерге жататындар.
Призмалар бірнеше түрге ие (дұрыс, қиғаш, дөңес, түзу, ойыс). Фигураның пішінін ескере отырып, призманың көлемі қандай формуламен есептелетінін кейінірек мақалада қарастырайық.
Призма көлемін анықтауға арналған жалпы өрнек
Зерттелетін фигура қай типке жататынына қарамастан, ол түзу немесе қиғаш, дұрыс немесе дұрыс емес, оның көлемін анықтауға мүмкіндік беретін әмбебап өрнек бар. Кеңістіктік фигураның көлемі - оның беттерінің арасында орналасқан кеңістіктің ауданы. Призманың көлемінің жалпы формуласы:
V=So × сағ.
Мұнда So негіздің ауданын білдіреді. Біз екі негіз туралы емес, бір негіз туралы айтып отырғанымызды есте ұстаған жөн. h мәні - биіктік. Зерттелетін фигураның биіктігі деп оның бірдей негіздері арасындағы қашықтық түсініледі. Егер бұл қашықтық бүйірлік қабырғалардың ұзындықтарымен сәйкес келсе, онда түзу призма туралы айтылады. Түзу фигураның барлық қабырғалары тіктөртбұрыштар.
Осылайша, егер призма көлбеу болса және негізі дұрыс емес көпбұрышқа ие болса, оның көлемін есептеу қиындай түседі. Егер сурет түзу болса, онда көлемді есептеу тек базаның ауданын анықтауға дейін азаяды So.
Дұрыс фигураның көлемін анықтау
Тұрақты деп қабырғалары мен бұрыштары бір-біріне тең болатын түзу және көпбұрышты негізі бар кез келген призманы айтады. Мысалы, мұндай дұрыс көпбұрыштар шаршы және теңбүйірлі үшбұрыштар болып табылады. Сонымен қатар, ромб дұрыс фигура емес, өйткені оның барлық бұрыштары бірдей емес.
Дұрыс призманың көлемінің формуласы мақаланың алдыңғы абзацында жазылған V үшін жалпы өрнектен бір мәнді шығады. Сәйкес формуланы жазуға кіріспес бұрын, дұрыс негіздің ауданын анықтау керек. Математикалық мәліметтерге бармай, біз көрсетілген аумақты анықтау формуласын ұсынамыз. Ол кез келген тұрақты n-gon үшін әмбебап және келесі пішінге ие:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Өрнектен көріп отырғаныңыздай, Sn аймағы екі параметрдің функциясы болып табылады. n бүтін саны 3-тен шексіздікке дейінгі мәндерді қабылдай алады. a мәні n-бұрыштың қабырғасының ұзындығы.
Фигураның көлемін есептеу үшін S ауданын h биіктігіне немесе b бүйір жиегінің ұзындығына көбейту керек (h=b). Нәтижесінде біз келесі жұмыс формуласына келеміз:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × сағ.
Еркін типті призманың көлемін анықтау үшін бірнеше шамаларды білу керек (фигураның табанының қабырғаларының ұзындығы, биіктігі, екібұрышты бұрыштары), бірақ V мәнін есептеу үшін кәдімгі призма үшін бізге тек екі сызықтық параметрді білу керек, мысалы, a және h.
Төртбұрышты дұрыс призманың көлемі
Төртбұрышты призманы параллелепипед деп атайды. Егер оның барлық беттері тең болса және квадрат болса, онда мұндай фигура текше болады. Тік бұрышты параллелепипедтің немесе кубтың көлемі оның үш түрлі қабырғасын (ұзындығы, биіктігі және ені) көбейту арқылы анықталатынын әрбір оқушы біледі. Бұл факт қалыпты фигура үшін жазылған жалпы көлемдік өрнектен туындайды:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × с.
Мұнда 45° котангенсі 1-ге тең. Негіздің h биіктігі мен жағының ұзындығының теңдігі автоматты түрде текше көлемінің формуласына әкелетінін ескеріңіз.
Алтыбұрышты дұрыс призманың көлемі
Енді алтыбұрышты фигураның көлемін анықтау үшін жоғарыдағы теорияны қолданыңыз. Ол үшін формуладағы n=6 мәнін ауыстыру жеткілікті:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × сағ.
Жазбаша өрнекті S үшін әмбебап формуланы қолданбай-ақ дербес алуға болады. Ол үшін дұрыс алтыбұрышты алты теңбүйірлі үшбұрышқа бөлу керек. Олардың әрқайсысының жағы а-ға тең болады. Бір үшбұрыштың ауданы сәйкес келеді:
S3=√3/4 × a2.
Бұл мәнді үшбұрыштар санына (6) және биіктікке көбейтсек, көлемнің жоғарыдағы формуласын аламыз.
