Бастау үшін дифференциалдың не екенін және оның қандай математикалық мәні бар екенін есте ұстаған жөн.
Функцияның дифференциалы – функцияның аргументтен туындысы мен аргументтің өзінің дифференциалының туындысы. Математикалық тұрғыдан бұл ұғымды өрнек түрінде жазуға болады: dy=y'dx.
Өз кезегінде функцияның туындысының анықтамасы бойынша y'=lim dx-0(dy/dx) теңдігі ақиқат, ал шектің анықтамасы бойынша dy/dx өрнегі.=x'+α, мұндағы α параметрі шексіз аз математикалық мән.
Сондықтан өрнектің екі бөлігін де dx-ке көбейту керек, ол ақыр соңында dy=y'dx+αdx береді, мұндағы dx аргументтегі шексіз аз өзгеріс, (αdx) – мән бұл елемеуі мүмкін, содан кейін dy - функцияның өсімі және (ydx) өсудің немесе дифференциалдың негізгі бөлігі.
Функцияның дифференциалы – функцияның туындысы мен аргумент дифференциалының көбейтіндісі.
Енді математикалық талдауда жиі қолданылатын дифференциацияның негізгі ережелерін қарастырған жөн.
Теорема. Қосындының туындысы мына шарттардан алынған туындылардың қосындысына тең: (a+c)'=a'+c'.
Сол сияқтыбұл ереже айырманың туындысын табуға да қолданылады.
Бұл дифференциалдау ережесінің салдары белгілі бір мүшелердің туындысы осы шарттардан алынған туындылардың қосындысына тең деген тұжырым болып табылады.
Мысалы, (a+c-k)' өрнегінің туындысын табу керек болса, нәтиже a'+c'-k' өрнегі болады.
Теорема. Нүктеде дифференциалданатын математикалық функциялар туындысының туындысы бірінші көбейткіштің туындысы мен екіншісінің туындысы және екінші көбейткіштің туындысы мен біріншінің туындысынан тұратын қосындыға тең.
Математикалық тұрғыдан теорема келесідей жазылады: (ac)'=ac'+a'c. Теореманың салдары туындының туындысының тұрақты факторын функцияның туындысынан шығаруға болатыны туралы қорытынды болып табылады.
Алгебралық өрнек түрінде бұл ереже келесідей жазылады: (ac)'=ac', мұндағы a=const.
Мысалы, (2a3)' өрнегінің туындысын табу керек болса, нәтиже келесідей болады: 2(a3)'=23a2=6a2.
Теорема. Функциялар қатынасының туындысы азайғышқа көбейтілген алымның туындысы мен азайтқыштың туындысына көбейтілген алым мен бөлгіштің квадратының арасындағы қатынасқа тең.
Математикалық тұрғыдан теорема келесідей жазылады: (a/c)'=(a'c-ac')/c2.
Қорытындылай келе, күрделі функцияларды саралау ережелерін қарастыру қажет.
Теорема. y \u003d f (x), мұндағы x \u003d c (t), содан кейін y функциясына қатысты болсын.m айнымалысы күрделі деп аталады.
Осылайша, математикалық талдауда күрделі функцияның туындысы оның ішкі функциясының туындысына көбейтілген функцияның өзінің туындысы ретінде түсіндіріледі. Ыңғайлы болу үшін күрделі функцияларды саралау ережелері кесте түрінде берілген.
f(x) |
f'(x) |
| (1/с)' | -(1/с2)s' |
| (ас)' | ac(ln a)c' |
| (ес)' | ecc' |
| (ln s)' | (1/с)s' |
| (журнал ac)' | 1/(сlg a)c' |
| (күнә c)' | cos ss' |
| (c)' | -sin ss' |
Осы кестені тұрақты пайдалану арқылы туынды сөздерді есте сақтау оңай. Күрделі функциялардың қалған туындыларын теоремаларда және оларға қатысты қорытындыларда айтылған функцияларды дифференциалдау ережелерін қолдану арқылы табуға болады.
