Конус – сипаттамалары мен қасиеттері стереометрия арқылы зерттелетін айналудың кеңістіктік фигураларының бірі. Бұл мақалада біз бұл фигураны анықтаймыз және конустың сызықтық параметрлерін оның бетінің ауданы мен көлемімен байланыстыратын негізгі формулаларды қарастырамыз.
Конус дегеніміз не?
Геометрия тұрғысынан біз кеңістіктегі белгілі бір нүктені тегіс жазық қисық сызықтың барлық нүктелерімен байланыстыратын түзу кесінділер жиынтығынан құралған кеңістіктік фигура туралы айтып отырмыз. Бұл қисық шеңбер немесе эллипс болуы мүмкін. Төмендегі суретте конус көрсетілген.
Ұсынылған фигураның көлемі жоқ, өйткені оның бетінің қабырғаларының қалыңдығы шексіз аз. Алайда, егер ол затпен толтырылып, жоғарыдан қисық сызықпен емес, жалпақ фигурамен, мысалы, шеңбермен шектелсе, онда біз тұтас көлемді дене аламыз, оны әдетте конус деп те атайды.
Конустың пішіні өмірде жиі кездеседі. Осылайша, оның балмұздақ конусы немесе жолақты қара және қызғылт сары конустары бар, олар жол қозғалысына қатысушылардың назарын аудару үшін жолға қойылған.
Конустың элементтері және оның түрлері
Конус көп қырлы емес болғандықтан, оны құрайтын элементтер саны көп қырлылар сияқты көп емес. Геометрияда жалпы конус келесі элементтерден тұрады:
- негіз, шектік қисығы директриса немесе генератрица деп аталады;
- бағыттау қисығының шыңы мен нүктелерін қосатын түзу кесінділердің (генератрицалардың) барлық нүктелерінің жиыны болып табылатын бүйір бетінің;
- төбе, ол генератрицалардың қиылысу нүктесі.
Төбенің негіз жазықтығында жатпау керектігін ескеріңіз, өйткені бұл жағдайда конус тегіс фигураға айналады.
Егер біз жоғарыдан табанына перпендикуляр кесінді жүргізсек, фигураның биіктігін аламыз. Егер соңғы табан геометриялық центрде қиылса, онда ол түзу конус болады. Егер перпендикуляр негіздің геометриялық центрімен сәйкес келмесе, онда фигура көлбеу болады.
Суретте түзу және қиғаш конустар көрсетілген. Мұнда конус табанының биіктігі мен радиусы сәйкесінше h және r арқылы белгіленеді. Фигураның үстіңгі жағы мен табанның геометриялық ортасын қосатын сызық конус осі болып табылады. Суреттен түзу фигура үшін биіктік осы осьте жататынын, ал көлбеу фигура үшін биіктік осімен бұрыш құрайтынын көруге болады. Конустың осі a әрпімен белгіленген.
Дөңгелек негізі бар тік конус
Мүмкін, бұл конус қарастырылған фигуралар класының ішіндегі ең көп таралғаны шығар. Ол шеңбер мен бүйірден тұрадыбеттер. Оны геометриялық әдістермен алу қиын емес. Мұны істеу үшін тікбұрышты үшбұрышты алыңыз және оны аяқтардың біріне сәйкес келетін осьтің айналасында айналдырыңыз. Әлбетте, бұл катет фигураның биіктігіне айналады, ал үшбұрыштың екінші катетінің ұзындығы конус табанының радиусын құрайды. Төмендегі диаграмма қарастырылып отырған айналу фигурасын алудың сипатталған схемасын көрсетеді.
Бейнеленген үшбұрышты басқа аяқтың айналасында бұруға болады, соның нәтижесінде конустың негізі радиусы үлкенірек және биіктігі біріншіден төменірек болады.
Дөңгелек түзу конустың барлық параметрлерін бір мағыналы анықтау үшін оның сызықтық сипаттамасының кез келген екеуін білу керек. Олардың ішінде радиусы r, биіктігі h немесе генератрицаның ұзындығы g ерекшеленеді. Бұл шамалардың барлығы қарастырылып отырған тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары, сондықтан олардың қосылуы үшін Пифагор теоремасы жарамды:
g2=r2+ h2.
Бет ауданы
Кез келген үш өлшемді фигураның бетін зерттегенде оның дамуын жазықтықта қолдану ыңғайлы. Конус ерекшелік емес. Дөңгелек конус үшін әзірлеу төменде көрсетілген.
Біз фигураның ашылуы екі бөліктен тұратынын көреміз:
- Конустың негізін құрайтын шеңбер.
- Дөңгелектің секторы, ол фигураның конустық беті.
Шеңбердің ауданын табу оңай және сәйкес формула әр оқушыға белгілі. Дөңгелек сектор туралы айтатын болсақ, біз оны атап өтемізрадиусы g (конустың генератрицасының ұзындығы) болатын шеңбердің бөлігі болып табылады. Бұл сектордың доғасының ұзындығы негіздің шеңберіне тең. Бұл параметрлер оның ауданын бір мәнді анықтауға мүмкіндік береді. Сәйкес формула:
S=pir2+ pirg.
Өрнектегі бірінші және екінші мүшелер сәйкесінше табан конусы және ауданның бүйір беті болып табылады.
Егер генератордың ұзындығы g белгісіз болса, бірақ фигураның h биіктігі берілсе, онда формуланы келесі түрде қайта жазуға болады:
S=pir2+ pir√(r2+ h2).
Фигураның көлемі
Егер түзу пирамиданы алып, оның табанының қабырғаларының санын шексіздікте арттырсақ, онда табанның пішіні шеңберге бейім болады, ал пирамиданың бүйір беті конустық бетке жақындайды. Бұл ойлар конустың ұқсас мәнін есептегенде пирамида көлемінің формуласын қолдануға мүмкіндік береді. Конустың көлемін мына формула арқылы табуға болады:
V=1/3сағSo.
Бұл формула So ауданы бар конустың негізі қандай екеніне қарамастан әрқашан дұрыс. Сонымен қатар, формула қиғаш конусқа да қатысты.
Дөңгелек негізі бар түзу фигураның қасиеттерін зерттеп жатқандықтан, оның көлемін анықтау үшін келесі өрнекті қолдануға болады:
V=1/3hpir2.
Формула анық.
Бет ауданы мен көлемін табу мәселесі
Радиусы 10 см, ал генерациясының ұзындығы 20 болатын конус берілсін. Бұл пішіннің көлемі мен бетінің ауданын анықтау қажет. бөлімін қараңыз.
S ауданын есептеу үшін жоғарыда жазылған формуланы бірден қолдануға болады. Бізде:
S=pir2+ pirg=942 см2.
Дыбыс деңгейін анықтау үшін фигураның h биіктігін білу керек. Оны конустың сызықтық параметрлері арасындағы байланыс арқылы есептейміз. Біз аламыз:
сағ=√(g2- r2)=√(202- 102) ≈ 17, 32 см.
Енді V формуласын пайдалана аласыз:
V=1/3hpir2=1/317, 323, 14102 ≈ 1812, 83см3.
Дөңгелек конустың көлемі ол жазылған цилиндрдің үштен бір бөлігін құрайтынын ескеріңіз.
