Кеңістікте жазықтықты әртүрлі тәсілдермен анықтауға болады (бір нүкте мен вектор, екі нүкте және вектор, үш нүкте, т.б.). Дәл осыны ескере отырып, жазықтықтың теңдеуі әртүрлі формада болуы мүмкін. Сондай-ақ белгілі бір жағдайларда жазықтықтар параллель, перпендикуляр, қиылысу және т.б. Бұл туралы осы мақалада айтатын боламыз. Біз тек қана емес, жазықтықтың жалпы теңдеуін жазуды үйренеміз.
Қалыпты теңдеу
Тік бұрышты XYZ координаталар жүйесі бар R3 кеңістігі бар делік. Бастапқы О нүктесінен шығарылатын α векторын қоямыз. α векторының соңы арқылы оған перпендикуляр болатын П жазықтығын жүргіземіз.
Ерікті Q=(x, y, z) нүктесін P арқылы белгілеңіз. Q нүктесінің радиус векторына р әрпімен қол қоямыз. Бұл жағдайда α векторының ұзындығы p=IαI және Ʋ=(cosα, cosβ, cosγ) болады.
Бұл бүйірге бағытталған бірлік векторывектор α. α, β және γ - Ʋ векторы мен сәйкесінше x, y, z кеңістік осінің оң бағыттарының арасында түзілетін бұрыштар. Кейбір QϵП нүктесінің Ʋ векторына проекциясы р-ге тең тұрақты шама: (р, Ʋ)=р(р≧0).
Жоғарыдағы теңдеу p=0 болғанда мағынасы бар. Жалғыз нәрсе мынада, бұл жағдайда Р жазықтығы координат басы болып табылатын О (α=0) нүктесімен қиылысады, ал О нүктесінен шығарылған бірлік векторы Ʋ оның бағытына қарамастан P-ге перпендикуляр болады, бұл Ʋ векторы таңба-дәлдікпен анықталғанын білдіреді. Алдыңғы теңдеу векторлық түрде өрнектелген біздің Р жазықтығының теңдеуі болып табылады. Бірақ координаттарда ол келесідей болады:
Р мұнда 0-ден үлкен немесе оған тең. Кеңістіктегі жазықтықтың теңдеуін қалыпты түрде таптық.
Жалпы теңдеу
Егер координаталардағы теңдеуді нөлге тең емес кез келген санға көбейтсек, сол жазықтықты анықтайтын берілгенге эквивалентті теңдеу аламыз. Ол келесідей болады:
Мұнда A, B, C – бір уақытта нөлден өзгеше сандар. Бұл теңдеу жалпы жазық теңдеу деп аталады.
Жазықтықтардың теңдеулері. Ерекше жағдайлар
Жалпы түрдегі теңдеуді қосымша шарттар болған кезде өзгертуге болады. Олардың кейбірін қарастырайық.
А коэффициентін 0-ге тең деп есептейік. Бұл берілген жазықтық берілген Ox осіне параллель екенін білдіреді. Бұл жағдайда теңдеудің түрі өзгереді: Ву+Cz+D=0.
Сол сияқты теңдеудің түрі келесі шарттарда өзгереді:
- Біріншіден, егер B=0 болса, онда теңдеу Ax+Cz+D=0 мәніне өзгереді, бұл Oy осіне параллелизмді көрсетеді.
- Екіншіден, егер С=0 болса, онда теңдеу Ах+Ву+D=0 түрленеді, ол берілген Oz осіне параллелизмді көрсетеді.
- Үшіншіден, егер D=0 болса, теңдеу Ax+By+Cz=0 сияқты болады, яғни жазықтық О (бастапқы нүкте) қиылысады.
- Төртіншіден, егер A=B=0 болса, онда теңдеу Cz+D=0 мәніне өзгереді, ол Oxy-ге параллель болады.
- Бесіншіден, егер B=C=0 болса, онда теңдеу Ax+D=0 болады, бұл Ойзға дейінгі жазықтықтың параллель екенін білдіреді.
- Алтыншыдан, егер A=C=0 болса, онда теңдеу Ву+D=0 пішінін алады, яғни Oxz параллелділігін хабарлайды.
Теңдеудің сегменттердегі көрінісі
A, B, C, D сандары нөл емес болған жағдайда (0) теңдеудің түрі келесідей болуы мүмкін:
x/a + y/b + z/c=1, мұндағы a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C.
Нәтижесінде кесінділердегі жазықтықтың теңдеуін аламыз. Айта кету керек, бұл жазықтық Ox осін координаталары (a, 0, 0), Oy - (0, b, 0) және Oz - (0, 0, c) нүктеде қиып өтеді.
x/a + y/b + z/c=1 теңдеуін ескере отырып, берілген координаталар жүйесіне қатысты жазықтықтың орналасуын визуализациялау оңай.
Қалыпты вектордың координаттары
Р жазықтығына n нормаль векторының координаталары бар, олар осы жазықтықтың жалпы теңдеуінің коэффициенттері болып табылады, яғни n(A, B, C).
Нормал n координаталарын анықтау үшін берілген жазықтықтың жалпы теңдеуін білу жеткілікті.
x/a + y/b + z/c=1 түріндегі теңдеуді кесінділерде пайдаланған кезде, сондай-ақ жалпы теңдеуді пайдаланған кезде a-ның кез келген қалыпты векторының координаталарын жазуға болады. берілген жазықтық: (1/a + 1 /b + 1/c).
Қалыпты вектор әртүрлі есептерді шешуге көмектесетінін атап өткен жөн. Ең жиі кездесетіні - жазықтықтардың перпендикулярлығын немесе параллелдігін дәлелдейтін есептер, жазықтықтар арасындағы бұрыштарды немесе жазықтықтар мен түзулердің арасындағы бұрыштарды табудағы есептер.
Нүкте координаталары мен қалыпты векторға сәйкес жазық теңдеудің көрінісі
Берілген жазықтыққа перпендикуляр болатын нөлдік емес вектор n берілген жазықтық үшін қалыпты (қалыпты) деп аталады.
Координаталық кеңістікте (тікбұрышты координаттар жүйесі) Oxyz берілген деп есептейік:
- координаталары бар Mₒ нүктесі (xₒ, yₒ, zₒ);
- нөл векторы n=Ai+Bj+Ck.
Нормал n-ге перпендикуляр Mₒ нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жасау керек.
Кеңістікте кез келген ерікті нүктені таңдап, оны M (x y, z) арқылы белгілейміз. Кез келген M (x, y, z) нүктесінің радиус векторы r=xi+yj+zk, ал Mₒ (xₒ, yₒ, zₒ) нүктесінің радиус векторы rₒ=xₒ болсын. i+yₒ j+zₒk. MₒM векторы n векторына перпендикуляр болса, M нүктесі берілген жазықтыққа жатады. Ортогоналдылық шартын скаляр көбейтінді арқылы жазамыз:
[MₒM, n]=0.
MₒM=r–rₒ болғандықтан, жазықтықтың векторлық теңдеуі келесідей болады:
[r – rₒ, n]=0.
Бұл теңдеудің басқа түрі болуы мүмкін. Ол үшін скаляр көбейтіндінің қасиеттері пайдаланылады, ал теңдеудің сол жағы түрленеді. [r - rₒ, n]=[r, n] - [rₒ, n]. Егер [rₒ, n] c деп белгіленсе, онда келесі теңдеу алынады: [r, n] - c \u003d 0 немесе [r, n] u003d c, проекциялардың қалыпты векторына тұрақтылығын өрнектейді. жазықтыққа жататын берілген нүктелердің радиус векторлары.
Енді біздің жазықтықтың векторлық теңдеуінің координаталық түрін алуға болады [r – rₒ, n]=0. Өйткені r–rₒ=(x–xₒ)i + (y–yₒ)j + (z–zₒ)k, және n=Ai+Bj+Ck, бізде:
Бізде қалыпты n-ге перпендикуляр нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі бар екен:
A(x- xₒ)+B(y-yₒ)C(z-zₒ)=0.
Екі нүктенің координаталарына және жазықтыққа коллинеар векторға сәйкес жазықтық теңдеуінің көрінісі
Екі ерікті нүктелерді M' (x', y', z') және M″ (x″, y″, z″), сондай-ақ а векторын (a', a″, a) орнатайық. ‴).
Енді біз қолда бар M' және M″ нүктелері, сондай-ақ берілген а векторына параллель координаталары (x, y, z) кез келген М нүктесі арқылы өтетін берілген жазықтықтың теңдеуін құрастыра аламыз.
M'M={x-x';y-y';z-z'} және M″M={x″-x';y″-y';z″-z ' векторлары } a=(a', a″, a‴) векторымен компланар болуы керек, бұл (M'M, M″M, a)=0 дегенді білдіреді.
Сонымен, кеңістіктегі жазықтықтың теңдеуі келесідей болады:
Үш нүктені қиып өтетін жазықтық теңдеуінің көрінісі
Бізде үш нүкте бар делік: (x', y', z'), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴), олар бірдей түзу. Берілген үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін жазу керек. Геометрия теориясы мұндай жазықтық шын мәнінде бар, тек ол жалғыз және қайталанбас деп мәлімдейді. Бұл жазықтық (x', y', z') нүктесін қиып өтетіндіктен, оның теңдеуінің түрі келесідей болады:
Мұнда A, B, C бір уақытта нөлден ерекшеленеді. Сондай-ақ, берілген жазықтық тағы екі нүктені қиып өтеді: (x″, y″, z″) және (x‴, y‴, z‴). Осыған байланысты келесі шарттар орындалуы керек:
Енді біз u, v, w белгісіздері бар біртекті теңдеулер жүйесін (сызықтық) құра аламыз:
Біздің жағдайда x, y немесе z – (1) теңдеуді қанағаттандыратын ерікті нүкте. (1) теңдікті және (2) және (3) теңдеулер жүйесін қарастыратын болсақ, жоғарыдағы суретте көрсетілген теңдеулер жүйесі тривиальды емес N (A, B, C) векторын қанағаттандырады. Сондықтан бұл жүйенің анықтауышы нөлге тең.
Біз алған (1) теңдеу, бұл жазықтықтың теңдеуі. Ол дәл 3 нүктеден өтеді және оны тексеру оңай. Бұл үшін сізге қажетбірінші жолдағы элементтерге анықтауышымызды кеңейтіңіз. Анықтауыштың бар қасиеттерінен шығатыны, біздің жазықтық бір мезгілде бастапқы берілген үш нүктені (x', y', z'), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴) қиып өтеді.. Яғни, алдымызға қойылған міндетті шештік.
Ұшықтықтар арасындағы екібұрышты бұрыш
Екі қырлы бұрыш – бір түзуден шығатын екі жарты жазықтықтан құрылған кеңістіктік геометриялық фигура. Басқаша айтқанда, бұл жарты жазықтықтармен шектелген кеңістік бөлігі.
Келесі теңдеулері бар екі жазықтық бар делік:
Біз N=(A, B, C) және N¹=(A¹, B¹, C¹) векторлары берілген жазықтықтарға сәйкес перпендикуляр екенін білеміз. Осыған байланысты N және N¹ векторларының арасындағы φ бұрышы осы жазықтықтар арасындағы бұрышқа (диэдрлік) тең. Скалярлық көбейтіндінің пішіні бар:
NN¹=|N||N¹|cos φ, тек себебі
cosφ=NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹))²))
0≦φ≦π екенін ескеру жеткілікті.
Шын мәнінде, қиылысатын екі жазықтық екі (диэдрлік) бұрыштарды құрайды: φ1 және φ2. Олардың қосындысы π-ге тең (φ1+ φ2=π). Олардың косинустарына келетін болсақ, олардың абсолюттік мәндері тең, бірақ олар белгілері бойынша ерекшеленеді, яғни cosφ1=-себебі φ2. Егер (0) теңдеуде A, B және C сандарын сәйкесінше -A, -B және -C сандарымен ауыстырсақ, онда алынған теңдеу бірдей жазықтықты анықтайды, теңдеудегі жалғыз φ бұрышы cos φ=NN.1/|N||N1| π-φ арқылы ауыстырылады.
Перпендикуляр жазықтықтың теңдеуі
Перпендикуляр арасындағы бұрышы 90 градус болатын жазықтықтар деп аталады. Жоғарыда сипатталған материалды пайдалана отырып, екіншісіне перпендикуляр жазықтықтың теңдеуін таба аламыз. Бізде екі жазықтық бар делік: Ax+By+Cz+D=0 және A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Егер cosφ=0 болса, олар перпендикуляр болады деп айта аламыз. Бұл NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0 дегенді білдіреді.
Параллель жазықтықтың теңдеуі
Параллель - ортақ нүктелері жоқ екі жазықтық.
Жазықтықтардың параллельдік шарты (олардың теңдеулері алдыңғы абзацтағыдай) оларға перпендикуляр болатын N және N¹ векторларының коллинеар болуы. Бұл келесі пропорционалдық шарттары орындалғанын білдіреді:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
Егер пропорционалдық шарттары ұзартылса - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹, бұл бұл ұшақтардың бірдей екенін көрсетеді. Бұл Ax+By+Cz+D=0 және A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 теңдеулері бір жазықтықты сипаттайтынын білдіреді.
Нүктеден ұшаққа дейінгі қашықтық
Бізде P жазықтығы бар делік, ол (0) теңдеуімен берілген. Біз нүктеден оған дейінгі қашықтықты табуымыз кереккоординаталарымен (xₒ, yₒ, zₒ)=Qₒ. Ол үшін P жазықтығының теңдеуін қалыпты түрге келтіру керек:
(ρ, v)=p (p≧0).
Бұл жағдайда ρ (x, y, z) – P нүктесінде орналасқан Q нүктесінің радиус векторы, p – нөлдік нүктеден шығарылған перпендикуляр P ұзындығының, v – бірлік векторы, ол а.
қарай орналасқан
Р-ға жататын кейбір Q=(x, y, z) нүктесінің радиус векторының ρ-ρº айырымы, сондай-ақ берілген Q нүктесінің радиус векторы0=(xₒ, yₒ, zₒ) осындай вектор, оның v бойынша проекциясының абсолютті мәні d қашықтығына тең, оны Q0=(нүктесінен табу керек. xₒ, yₒ, zₒ) - P:
D=|(ρ-ρ0, v)|, бірақ
(ρ-ρ0, v)=(ρ, v)–(ρ0, v)=р–(ρ0, v).
Сонымен, d=|(ρ0, v)-p|.
Енді Q0-тен P жазықтығына дейінгі d қашықтықты есептеу үшін жазықтық теңдеуінің қалыпты түрін қолдану керек екені түсінікті, ал p әрпін сол жаққа және x, y, z орнына соңғысына жылжытыңыз (xₒ, yₒ, zₒ).
Осылайша, алынған өрнектің абсолютті мәнін, яғни қажетті d мәнін табамыз.
Параметр тілін қолдансақ, біз мынаны аламыз:
d=|Axₒ+Byₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).
Егер берілген Q0 нүктесі P жазықтығының екінші жағында, сонымен қатар координаталық нүктеде болса, онда ρ-ρ0 векторының арасында және v - доғал бұрыш, демек:
d=-(ρ-ρ0, v)=(ρ0, v)-p>0.
Егер Q0 нүктесі координат басымен бірге P нүктесінің бір жағында орналасқан жағдайда, құрылған бұрыш сүйір болады, яғни:
d=(ρ-ρ0, v)=р - (ρ0, v)>0.
Нәтижесінде, бірінші жағдайда (ρ0, v)>r, екінші жағдайда (ρ0, v)<r.
Тангенс жазықтығы және оның теңдеуі
Мº жанама нүктесіндегі бетке жанама жазықтығы - беттегі осы нүкте арқылы жүргізілген қисықтардың барлық мүмкін жанамалары бар жазықтық.
F(x, y, z)=0 беттік теңдеуінің бұл түрінде Mº(xº, yº, zº) жанама нүктесіндегі жанама жазықтықтың теңдеуі келесідей болады:
Fx(xº, yº, zº)(x- xº)+ Fx(xº, yº, zº)(y- yº) + Fх(хº, yº, zº)(z-zº)=0.
Егер бетті анық z=f (x, y) көрсетсеңіз, жанама жазықтық мына теңдеу арқылы сипатталады:
z-zº=f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).
Екі жазықтықтың қиылысы
Үшөлшемді кеңістікте координаталар жүйесі (тікбұрышты) Oxyz орналасқан, қиылысатын және сәйкес келмейтін екі P' және P″ жазықтығы берілген. Тікбұрышты координаталар жүйесінде орналасқан кез келген жазықтық жалпы теңдеу арқылы анықталатындықтан, P' және P″ A'x+B'y+C'z+D'=0 және A″x теңдеулері арқылы берілген деп есептейміз. +B″y+ С″z+D″=0. Бұл жағдайда бізде P' жазықтығының қалыпты n '(A', B', C') және P ″ жазықтығындағы қалыпты n ″ (A ″, B ″, C ″) болады. Біздің ұшақтар параллель емес және сәйкес келмейтіндіктен, бұларвекторлары коллинеар емес. Математика тілін қолданып, бұл шартты былай жазуға болады: n'≠ n″ ↔ (A', B', C') ≠ (λA″, λB″, λC″), λϵR. P' және P″ қиылысында жатқан түзу а әрпімен белгіленсін, бұл жағдайда a=P' ∩ P″.
a – П' және П″ (ортақ) жазықтықтардың барлық нүктелерінің жиынынан тұратын түзу. Бұл a түзуіне жататын кез келген нүктенің координаталары A'x+B'y+C'z+D'=0 және A″x+B″y+C″z+D″=теңдеулерін бір уақытта қанағаттандыруы керек дегенді білдіреді. 0. Бұл нүктенің координаталары келесі теңдеулер жүйесінің нақты шешімі болатынын білдіреді:
Нәтижесінде, бұл теңдеулер жүйесінің (жалпы) шешімі P' және P″ қиылысу нүктесі ретінде әрекет ететін түзудің әрбір нүктесінің координаталарын анықтайтыны белгілі болды., және кеңістіктегі Oxyz (тікбұрышты) координаталар жүйесіндегі a түзуін анықтаңыз.
