Сандық жүйелер - бұл не? Бұл сұрақтың жауабын білмесек те, әрқайсымыз өз өмірімізде санау жүйелерін еріксіз пайдаланамыз және одан күдіктенбейміз. Дұрыс, көпше! Яғни, бір емес, бірнеше. Позициялық емес санау жүйелеріне мысалдар келтірмес бұрын, осы мәселені түсініп алайық, позициялық жүйелер туралы да айта кетейік.
Шот-фактура қажет
Ежелгі заманнан бері адамдар санау қажеттілігіне ие болды, яғни олар заттар мен оқиғалардың сандық көрінісін қандай да бір түрде білдіру қажет екенін интуитивті түрде түсінді. Ми санау үшін заттарды пайдалану қажет деп ұсынды. Саусақтар әрқашан ең қолайлы болып келген және бұл түсінікті, өйткені олар әрқашан қол жетімді (сирек жағдайларды қоспағанда).
Осылайша адамзат баласының ежелгі өкілдері саусақтарын тура мағынада бүгуге мәжбүр болды - мысалы, өлтірілген мамонттардың санын көрсету үшін. Есептік жазбаның мұндай элементтерінде әлі атаулар болған жоқ, тек көрнекі сурет, салыстыру ғана болды.
Қазіргі позициялық санау жүйелері
Санау жүйесі – белгілі бір белгілерді (таңбалар немесе әріптер) пайдалана отырып, сандық мәндер мен шамаларды көрсету әдісі (тәсілі).
Позициялық емес санау жүйесіне мысалдар келтірмес бұрын, санаудың позициялық және позициялық емес екенін түсіну қажет. Көптеген позициялық санау жүйелері бар. Қазір білімнің әртүрлі салаларында келесілер қолданылады: екілік (тек екі маңызды элементті қамтиды: 0 және 1), он алтылық (таңбалар саны - 6), сегіздік (таңбалар - 8), он екілік (он екі таңба), он алтылық (он алтыны қамтиды кейіпкерлер). Сонымен қатар, жүйелердегі таңбалардың әрбір жолы нөлден басталады. Қазіргі компьютерлік технологиялар екілік кодтарды – екілік позициялық санау жүйесін пайдалануға негізделген.
Ондық санау жүйесі
Позициялық – санның белгілері орналасқан әртүрлі дәрежедегі маңызды позициялардың болуы. Мұны ондық санау жүйесінің мысалы арқылы көрсетуге болады. Өйткені, біз оны бала кезімізден қолданып үйренгенбіз. Бұл жүйеде он белгі бар: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 327 санын алайық. Оның үш таңбасы бар: 3, 2, 7. Олардың әрқайсысы мына жерде орналасқан. өз орны (орын). Жеті бір мәндер (бірліктер) үшін сақталған позицияны алады, екеуі - ондықтар және үш - жүздіктер. Сан үш таңбалы болғандықтан, онда тек үш позиция бар.
Жоғарыда айтылғандардың негізінде, бұлүш таңбалы ондық санды былай сипаттауға болады: үш жүздік, екі ондық және жеті бірлік. Сонымен қатар, позициялардың маңыздылығы (маңыздылығы) солдан оңға қарай, әлсіз позициядан (бір) күштірекке (жүзге) дейін есептеледі.
Ондық позициялық санау жүйесінде өзімізді өте ыңғайлы сезінеміз. Қолымызда он саусақ, аяғымызда да солай. Бес плюс бес - сондықтан саусақтардың арқасында біз бала кезінен оншақты оңай елестетеміз. Сондықтан балаларға бес пен онға көбейту кестесін үйрену оңай. Көбінесе бес пен онға еселік (яғни қалдықсыз бөлінген) банкноттарды санауды үйрену өте оңай.
Басқа позициялық санау жүйелері
Көпшілікті таң қалдыратындай, ондық санау жүйесінде ғана емес, біздің миымыз кейбір есептеулерді жасауға дағдыланғанын айту керек. Осы уақытқа дейін адамзат алты және он екілік санау жүйесін қолданып келді. Яғни, мұндай жүйеде тек алты таңба бар (он алтылықта): 0, 1, 2, 3, 4, 5. Он екі он екілікте олардың он екісі бар: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, мұндағы A - 10 санын, B - 11 санын (белгісі бір болуы керек болғандықтан)
Өзіңіз бағалаңыз. Біз уақытты алтыға бөлеміз, солай емес пе? Бір сағат алпыс минут (алты ондық), бір күн жиырма төрт сағат (екі есе он екі), бір жыл он екі ай және т.б…. Барлық уақыт аралықтары алты және он екілік қатарларға оңай сәйкес келеді. Бірақ үйреніп қалғанымыз сонша, уақытты санағанда ол туралы ойламаймыз да.
Позициялық емес санау жүйелері. Бірыңғай
Оның не екенін анықтау керек – позициялық емес санау жүйесі. Бұл санның белгілері үшін позициялар жоқ немесе санды «оқу» принципі позицияға байланысты емес белгілер жүйесі. Оның жазу немесе есептеудің өз ережелері де бар.
Позициялық емес санау жүйелеріне мысалдар келтірейік. Ежелгі дәуірге оралайық. Адамдарға шот қажет болды және ең қарапайым өнертабыс - түйіндер ойлап тапты. Позициялық емес санау жүйесі түйінді. Бір бұйым (бір қап күріш, өгіз, шөп, т.б.), мысалы, сатып алу немесе сату кезінде есептеліп, жіпке түйін байлады.
Нәтижесінде арқанға сонша қап күріш сатып алынса, сонша түйін жасалды (мысал ретінде). Бірақ бұл ағаш таяқшадағы, тас тақтадағы және т.б. Мұндай санау жүйесі түйіндік деп аталды. Оның екінші аты бар - біртұтас немесе жалғыз («uno» латын тілінен аударғанда «бір» дегенді білдіреді).
Бұл санау жүйесінің позициялық емес екені белгілі болды. Өйткені, ол (лауазым) біреу ғана болып тұрғанда, қандай лауазымдар туралы айтуға болады! Бір қызығы, Жердің кейбір бөліктерінде біртұтас позициялық емес санау жүйесі әлі де қолданылуда.
Сонымен қатар позициялық емес санау жүйелеріне мыналар жатады:
- Рим (әріптер сандарды жазу үшін пайдаланылады - латын таңбалары);
- ежелгі египеттік (римдікі сияқты таңбалар да қолданылған);
- алфавит (алфавиттің әріптері пайдаланылды);
- Вавилон (сына жазуы – тікелей қолданылады жәнетөңкерілген "сына");
- Грек (алфавиттік деп те аталады).
Рим сандар жүйесі
Ежелгі Рим империясы да, оның ғылымы да өте прогрессивті болды. Римдіктер әлемге ғылым мен өнердің көптеген пайдалы өнертабыстарын, соның ішінде олардың санау жүйесін берді. Екі жүз жыл бұрын рим цифрлары іскерлік құжаттардағы сомаларды белгілеу үшін қолданылған (осылайша жалған ақша жасаудан аулақ болды).
Римдік санау - позициялық емес санау жүйесінің мысалы, біз оны қазір білеміз. Сондай-ақ, римдік жүйе белсенді түрде қолданылады, бірақ математикалық есептеулер үшін емес, тар бағытталған әрекеттер үшін. Мысалы, кітап басылымдарында рим цифрларының көмегімен тарихи даталарды, ғасырларды, томдар санын, бөлімдер мен тарауларды белгілеу әдетке айналған. Римдік белгілер жиі сағат циферблаттарын безендіру үшін қолданылады. Сондай-ақ римдік санау позициялық емес санау жүйесінің мысалы болып табылады.
Римдіктер сандарды латын әріптерімен белгілеген. Оның үстіне олар белгілі бір ережелерге сәйкес сандарды жазды. Римдік цифрлық жүйеде негізгі белгілердің тізімі бар, оның көмегімен барлық сандар ерекшеліксіз жазылды.
| Сан (ондық) | Рим саны (латын әліпбиінің әрпі) |
| 1 | Мен |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Сандарды құрастыру ережелері
Қажетті сан белгілерді қосу (латын әріптері) және олардың қосындысын есептеу арқылы алынды. Римдік жүйеде белгілердің символдық түрде қалай жазылатынын және оларды қалай «оқу» керектігін қарастырайық. Римдік позициялық емес санау жүйесіндегі сандарды құрудың негізгі заңдылықтарын атап өтейік.
- Төрт саны - IV, екі таңбадан тұрады (I, V - бір және бес). Ол солға қарай болса, үлкенінен кіші таңбаны алып тастау арқылы алынады. Кіші белгі оң жақта орналасқанда, қосу керек, содан кейін алты саны шығады - VI.
- Бір-бірінің қасына екі бірдей белгіні қосу керек. Мысалы: SS - 200 (C - 100) немесе XX - 20.
- Егер санның бірінші белгісі екіншіден кіші болса, онда бұл жолдағы үшінші таңба мәні біріншіден де кіші таңба болуы мүмкін. Шатаспау үшін мына мысал келтірілген: CDX - 410 (ондық).
- Кейбір үлкен сандарды әртүрлі тәсілдермен көрсетуге болады, бұл римдік санау жүйесінің кемшіліктерінің бірі. Міне, кейбір мысалдар: MVM (Рим)=1000 + (1000 - 5)=1995 (ондық) немесе MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. Бұл бәрі емес.
Арифметикалық трюктар
Позициялық емес санау жүйесі кейде сандарды құруға, оларды өңдеуге (олар бойынша әрекеттер) арналған күрделі ережелер жиынтығы болып табылады. Позициялық емес санау жүйелеріндегі арифметикалық амалдар оңай емесқазіргі адамдар үшін. Біз ежелгі римдік математиктерге қызғанбаймыз!
Қосудың мысалы. Екі санды қосып көрейік: XIX + XXVI=XXXV, бұл тапсырма екі қадаммен орындалады:
- Алдымен - сандардың кіші бөлшектерін алып, қосыңыз: IX + VI=XV (V-ден кейінгі I және X-қа дейінгі I бір-бірін "жойады").
- Екінші - екі санның үлкен бөліктерін қосу: X + XX=XXX.
Алу амалы біршама күрделірек. Азайтылатын санды оның құрамдас элементтеріне бөлу керек, содан кейін азайтылатын және шегерілетін сандағы қайталанатын таңбалар. 500-ден 263-ті алып тастаңыз:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXXVIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Рим сандарын көбейту. Айтпақшы, римдіктерде арифметикалық амалдардың белгілері болмағанын, оларды жай ғана сөзбен белгілегенін айта кеткен жөн.
Бірнеше санды көбейткіштің әрбір жеке таңбасына көбейту керек болды, нәтижесінде бірнеше көбейтінді қосу керек болды. Көпмүшелер осылай көбейтіледі.
Бөлуге келетін болсақ, римдік сандар жүйесіндегі бұл процесс ең қиын болды және болып қала береді. Мұнда ежелгі римдік абакус қолданылған. Онымен жұмыс істеу үшін адамдар арнайы дайындалған (және мұндай ғылымды әр адам меңгере алмаған).
Позициялық емес жүйелердің кемшіліктері туралы
Жоғарыда айтылғандай, позициялық емес санау жүйелерінің кемшіліктері, қолданудағы қолайсыздықтары бар. Unary қарапайым санау үшін жеткілікті қарапайым, бірақ арифметикалық және күрделі есептеулер үшін олай емес.жеткілікті.
Рим тілінде үлкен сандарды қалыптастырудың біркелкі ережелері жоқ және шатасулар туындайды, сонымен қатар онда есептеулер жүргізу өте қиын. Сондай-ақ, ежелгі римдіктер өз әдісімен жаза алатын ең үлкен сан 100 000 болды.
