Сіздердің назарларыңызға берілген мақалада біз математикалық модельдердің мысалдарын ұсынамыз. Сонымен қатар, біз модельдерді құру кезеңдеріне назар аударамыз және математикалық модельдеуге байланысты кейбір тапсырмаларды талдаймыз.
Тағы бір сұрағымыз экономикадағы математикалық модельдер, мысалдар туралы, олардың анықтамасын сәл кейінірек қарастырамыз. Әңгімемізді «үлгі» ұғымынан бастауды, олардың жіктелуін қысқаша қарастырып, негізгі сұрақтарымызға көшуді ұсынамыз.
"Модель" түсінігі
Біз «модель» деген сөзді жиі естиміз. Бұл не? Бұл терминнің көптеген анықтамалары бар, олардың үшеуі ғана:
- осы объектінің түпнұсқасының кейбір қасиеттерін немесе сипаттамаларын және т.б. көрсететін ақпаратты қабылдау және сақтау үшін жасалған нақты нысан (бұл нақты нысан әртүрлі формаларда көрсетілуі мүмкін: ойша, белгілерді қолдану арқылы сипаттау, және т.б.);
- үлгісі сонымен қатар кез келген нақты жағдайды, өмірді немесе бейнені білдіредібасқарушылық;
- модель кез келген нысанның қысқартылған көшірмесі ретінде қызмет ете алады (олар егжей-тегжейлі зерттеу және талдау үшін жасалады, өйткені модель құрылым мен қатынастарды көрсетеді).
Бұған дейін айтылғандардың барлығына сүйене отырып, шағын қорытынды жасауға болады: модель күрделі жүйені немесе объектіні егжей-тегжейлі зерттеуге мүмкіндік береді.
Барлық үлгілерді бірқатар критерийлер бойынша жіктеуге болады:
- пайдалану аймағы бойынша (оқу, эксперименттік, ғылыми-техникалық, ойын, симуляция);
- динамика бойынша (статикалық және динамикалық);
- білім саласы бойынша (физикалық, химиялық, географиялық, тарихи, социологиялық, экономикалық, математикалық);
- презентация әдісімен (материалдық және ақпараттық).
Ақпараттық модельдер өз кезегінде таңбалық және сөздік болып бөлінеді. Және таңғажайып - компьютерде және компьютерде емес. Енді математикалық модельдің мысалдарын егжей-тегжейлі қарастыруға көшейік.
Математикалық модель
Өзіңіз болжағандай, математикалық модель арнайы математикалық белгілерді пайдалана отырып, нысанның немесе құбылыстың кейбір ерекшеліктерін көрсетеді. Математика қоршаған дүниенің заңдылықтарын өзіне тән тілде модельдеу үшін қажет.
Математикалық модельдеу әдісі осы ғылымның пайда болуымен бірге өте ұзақ уақыт бұрын, мыңдаған жылдар бұрын пайда болды. Дегенмен, бұл модельдеу әдісінің дамуына түрткі компьютерлердің (электрондық компьютерлердің) пайда болуымен болды.
Енді классификацияға көшейік. Оны кейбір белгілер бойынша да жүргізуге болады. Олартөмендегі кестеде берілген.
| Ғылым саласы бойынша классификация | Математикалық модельдерді физикада, әлеуметтануда, химияда және т.б. қолдану |
| Модельдеу процесінде қолданылатын математикалық аппаратқа сәйкес | Дифференциалдық теңдеулер, дискретті алгебралық түрлендірулер және т.б. негізделген модельдер |
| Мақсаттарды үлгілеу арқылы | Осы принципке сәйкес сипаттамалық, оңтайландыру, көп критерийлі, ойын және симуляциялық модельдер |
Соңғы классификацияны тоқтатып, мұқият қарауды ұсынамыз, өйткені ол модельдеудің жалпы үлгілерін және жасалып жатқан үлгілердің мақсаттарын көрсетеді.
Сипаттамалы үлгілер
Бұл тарауда біз сипаттамалық математикалық модельдерге толығырақ тоқталуды ұсынамыз. Барлығы өте түсінікті болу үшін мысал келтіріледі.
Бастау үшін бұл көріністі сипаттама деп атауға болады. Бұл жай ғана есептеулер мен болжамдар жасауымызға байланысты, бірақ оқиғаның нәтижесіне ешқандай әсер ете алмаймыз.
Сипаттамалы математикалық модельдің жарқын мысалы - Күн жүйесінің кеңдігін басып алған кометаның Жерден ұшу жолын, жылдамдығын, қашықтығын есептеу. Бұл модель сипаттама болып табылады, өйткені алынған барлық нәтижелер бізді қандай да бір қауіп туралы ескертеді. Оқиғаның нәтижесіне әсер ету, өкінішке орай, бізде жоқмүмкін. Дегенмен, алынған есептеулерге сүйене отырып, Жердегі өмірді сақтап қалу үшін кез келген шараларды қолдануға болады.
Оңтайландыру үлгілері
Енді біз мысалдары әртүрлі жағдайлар болуы мүмкін экономикалық және математикалық модельдер туралы аздап сөйлесеміз. Бұл жағдайда біз белгілі бір жағдайларда дұрыс жауапты табуға көмектесетін модельдер туралы айтып отырмыз. Олардың кейбір параметрлері болуы керек. Түсінікті болу үшін ауылшаруашылық бөлігінен мысал қарастырайық.
Бізде астық қоймасы бар, бірақ астық тез бұзылады. Бұл жағдайда дұрыс температура режимін таңдап, сақтау процесін оңтайландыру керек.
Осылайша, «оңтайландыру үлгісі» түсінігін анықтауға болады. Математикалық мағынада бұл теңдеулер жүйесі (сызықтық және сызықты емес), оның шешімі белгілі бір экономикалық жағдайда оңтайлы шешімді табуға көмектеседі. Біз математикалық модельдің (оңтайландыру) мысалын қарастырдық, бірақ мен қосқым келеді: бұл тип экстремалды есептер класына жатады, олар экономикалық жүйенің қызметін сипаттауға көмектеседі.
Тағы бір нюансты ескеріңіз: модельдер әртүрлі сипатта болуы мүмкін (төмендегі кестені қараңыз).
| детерминистикалық | Бұл жағдайда нәтиже кіріс деректеріне байланысты |
| стохастикалық | Кездейсоқ процестердің сипаттамасы. Бұл жағдайда нәтиже анықталмаған болып қалады |
Көп критерийлі үлгілер
Енді біз сізді аздап сөйлесуге шақырамызкөп мақсатты оңтайландырудың математикалық моделі. Бұған дейін біз кез келген критерий бойынша процесті оңтайландырудың математикалық моделінің мысалын келтірдік, бірақ егер олар көп болса ше?
Көп критерийлі тапсырманың жарқын мысалы - адамдардың үлкен топтары үшін дұрыс, салауатты және сонымен бірге үнемді тамақтануды ұйымдастыру. Мұндай тапсырмалар армияда, мектеп асханаларында, жазғы лагерьлерде, ауруханаларда және т.б.да жиі кездеседі.
Бұл мәселеде бізге қандай критерийлер берілген?
- Тағам пайдалы болуы керек.
- Азық-түлікке жұмсауды барынша азайту керек.
Көріп отырғаныңыздай, бұл мақсаттар мүлдем сәйкес келмейді. Бұл мәселені шешу кезінде оңтайлы шешімді, екі критерий арасындағы тепе-теңдікті іздеу керек дегенді білдіреді.
Ойын үлгілері
Ойын үлгілері туралы айтатын болсақ, «ойын теориясы» түсінігін түсіну қажет. Қарапайым тілмен айтқанда, бұл модельдер нақты қақтығыстардың математикалық үлгілерін көрсетеді. Есіңізде болсын, нақты қақтығыстардан айырмашылығы, ойынның математикалық моделінің өзіндік ерекше ережелері бар.
Енді ойын моделінің не екенін түсінуге көмектесетін ойын теориясынан ең аз ақпарат болады. Сонымен, модельде міндетті түрде партиялар (екі немесе одан да көп) болады, олар әдетте ойыншылар деп аталады.
Барлық үлгілердің кейбір сипаттамалары бар.
| Тақырыптар | Ойыншылар саны |
| Стратегия | Мүмкін әрекеттерге арналған опциялар |
| Төлем | Қақтығыстың нәтижесі (жеңу немесе жеңілу). |
Ойын үлгісі жұптастырылған немесе бірнеше болуы мүмкін. Егер бізде екі субъект болса, онда қақтығыс жұпталады, егер көп болса - көп. Антагонистік ойынды да ажыратуға болады, оны нөлдік қосынды ойыны деп те атайды. Бұл қатысушылардың біреуінің ұтысы екіншісінің жоғалтуына тең болатын модель.
Симуляциялық үлгілер
Бұл бөлімде біз имитациялық математикалық модельдерге назар аударамыз. Тапсырмалардың мысалдары:
- микроорганизмдер санының динамикасының үлгісі;
- молекулалар қозғалысының үлгісі және т.б.
Бұл жағдайда біз нақты процестерге барынша жақын модельдер туралы айтып отырмыз. Жалпы алғанда, олар табиғаттағы кез келген көрініске еліктейді. Бірінші жағдайда, мысалы, бір колониядағы құмырсқалар санының динамикасын модельдеуге болады. Бұл жағдайда сіз әр адамның тағдырын бақылай аласыз. Бұл жағдайда математикалық сипаттама сирек қолданылады, көбінесе жазбаша шарттар бар:
- бес күннен кейін аналық жұмыртқа салады;
- 20 күннен кейін құмырсқа өледі және т.б.
Осылайша, имитациялық модельдер үлкен жүйені сипаттау үшін пайдаланылады. Математикалық қорытынды – алынған статистикалық мәліметтерді өңдеу.
Талаптар
Өте маңыздыМодельдің осы түріне кейбір талаптар бар екенін ескеріңіз, олардың арасында төмендегі кестеде берілген талаптар бар.
| Әмбебаптық | Бұл сипат бір типтегі нысандар топтарын сипаттау кезінде бірдей үлгіні пайдалануға мүмкіндік береді. Әмбебап математикалық модельдер зерттелетін объектінің физикалық табиғатынан толығымен тәуелсіз екенін ескеру маңызды |
| Сәйкестік | Бұл сипат нақты процестерді мүмкіндігінше дәл ойнатуға мүмкіндік беретінін түсіну маңызды. Операциялық есептерде математикалық модельдеудің бұл қасиеті өте маңызды. Модельдің мысалы ретінде газ жүйесін пайдалануды оңтайландыру процесі болып табылады. Бұл жағдайда есептелген және нақты көрсеткіштер салыстырылады, нәтижесінде құрастырылған модельдің дұрыстығы тексеріледі |
| Дәлдік | Бұл талап математикалық модельді есептеу кезінде алатын мәндер мен нақты объектіміздің кіріс параметрлерінің сәйкестігін білдіреді |
| Экономика | Кез келген математикалық модель үшін үнемділік талабы енгізу шығындарымен сипатталады. Модельмен жұмыс қолмен орындалатын болса, онда осы математикалық модель арқылы бір есепті шешуге қанша уақыт кететінін есептеу керек. Егер біз компьютерлік дизайн туралы айтатын болсақ, онда уақыт пен компьютер жадысының құнының көрсеткіштері есептеледі |
Кезеңдермодельдеу
Жалпы, математикалық модельдеуде төрт кезеңді ажырату әдетке айналған.
- Модель бөліктерін байланыстыратын заңдарды тұжырымдаңыз.
- Математикалық есептерді зерттеу.
- Практикалық және теориялық нәтижелердің сәйкестігін нақтылау.
- Модельді талдау және жаңғырту.
Экономикалық-математикалық модель
Бұл бөлімде біз қысқаша экономикалық және математикалық модельдер мәселесіне тоқталамыз. Тапсырмалардың мысалдары:
- өндірістің максималды пайдасын қамтамасыз ететін ет өнімдерін өндірудің өндірістік бағдарламасын қалыптастыру;
- жиһаз фабрикасында шығарылатын үстелдер мен орындықтардың оңтайлы санын және т.б. есептеу арқылы ұйымның пайдасын ұлғайту.
Экономикалық-математикалық модель экономикалық абстракцияны көрсетеді, ол математикалық терминдер мен белгілер арқылы өрнектеледі.
Компьютердің математикалық моделі
Компьютерлік математикалық модельдің мысалдары:
- схемалар, диаграммалар, кестелер және т.б. пайдалана отырып гидравлика мәселелері;
- қатты механикадағы мәселелер және т.б.
Компьютер моделі – нысанның немесе жүйенің кескіні:
- кестелер;
- блок-схемалар;
- диаграммалар;
- графика және т.б.
Сонымен бірге бұл модель жүйенің құрылымы мен өзара байланысын көрсетеді.
Экономикалық-математикалық модель құру
Біз ненің экономикалық екенін айттықматематикалық модель. Мәселені шешудің мысалы дәл қазір қарастырылады. Ассортименттің ауысуы арқылы пайданы арттыру резервін анықтау үшін өндірістік бағдарламаны талдауымыз керек.
Мәселені толық қарастырмаймыз, тек экономикалық және математикалық модель құрастырамыз. Біздің міндетіміздің критерийі - пайданы барынша арттыру. Сонда функцияның пішіні болады: Л=р1х1+р2х2… максимумға ұмтылады. Бұл модельде p - бірлікке келетін пайда, x - өндірілген бірлік саны. Әрі қарай, құрастырылған модельге сүйене отырып, есептеулер жасап, қорытындылау қажет.
Қарапайым математикалық модель құру мысалы
Тапсырма. Балықшы келесі балықпен оралды:
- 8 балық - солтүстік теңіздердің тұрғындары;
- 20% балық - оңтүстік теңіздердің тұрғындары;
- жергілікті өзеннен бірде-бір балық табылмады.
Ол дүкеннен қанша балық сатып алды?
Сонымен, бұл есептің математикалық моделін құрудың мысалы келесідей. Балықтардың жалпы санын х деп белгілейміз. Шарт бойынша 0,2x оңтүстік ендіктерде тұратын балықтар саны. Енді біз барлық қолда бар ақпаратты біріктіріп, есептің математикалық моделін аламыз: x=0, 2x+8. Біз теңдеуді шешеміз және негізгі сұраққа жауап аламыз: ол дүкеннен 10 балық сатып алды.
