Мектептегі тұтас геометрия курсында үш кеңістік осінің бойында нөлдік емес өлшемдері бар қарапайым фигуралардың бірі төртбұрышты призма болып табылады. Мақалада оның қандай фигура екенін, қандай элементтерден тұратынын, сондай-ақ оның бетінің ауданы мен көлемін қалай есептеуге болатынын қарастырыңыз.
Призма түсінігі
Геометрияда призма – бұл екі бірдей негіздер мен осы табандардың қабырғаларын қосатын бүйір беттерден құралған кеңістіктік фигура. Кейбір вектор арқылы параллель аудару операциясы арқылы екі негіз де бір-біріне түрленетінін ескеріңіз. Призманың мұндай тағайындалуы оның барлық қабырғалары әрқашан параллелограмм болатынына әкеледі.
Негіздің жақтарының саны үштен бастап ерікті болуы мүмкін. Бұл сан шексіздікке ұмтылғанда, призма тегіс цилиндрге айналады, өйткені оның табаны шеңберге айналады, ал бүйірлік параллелограммдар қосылып, цилиндрлік бетті құрайды.
Кез келген көпбұрыштар сияқты призмаға да тәнжақтары (фигураны шектейтін жазықтықтар), жиектер (кез келген екі жағы қиылысатын сегменттер) және шыңдар (үш жақтың түйісетін нүктелері, призма үшін олардың екеуі бүйірлік, ал үшіншісі - табан). Фигураның аталған үш элементінің шамалары келесі өрнек арқылы өзара байланысқан:
P=C + B - 2
Мұндағы P, C және B тиісінше жиектер, қабырғалар және шыңдар саны. Бұл өрнек Эйлер теоремасының математикалық белгісі болып табылады.
Жоғарыдағы суретте екі призма көрсетілген. Олардың біреуінің (А) табанында дұрыс алтыбұрыш жатыр, ал бүйір қабырғалары табандарына перпендикуляр. В суретінде басқа призма көрсетілген. Оның қабырғалары енді табандарына перпендикуляр емес, ал негізі дұрыс бесбұрыш.
Төртбұрышты призма дегеніміз не?
Жоғарыдағы сипаттамадан анық көрініп тұрғандай, призманың түрі ең алдымен негізді құрайтын көпбұрыш түрімен анықталады (екі негіз бірдей, сондықтан олардың біреуі туралы айтуға болады). Егер бұл көпбұрыш параллелограмм болса, онда төртбұрышты призманы аламыз. Сонымен, призманың бұл түрінің барлық жақтары параллелограммдар болып табылады. Төртбұрышты призманың өз атауы бар - параллелепипед.
Параллелепипедтің қабырғаларының саны алты, әр қабырғасының оған ұқсас параллельі бар. Қораптың негізі екі жақ болғандықтан, қалған төртеуі бүйір.
Параллелепипедтің төбелерінің саны сегіз, призманың төбелері тек негіз көпбұрыштарының төбелерінде (4x2=8) түзілетінін есте ұстасақ, оны оңай байқауға болады. Эйлер теоремасын қолданып, біз жиектер санын аламыз:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
12 қабырғаның ішінен тек 4 қабырғасы бір-бірінен тәуелсіз қалыптасады. Қалған 8-і фигураның табандарының жазықтықтарында жатыр.
Ары қарай мақалада біз тек төртбұрышты призмалар туралы айтатын боламыз.
Параллелепипедтердің түрлері
Жіктеудің бірінші түрі - параллелограммның астындағы белгілері. Бұл келесідей болуы мүмкін:
- тұрақты, бұрыштары 90-ға тең емесo;
- тіктөртбұрыш;
- шаршы – кәдімгі төртбұрыш.
Классификацияның екінші түрі - жағы негізді кесіп өтетін бұрыш. Мұнда екі түрлі жағдай болуы мүмкін:
- бұл бұрыш түзу емес, онда призма көлбеу немесе көлбеу деп аталады;
- бұрыш 90o болса, мұндай призма тікбұрышты немесе жай түзу болады.
Классификацияның үшінші түрі призманың биіктігіне байланысты. Егер призма тікбұрышты болса, ал табаны шаршы немесе төртбұрыш болса, онда оны куб тәрізді деп атайды. Егер табанында шаршы болса, призма тікбұрышты, ал оның биіктігі шаршының қабырғасының ұзындығына тең болса, онда біз белгілі текше фигурасын аламыз.
Призма беті мен ауданы
Призманың екі табанында жатқан барлық нүктелердің жиыны(параллелограммдар) және оның қабырғаларында (төрт параллелограмм) фигураның бетін құрайды. Бұл беттің ауданын негіздің ауданын және бүйір бетінің осы мәнін есептеу арқылы есептеуге болады. Сонда олардың сомасы қажетті мәнді береді. Математикалық түрде бұл былай жазылады:
S=2So+ Sb
Мұнда So және Sb сәйкесінше негіз және бүйір бетінің ауданы. So алдындағы 2 саны шығады, себебі екі негіз бар.
Жазбаша формула төртбұрышты призманың ауданы үшін ғана емес, кез келген призма үшін жарамды екенін ескеріңіз.
Параллелограммның ауданы Sp формуласымен есептелетінін еске түсіру пайдалы:
Sp=ah
Мұндағы a және h таңбалары сәйкесінше оның бір жағының ұзындығын және осы жағына түсірілген биіктікті білдіреді.
Табасы шаршы төртбұрышты призманың ауданы
Тұрақты төртбұрышты призмада табан шаршы болады. Анық болу үшін оның жағын а әрпімен белгілейміз. Тұрақты төртбұрышты призманың ауданын есептеу үшін оның биіктігін білу керек. Бұл шаманың анықтамасы бойынша ол бір негізден екіншісіне түсірілген перпендикуляр ұзындығына тең, яғни олардың арасындағы қашықтыққа тең. Оны h әрпімен белгілейік. Қарастырылып отырған призманың түрі үшін барлық бүйір беттер табандарына перпендикуляр болғандықтан, дұрыс төртбұрышты призманың биіктігі оның бүйір жиегінің ұзындығына тең болады.
БПризманың бетінің жалпы формуласы екі мүшеден тұрады. Бұл жағдайда негіздің ауданын есептеу оңай, ол мынаған тең:
So=a2
Бүйір бетінің ауданын есептеу үшін біз келесідей дәлелдейміз: бұл бет 4 бірдей төртбұрыштан тұрады. Оның үстіне олардың әрқайсысының қабырғалары а және h-қа тең. Бұл Sb ауданы келесіге тең болатынын білдіреді:
Sb=4ah
4a көбейтіндісі шаршы негіздің периметрі екенін ескеріңіз. Егер бұл өрнекті ерікті негіз жағдайына жалпылайтын болсақ, онда тікбұрышты призма үшін бүйір бетін келесідей есептеуге болады:
Sb=Poh
Мұндағы Po - негіздің периметрі.
Дұрыс төртбұрышты призманың ауданын есептеу мәселесіне оралсақ, соңғы формуланы жаза аламыз:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Көлбеу параллелепипедтің ауданы
Оны есептеу тікбұрыштыға қарағанда біршама қиынырақ. Бұл жағдайда төртбұрышты призманың базалық ауданы параллелограммдағы сияқты формуламен есептеледі. Өзгерістер бүйір бетінің ауданын анықтау тәсіліне қатысты.
Ол үшін жоғарыдағы абзацта берілген формуланы периметр арқылы пайдаланыңыз. Тек енді оның аздап басқа көбейткіштері болады. Көлбеу призма жағдайындағы Sb үшін жалпы формула:
Sb=Psrc
Мұндағы c - фигураның бүйір жиегінің ұзындығы. Psr мәні тікбұрышты кесіндінің периметрі болып табылады. Бұл орта келесідей салынған: барлық бүйірлік беттерді олардың барлығына перпендикуляр болатындай етіп жазықтықпен қиылысу керек. Алынған тіктөртбұрыш қалаған қиық болады.
Жоғарыдағы суретте қиғаш қораптың мысалы көрсетілген. Оның көлденең кесіндісі бүйірлерімен тік бұрыштар құрайды. Бөлімнің периметрі Psr. Ол бүйірлік параллелограммдардың төрт биіктігінен құралған. Осы төртбұрышты призма үшін бүйір бетінің ауданы жоғарыдағы формула арқылы есептеледі.
Кубоидтың диагоналының ұзындығы
Параллелепипедтің диагоналы деп оларды құрайтын ортақ қабырғалары жоқ екі төбені қосатын кесіндіні айтады. Кез келген төртбұрышты призмада тек төрт диагональ бар. Түбінде тіктөртбұрышы бар кубоид үшін барлық диагональдардың ұзындықтары бір-біріне тең.
Төмендегі суретте сәйкес сурет көрсетілген. Қызыл сегмент оның диагоналы.
Оның ұзындығын есептеу өте қарапайым, егер Пифагор теоремасы есіңізде болса. Әр оқушы өзіне қажетті формуланы ала алады. Оның келесі пішіні бар:
D=√(A2+ B2 + C2)
Мұндағы D - диагональ ұзындығы. Қалған таңбалар қораптың жақтарының ұзындықтары болып табылады.
Көп адамдар параллелепипедтің диагоналін оның қабырғаларының диагональдарымен шатастырады. Төменде боялған сурет барсегменттер фигураның жақтарының диагональдарын білдіреді.
Олардың әрқайсысының ұзындығы да Пифагор теоремасымен анықталады және сәйкес қабырғалары ұзындықтарының квадраттарының қосындысының квадрат түбіріне тең.
Призма көлемі
Кейбір геометриялық есептерді шешу үшін дұрыс төртбұрышты призманың немесе призмалардың басқа түрлерінің ауданынан басқа олардың көлемін де білу керек. Кез келген призма үшін бұл мән келесі формула бойынша есептеледі:
V=Soh
Егер призма тікбұрышты болса, онда фигураның көлемін алу үшін оның табанының ауданын есептеп, оны бүйір жиегінің ұзындығына көбейту жеткілікті.
Егер призма дұрыс төртбұрышты призма болса, онда оның көлемі болады:
V=a2сағ.
Егер бүйірлік жиектің h ұзындығы a негізінің жағына тең болса, бұл формула текше көлемінің өрнекіне түрленетінін көру оңай.
Кубоидқа қатысты мәселе
Зерттелетін материалды бекіту үшін келесі есепті шығарамыз: қабырғалары 3 см, 4 см және 5 см болатын тік бұрышты параллелепипед бар. Оның бетінің ауданын, диагональ ұзындығын және көлемін есептеу керек.
Анық болу үшін фигураның табаны қабырғалары 3 см және 4 см болатын тіктөртбұрыш деп есептейміз. Онда оның ауданы 12 см2, ал период 14 см. Призманың бетінің ауданы формуласын қолданып, мынаны аламыз:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94см2
Диагональ ұзындығын және фигураның көлемін анықтау үшін жоғарыдағы өрнектерді тікелей қолдануға болады:
D=√(32+42+52)=7 071 см;
V=345=60см3.
Қиғаш параллелепипед мәселесі
Төмендегі суретте көлбеу призма көрсетілген. Оның қабырғалары тең: a=10 см, b=8 см, c=12 см. Бұл фигураның бетінің ауданын табу керек.
Біріншіден, негіздің ауданын анықтайық. Сурет сүйір бұрыштың 50o екенін көрсетеді. Сонда оның ауданы:
So=ha=sin(50o)ba
Бүйір бетінің ауданын анықтау үшін көлеңкеленген тіктөртбұрыштың периметрін табу керек. Бұл тіктөртбұрыштың қабырғалары asin(45o) және bsin(60o). Сонда бұл төртбұрыштың периметрі:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Бұл қораптың жалпы беті:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Есептің шартындағы мәліметтерді фигураның жақтарының ұзындықтарына ауыстырамыз, жауап аламыз:
S=458, 5496 см3
Бұл есептің шешімінен қиғаш фигуралардың аудандарын анықтау үшін тригонометриялық функциялар қолданылатынын көруге болады.
