Призма – өте қарапайым геометриялық үш өлшемді фигура. Осыған қарамастан, кейбір мектеп оқушылары оның негізгі қасиеттерін анықтауда қиындықтарға тап болады, оның себебі, әдетте, дұрыс пайдаланылмаған терминологиямен байланысты. Бұл мақалада біз призмалардың не екенін, олар қалай аталатынын қарастырамыз, сонымен қатар дұрыс төртбұрышты призманы егжей-тегжейлі сипаттаймыз.
Геометриядағы призма
Үш өлшемді фигураларды зерттеу стереометрияның міндеті – кеңістіктік геометрияның маңызды бөлігі. Стереометрияда призма деп кеңістікте белгілі бір қашықтықта ерікті жазық көпбұрыштың параллель трансляциясынан пайда болатын осындай фигура түсініледі. Параллельді аудару көпбұрыш жазықтығына перпендикуляр ось айналасында айналу толығымен жоққа шығарылатын қозғалысты білдіреді.
Призманы алудың сипатталған әдісінің нәтижесінде екімен шектелген фигура пайда болады.өлшемдері бірдей, параллель жазықтықта жатқан көпбұрыштар және параллелограммдардың белгілі бір саны. Олардың саны көпбұрыштың қабырғаларының (төбелерінің) санына сәйкес келеді. Бірдей көпбұрыштар призманың табандары деп аталады, ал олардың бетінің ауданы табандарының ауданы болып табылады. Екі негізді қосатын параллелограммдар бүйір бетін құрайды.
Призма элементтері және Эйлер теоремасы
Қарастырылып отырған үш өлшемді фигура көп қырлы болғандықтан, яғни қиылысатын жазықтықтар жиынынан құралғандықтан, ол белгілі бір төбелер, қырлар және беттер санымен сипатталады. Олардың барлығы призманың элементтері.
18 ғасырдың ортасында швейцар математигі Леонхард Эйлер көпбұрыштың негізгі элементтерінің саны арасындағы байланысты орнатты. Бұл қатынас келесі қарапайым формуламен жазылады:
Шет саны=шыңдар саны + беттер саны - 2
Кез келген призма үшін бұл теңдік ақиқат. Оның қолданылуына мысал келтірейік. Тұрақты төртбұрышты призма бар делік. Ол төменде көрсетілген.
Ол үшін төбелер саны 8 (әр төртбұрышты негіз үшін 4) екенін көруге болады. Қабырғалардың немесе беттердің саны 6 (2 негіз және 4 бүйір тіктөртбұрыш). Сонда оның жиектерінің саны:
Қабырғалар саны=8 + 6 - 2=12
Бір суретке сілтеме жасасаңыз, олардың барлығын санауға болады. Сегіз қыры негізде жатыр, ал төрт жиегі осы негіздерге перпендикуляр.
Призмалардың толық классификациясы
Кейінірек терминологияда шатастырмау үшін және фигуралар бетінің ауданын немесе көлемін есептеу үшін дұрыс формулаларды пайдалану үшін бұл жіктеуді түсіну маңызды.
Ерікті пішінді кез келген призма үшін оны сипаттайтын 4 ерекшелікті ажыратуға болады. Оларды тізіп көрейік:
- Негізіндегі көпбұрыштың бұрыштарының саны бойынша: үшбұрышты, бесбұрышты, сегізбұрышты және т.б.
- Көпбұрыш түрі. Бұл дұрыс немесе бұрыс болуы мүмкін. Мысалы, тікбұрышты үшбұрыш дұрыс емес, бірақ теңбүйірлі үшбұрыш дұрыс.
- Көпбұрыштың дөңес түріне сәйкес. Ол ойыс немесе дөңес болуы мүмкін. Ең көп таралғаны дөңес призмалар.
- Табандар мен бүйірлік параллелограммдар арасындағы бұрыштарда. Егер осы бұрыштардың барлығы 90o тең болса, онда олар тік призма туралы айтады, егер олардың барлығы дұрыс болмаса, онда мұндай фигура қиғаш деп аталады.
Осы тармақтардың ішінде мен соңғысына тоқталғым келеді. Түзу призманы тікбұрышты призма деп те атайды. Мұның себебі ол үшін параллелограммдар жалпы жағдайда тіктөртбұрыштар болып табылады (кейбір жағдайларда олар шаршы болуы мүмкін).
Мысалы, жоғарыдағы суретте бесбұрышты ойыс тікбұрышты немесе түзу фигура көрсетілген.
Тұрақты төртбұрышты призма
Бұл призманың табаны дұрыс төртбұрыш, яғни шаршы. Жоғарыдағы сурет бұл призманың қалай көрінетінін көрсетті. Оның екі шаршыдан басқаүстіңгі және астыңғы жағын шектеңіз, ол сонымен қатар 4 төртбұрышты қамтиды.
Дұрыс төртбұрышты призманың табанының бүйір жағын а әрпімен белгілейік, оның бүйір жиегінің ұзындығы с әрпімен белгіленеді. Бұл ұзындық та фигураның биіктігі болып табылады. Сонда бұл призманың бүкіл бетінің ауданы мына формуламен өрнектеледі:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Мұнда бірінші қосылғыш негіздердің жалпы ауданға қосқан үлесін көрсетеді, екінші мүшесі – бүйір бетінің ауданы.
Бүйірлердің ұзындықтары үшін енгізілген белгілерді ескере отырып, қарастырылып отырған фигураның көлемінің формуласын жазамыз:
V=a2c
Яғни көлем шаршы негіздің ауданы мен бүйір жиегінің ұзындығының көбейтіндісі ретінде есептеледі.
Текше пішіні
Бұл идеалды үш өлшемді фигураны бәрі біледі, бірақ аз ғана адамдар оны дұрыс төртбұрышты призма деп ойлады, оның қабырғасы шаршы табанының қабырғасының ұзындығына тең, яғни c=a.
Текше үшін беттің жалпы ауданы мен көлемінің формулалары келесі пішінді алады:
S=6a2
V=a3
Куб 6 бірдей квадраттан тұратын призма болғандықтан, олардың кез келген параллель жұбын негіз деп санауға болады.
Куб – табиғатта көптеген металдық материалдар мен иондық кристалдардың кристалдық торлары түрінде жүзеге асырылатын өте симметриялы фигура. Мысалы, алтын, күміс, мыс және үстелдің торларытұздар текше.
