Әр оқушы дөңгелек конус туралы естіген және бұл үш өлшемді фигураның қандай болатынын елестетеді. Бұл мақала конустың дамуын анықтайды, оның сипаттамаларын сипаттайтын формулаларды береді және оны циркуль, транспортир және түзу сызықтың көмегімен қалай салу керектігін сипаттайды.
Геометриядағы дөңгелек конус
Осы фигураның геометриялық анықтамасын берейік. Дөңгелек конус – белгілі бір шеңбердің барлық нүктелерін кеңістіктегі бір нүктемен қосатын түзу кесінділерден құралған бет. Бұл жалғыз нүкте шеңбер жатқан жазықтыққа жатпауы керек. Егер шеңбердің орнына шеңбер алсақ, онда бұл әдіс конусқа да әкеледі.
Дөңгелекті фигураның табаны деп атайды, оның шеңберін директриса деп атайды. Нүктені директрисамен қосатын кесінділер генератрисалар немесе генераторлар деп аталады, ал олардың қиылысу нүктесі конустың төбесі болып табылады.
Дөңгелек конус түзу және қиғаш болуы мүмкін. Екі сурет те төмендегі суретте көрсетілген.
Олардың арасындағы айырмашылық мынада: егер конустың төбесінен перпендикуляр шеңбердің центріне дәл түссе, онда конус түзу болады. Ол үшін фигураның биіктігі деп аталатын перпендикуляр оның осінің бөлігі болып табылады. Көлбеу конус жағдайында биіктік пен ось сүйір бұрышты құрайды.
Фигураның қарапайымдылығы мен симметриясының арқасында біз әрі қарай тек дөңгелек табаны бар тік конустың қасиеттерін қарастырамыз.
Айналдыру арқылы пішін алу
Конус бетінің дамуын қарастырмас бұрын, бұл кеңістіктік фигураны айналдыру арқылы қалай алуға болатынын білу пайдалы.
Қабырғалары a, b, c болатын тікбұрышты үшбұрыш бар делік. Олардың алғашқы екеуі - аяқ, с - гипотенуза. Үшбұрышты а катетіне қойып, оны b аяғының айналасында айналдыра бастаймыз. Содан кейін c гипотенузасы конустық бетті сипаттайды. Бұл қарапайым конус техникасы төмендегі диаграммада көрсетілген.
Әрине, а катеті фигураның табанының радиусы, b катты оның биіктігі болады, ал гипотенузасы c дөңгелек оң конустың генератрисасына сәйкес келеді.
Конустың дамуының көрінісі
Сіз болжағандай, конус екі түрлі беттерден тұрады. Олардың бірі - тегіс негізді шеңбер. Оның радиусы r делік. Екінші беті бүйірлік және конустық деп аталады. Оның генераторы g мәніне тең болсын.
Егер бізде қағаз конусы болса, онда біз қайшыны алып, оның негізін кесіп аламыз. Содан кейін конустық бетті кесу кереккез келген генератрикс бойымен және оны жазықтықта орналастырыңыз. Осылайша біз конустың бүйір бетінің дамуын алдық. Екі бет бастапқы конуспен бірге төмендегі диаграммада көрсетілген.
Негізгі шеңбер төменгі оң жақта бейнеленген. Бүктелген конустық бет ортасында көрсетілген. Ол шеңбердің кейбір дөңгелек секторына сәйкес келеді, оның радиусы g генерациясының ұзындығына тең.
Бұрыш пен аумақты тексеру
Енді біз белгілі g және r параметрлерін пайдаланып конустың ауданы мен бұрышын есептеуге мүмкіндік беретін формулаларды аламыз.
Суретте жоғарыда көрсетілген дөңгелек сектор доғасының ұзындығы негіздің шеңберіне тең болатыны анық, яғни:
l=2pir.
Егер радиусы g болатын бүкіл шеңбер салынған болса, онда оның ұзындығы:
L=2pig.
Ұзындығы L 2pi радианға сәйкес келетіндіктен, l доғасы жатқан бұрышты сәйкес пропорциядан анықтауға болады:
L==>2pi;
l==> φ.
Онда белгісіз φ бұрышы мынаған тең болады:
φ=2pil/L.
l және L ұзындықтарының өрнектерін ауыстырып, конустың бүйір бетінің даму бұрышының формуласына келеміз:
φ=2pir/g.
Мұндағы φ бұрышы радианмен өрнектелген.
Дөңгелек сектордың Sbауданын анықтау үшін φ табылған мәнін қолданамыз. Біз тек аймақтар үшін тағы бір пропорция жасаймыз. Бізде:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Қайдан Sb өрнектеп, содан кейін φ бұрышының мәнін ауыстырыңыз. Біз аламыз:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Конустық беттің ауданы үшін біз өте ықшам формула алдық. Sb мәні үш фактордың көбейтіндісіне тең: pi, фигураның радиусы және оның генерациясы.
Сонда фигураның бүкіл бетінің ауданы Sb және So қосындысына тең болады (дөңгелек базалық аумақ). Біз формуланы аламыз:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Қағазда конустың сызбасын салу
Бұл тапсырманы орындау үшін сізге қағаз парағы, қарындаш, транспортир, сызғыш және циркуль қажет.
Алдымен қабырғалары 3 см, 4 см және 5 см болатын тік бұрышты үшбұрыш салайық. Оның катеттің айналасында 3 см айналуы қажетті конусты береді. Фигурада r=3 см, h=4 см, g=5 см.
Тазалауды құрастыру циркульмен r радиусы бар шеңбер салудан басталады. Оның ұзындығы 6пи см-ге тең болады. Енді оның жанында біз басқа шеңберді саламыз, бірақ радиусы g. Оның ұзындығы 10пи см-ге сәйкес келеді. Енді үлкен шеңберден дөңгелек секторды кесіп тастау керек. Оның φ бұрышы:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Енді біз бұл бұрышты транспортирмен радиусы g шеңберге қойып, дөңгелек секторды шектейтін екі радиусты сызамыз.
СоныменОсылайша, біз радиустың, биіктіктің және генератрицаның көрсетілген параметрлері бар конустың дамуын жасадық.
Геометриялық есепті шешуге мысал
Дөңгелек түзу конус берілген. Оның бүйірден өту бұрышы 120o екені белгілі. Конустың биіктігі h 10 см болатыны белгілі болса, осы фигураның радиусы мен генератрисын табу керек.
Дөңгелек конус тікбұрышты үшбұрыштың айналу фигурасы екенін есте ұстасақ, тапсырма қиын емес. Бұл үшбұрыштан биіктік, радиус және генератрица арасындағы бір мәнді қатынас шығады. Сәйкес формуланы жазайық:
g2=h2+ r2.
Шешу кезінде қолданылатын екінші өрнек φ бұрышының формуласы:
φ=2pir/g.
Осылайша, екі белгісіз шамаға (r және g) қатысты екі теңдеу бар.
Екінші формуладағы g-ті өрнектеп, нәтижені біріншіге ауыстырсақ, мынаны аламыз:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Радиандағы φ=120o бұрышы 2pi/3. Біз бұл мәнді ауыстырамыз, біз r және g үшін соңғы формулаларды аламыз:
r=сағ /√8;
g=3сағ /√8.
Биіктік мәнін ауыстырып, проблемалық сұраққа жауап алу қалады: r ≈ 3,54 см, g ≈ 10,61 см.
