Фурье түрлендіруі – кейбір нақты айнымалының функцияларын салыстыратын түрлендіру. Бұл операция әр түрлі дыбыстарды қабылдаған сайын орындалады. Құлақ біздің санамыз жоғары математиканың сәйкес бөлімін оқығаннан кейін ғана орындауға қабілетті автоматты «есептеуді» орындайды. Адамның есту мүшесі трансформация жасайды, соның нәтижесінде дыбыс (қатты, сұйық немесе газ тәрізді ортада толқын түрінде таралатын серпімді ортадағы шартты бөлшектердің тербелмелі қозғалысы) дәйекті мәндер спектрі түрінде қамтамасыз етіледі. әр түрлі биіктіктегі тондардың дыбыс деңгейі. Осыдан кейін ми бұл ақпаратты бәріне таныс дыбысқа айналдырады.
Математикалық Фурье түрлендіруі
Дыбыс толқындарын немесе басқа тербелмелі процестерді (жарық радиациясынан және мұхит толқынынан жұлдыздық немесе күн белсенділігінің циклдарына дейін) түрлендіруді де математикалық әдістерді қолдану арқылы жүзеге асыруға болады. Сонымен, осы әдістерді қолдана отырып, тербелмелі процестерді синусоидалы құрамдас бөліктердің жиынтығы ретінде көрсету арқылы функцияларды ыдыратуға болады, яғни толқынды қисықтар.теңіз толқыны сияқты төменнен жоғарыға, содан кейін төменге қайта барыңыз. Фурье түрлендіруі – функциясы белгілі бір жиілікке сәйкес әрбір синусоидтың фазасын немесе амплитудасын сипаттайтын түрлендіру. Фаза қисық сызықтың бастапқы нүктесі, ал амплитудасы - биіктігі.
Фурье түрлендіруі (мысалдар фотода көрсетілген) ғылымның әртүрлі салаларында қолданылатын өте қуатты құрал. Кейбір жағдайларда ол жарық, жылу немесе электр энергиясының әсерінен болатын динамикалық процестерді сипаттайтын өте күрделі теңдеулерді шешу құралы ретінде қолданылады. Басқа жағдайларда ол күрделі тербелмелі сигналдардағы тұрақты компоненттерді анықтауға мүмкіндік береді, соның арқасында химия, медицина және астрономиядағы әртүрлі эксперименттік бақылауларды дұрыс түсіндіре аласыз.
Тарихи дерек
Бұл әдісті алғаш қолданған француз математигі Жан Батист Фурье болды. Кейінірек оның атымен аталған түрлендіру бастапқыда жылу өткізгіштік механизмін сипаттау үшін қолданылған. Фурье өзінің бүкіл ересек өмірін жылудың қасиеттерін зерттеумен өткізді. Ол алгебралық теңдеулердің түбірлерін анықтаудың математикалық теориясына орасан зор үлес қосты. Фурье политехникалық училищенің талдау профессоры, египетология институтының хатшысы болды, императорлық қызметте болды, ол Туринге жол салу кезінде ерекшеленді (оның басшылығымен 80 мың шаршы шақырымнан астам безгек.батпақтар). Дегенмен, осы жігерлі іс-әрекеттің барлығы ғалымға математикалық талдау жасауға кедергі болмады. 1802 жылы ол қатты денелердегі жылудың таралуын сипаттайтын теңдеуді шығарды. 1807 жылы ғалым бұл теңдеуді шешудің әдісін ашты, ол «Фурье түрлендіруі» деп аталды.
Жылуөткізгіштік талдауы
Ғалым жылу өткізгіштік механизмін сипаттау үшін математикалық әдісті қолданды. Ыңғайлы мысал, онда есептеуде қиындықтар жоқ, жылу энергиясының бір бөлігінде отқа батырылған темір сақина арқылы таралуы. Тәжірибе жүргізу үшін Фурье бұл сақинаның бір бөлігін қызарып қыздырып, майда құмға көмді. Осыдан кейін ол оның қарама-қарсы жағында температураны өлшеуді жүргізді. Бастапқыда жылудың таралуы біркелкі емес: сақинаның бір бөлігі суық, ал екіншісі ыстық; бұл аймақтар арасында күрт температура градиентін байқауға болады. Дегенмен, металдың бүкіл бетіне жылу таралу процесінде ол біркелкі болады. Сонымен, көп ұзамай бұл процесс синусоид түрінде болады. Бастапқыда график косинус немесе синус функциясының өзгеру заңдарына сәйкес біркелкі өседі және де біркелкі кемиді. Толқын бірте-бірте төмендейді және нәтижесінде температура сақинаның бүкіл бетінде бірдей болады.
Бұл әдістің авторы бастапқы ретсіз таралуды бірқатар элементар синусоидтарға ыдыратуға болатынын ұсынды. Олардың әрқайсысының өз фазасы (бастапқы жағдайы) және өз температурасы боладымаксимум. Сонымен қатар, әрбір мұндай құрамдас минимумнан максимумға дейін өзгереді және сақина айналасында толық айналымда бірнеше рет өзгереді. Бір периодты құраушы негізгі гармоникалық деп аталды, ал екі немесе одан да көп периодтары бар шама екінші және т.б. Сонымен, температура максимумын, фазасын немесе орнын сипаттайтын математикалық функция таралу функциясының Фурье түрлендіруі деп аталады. Ғалым математикалық тұрғыдан сипаттау қиын бір компонентті қолдануға оңай құралға – косинус пен синус қатарын жинақтап, бастапқы үлестірімді беретіндей етіп қысқартты.
Талдаудың мәні
Бұл талдауды сақиналы пішіні бар қатты зат арқылы жылудың таралуын түрлендіруге қолдана отырып, математик синусоидалы құрамдас бөліктің периодтарын ұлғайту оның тез ыдырауына әкеледі деп пайымдады. Бұл негізгі және екінші гармоникада анық көрінеді. Соңғысында температура максималды және ең төменгі мәндерге бір өтуде екі рет, ал біріншісінде тек бір рет жетеді. Екінші гармоникада жылудың жүріп өткен қашықтығы іргелі гармонияның жартысы болады екен. Сонымен қатар, екіншісіндегі градиент біріншіге қарағанда екі есе тік болады. Сондықтан қарқындырақ жылу ағыны екі есе қысқа қашықтықты жүріп өткендіктен, бұл гармоникалық уақыт функциясы ретінде негізгіден төрт есе жылдам ыдырайтын болады. Болашақта бұл процесс бұдан да жылдам болады. Математик бұл әдіс уақыт бойынша температураның бастапқы таралу процесін есептеуге мүмкіндік береді деп есептеді.
Замандастарға шақыру
Фурье түрлендіру алгоритмі сол кездегі математиканың теориялық негіздеріне қарсы шықты. ХІХ ғасырдың басында ең көрнекті ғалымдар, соның ішінде Лагранж, Лаплас, Пуассон, Леджендр және Биот, оның бастапқы температураның таралуы іргелі гармоникалық және жоғары жиіліктер түріндегі компоненттерге ыдырайтындығы туралы мәлімдемесін қабылдамады. Алайда, Ғылым академиясы математиктің алған нәтижелерін назардан тыс қалдыра алмай, оған жылу өткізгіштік заңдарының теориясын, сондай-ақ оны физикалық эксперименттермен салыстырғаны үшін сыйлық берді. Фурье көзқарасында үзіліссіз функцияның үзіліссіз бірнеше синусоидалы функциялардың қосындысымен ұсынылуы негізгі қарсылық болды. Өйткені, олар жыртылған түзу және қисық сызықтарды сипаттайды. Үзіліссіз функциялар квадраттық, сызықтық, синусоидтық немесе экспоненциалды сияқты үздіксіз функциялардың тіркесімі арқылы сипатталған кезде ғалымның замандастары ешқашан мұндай жағдайды кездестірмеген. Математик өз мәлімдемесінде дұрыс болған жағдайда, тригонометриялық функцияның шексіз қатарының қосындысын дәл сатылыға келтіру керек. Ол кезде мұндай мәлімдеме абсурд болып көрінетін. Дегенмен, күмән тудырғанына қарамастан, кейбір зерттеушілер (мысалы, Клод Навье, Софи Жермен) зерттеу ауқымын кеңейтіп, оларды жылу энергиясын бөлу талдауынан тыс қалдырды. Осы уақытта математиктер бірнеше синусоидалы функциялардың қосындысын үзіліссіз функцияның дәл көрінісіне келтіруге бола ма деген сұрақпен күресуді жалғастырды.
200 жастатарих
Бұл теория екі ғасыр бойы дамыды, бүгінде ол түпкілікті қалыптасты. Оның көмегімен кеңістіктік немесе уақытша функциялар өз жиілігі, фазасы және амплитудасы бар синусоидалы компоненттерге бөлінеді. Бұл түрлендіру екі түрлі математикалық әдіспен алынады. Олардың біріншісі бастапқы функция үзіліссіз болғанда, ал екіншісі – дискретті жеке өзгерістер жиынтығымен көрсетілгенде қолданылады. Егер өрнек дискретті интервалдармен анықталатын мәндерден алынса, оны дискретті жиіліктері бар бірнеше синусоидалы өрнектерге бөлуге болады - ең төменгіден, содан кейін негізгіден екі есе, үш есе және т.б. жоғары. Мұндай қосынды Фурье қатары деп атайды. Егер бастапқы өрнекке әрбір нақты сан үшін мән берілсе, онда оны барлық ықтимал жиіліктердің бірнеше синусоидаларына ыдыратуға болады. Оны әдетте Фурье интегралы деп атайды және шешім функцияның интегралдық түрлендірулерін білдіреді. Түрлендіру қалай алынғанына қарамастан, әрбір жиілік үшін екі сан көрсетілуі керек: амплитуда және жиілік. Бұл мәндер бір күрделі сан ретінде көрсетіледі. Күрделі айнымалыларды өрнектер теориясы Фурье түрлендіруімен бірге әртүрлі электр тізбектерін жобалауда, механикалық тербелістерді талдауда, толқынның таралу механизмін зерттеуде және т.б. есептеулерді жүргізуге мүмкіндік берді.
Бүгінгі Фурье түрлендіруі
Бүгінгі таңда бұл процесті зерттеу негізінен тиімді деп табу үшін қысқартылдыфункциядан оның түрлендірілген түріне және керісінше ауысу әдістері. Бұл шешім тура және кері Фурье түрлендіруі деп аталады. Бұл нені білдіреді? Интегралды анықтау және тікелей Фурье түрлендіруін шығару үшін математикалық немесе аналитикалық әдістерді қолдануға болады. Оларды практикада қолдануда белгілі бір қиындықтар туындайтынына қарамастан, интегралдардың көпшілігі қазірдің өзінде табылып, математикалық анықтамалықтарға енгізілген. Пішіні эксперименттік деректерге негізделген өрнектерді немесе интегралдар кестелерде жоқ және аналитикалық түрде көрсету қиын функцияларды есептеу үшін сандық әдістерді қолдануға болады.
Компьютерлер пайда болғанға дейін мұндай түрлендірулердің есептеулері өте жалықтырды, олар толқындық функцияны сипаттайтын нүктелер санына байланысты көптеген арифметикалық операцияларды қолмен орындауды талап етті. Есептеулерді жеңілдету үшін бүгінде жаңа аналитикалық әдістерді енгізуге мүмкіндік берген арнайы бағдарламалар бар. Осылайша, 1965 жылы Джеймс Кули мен Джон Туки бағдарламалық жасақтаманы жасады, ол «жылдам Фурье түрлендіруі» деп аталды. Ол қисықты талдауда көбейту санын азайту арқылы есептеулерге уақытты үнемдеуге мүмкіндік береді. Фурьенің жылдам түрлендіру әдісі қисық сызықты біркелкі үлгі мәндерінің үлкен санына бөлуге негізделген. Сәйкесінше, ұпай санының бірдей азаюымен көбейту саны екі есе азаяды.
Фурье түрлендіруін қолдану
Бұлпроцесс ғылымның әртүрлі салаларында қолданылады: сандар теориясында, физикада, сигналдарды өңдеуде, комбинаторикада, ықтималдықтар теориясында, криптографияда, статистикада, океанологияда, оптикада, акустикада, геометрияда және т.б. Оны қолданудың бай мүмкіндіктері «Фурье түрлендіру қасиеттері» деп аталатын бірқатар пайдалы мүмкіндіктерге негізделген. Оларды қарастырыңыз.
1. Функцияны түрлендіру сызықтық оператор болып табылады және сәйкес нормалаумен біртұтас болады. Бұл қасиет Парсевал теоремасы немесе жалпы Планхерель теоремасы немесе Понтрягин дуализмі ретінде белгілі.
2. Трансформация қайтымды. Оның үстіне кері нәтиже тікелей шешімдегідей дерлік пішінге ие.
3. Синусоидалы негіздік өрнектер өзіндік дифференциалданған функциялар болып табылады. Бұл мұндай кескін тұрақты коэффициенті бар сызықтық теңдеулерді қарапайым алгебралық теңдеулерге өзгертетінін білдіреді.
4. «Қою» теоремасы бойынша бұл процесс күрделі операцияны элементар көбейтуге айналдырады.
5. Дискретті Фурье түрлендіруін компьютерде «жылдам» әдісі арқылы жылдам есептеуге болады.
Фурье түрлендіруінің түрлері
1. Көбінесе бұл термин белгілі бір бұрыштық жиіліктері мен амплитудалары бар күрделі экспоненциалды өрнектердің қосындысы ретінде кез келген квадрат интегралданатын өрнекті қамтамасыз ететін үздіксіз түрлендіруді белгілеу үшін қолданылады. Бұл түрдің бірнеше түрлі формалары бар, олар мүмкінтұрақты коэффициенттермен ерекшеленеді. Үздіксіз әдіске түрлендіру кестесі кіреді, оны математикалық анықтамалықтардан табуға болады. Жалпыланған жағдай бөлшек түрлендіру болып табылады, оның көмегімен берілген процесті қажетті нақты қуатқа дейін көтеруге болады.
2. Үздіксіз режим - шектелген аумақта бар және оларды синусоидтар қатары ретінде көрсететін әртүрлі периодтық функциялар немесе өрнектер үшін анықталған Фурье қатарының алғашқы техникасының жалпылауы.
3. Дискретті Фурье түрлендіруі. Бұл әдіс компьютерлік технологияда ғылыми есептеулер үшін және цифрлық сигналдарды өңдеу үшін қолданылады. Есептеудің бұл түрін жүргізу үшін үздіксіз Фурье интегралдарының орнына жеке нүктелерді, периодтық немесе дискретті жиынтықта шектелген облыстарды анықтайтын функциялардың болуы талап етіледі. Бұл жағдайда сигналдың түрленуі синусоидтардың қосындысы ретінде көрсетіледі. Сонымен қатар, «жылдам» әдісті қолдану кез келген практикалық мәселелерге дискретті шешімдерді қолдануға мүмкіндік береді.
4. Терезелік Фурье түрлендіруі классикалық әдістің жалпыланған түрі болып табылады. Стандартты шешімнен айырмашылығы, берілген айнымалының бар болуының толық диапазонында қабылданатын сигнал спектрін пайдаланған кезде, мұнда бастапқы айнымалы (уақыт) сақталған жағдайда, тек жергілікті жиілікті бөлу ерекше қызығушылық тудырады..
5. Екі өлшемді Фурье түрлендіруі. Бұл әдіс екі өлшемді деректер массивтерімен жұмыс істеу үшін қолданылады. Бұл жағдайда алдымен түрлендіру бір бағытта, содан кейін ішінде орындаладыбасқа.
Қорытынды
Бүгінгі таңда Фурье әдісі ғылымның әртүрлі салаларында берік орныққан. Мысалы, 1962 жылы ДНҚ қос спираль пішіні рентгендік дифракциямен біріктірілген Фурье талдауын қолдану арқылы ашылды. Соңғылары ДНҚ талшықтарының кристалдарына бағытталған, нәтижесінде сәулеленудің дифракциясы арқылы алынған кескін пленкаға жазылды. Бұл сурет берілген кристалдық құрылымға Фурье түрлендіруін қолдану кезіндегі амплитуданың мәні туралы ақпарат берді. Фазалық деректер ДНҚ дифракциялық картасын ұқсас химиялық құрылымдарды талдау нәтижесінде алынған карталармен салыстыру арқылы алынды. Нәтижесінде биологтар кристалдық құрылымды - бастапқы функцияны қалпына келтірді.
Фурье түрлендірулері ғарышты, жартылай өткізгіштер мен плазма физикасын, микротолқынды акустиканы, океанографияны, радарларды, сейсмологияны және медициналық зерттеулерді зерттеуде үлкен рөл атқарады.
