Үшбұрыш – үш қабырғасы (үш бұрышы) бар көпбұрыш. Көбінесе жақтары қарама-қарсы төбелерді білдіретін бас әріптерге сәйкес келетін шағын әріптермен белгіленеді. Бұл мақалада біз осы геометриялық фигуралардың түрлерімен, үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы қандай болатынын анықтайтын теоремамен танысамыз.
Бұрыштары бойынша көру
Үш төбесі бар көпбұрыштың келесі түрлері ажыратылады:
- өткір бұрышты, оның барлық бұрыштары өткір;
- тік бұрышты, бір тік бұрышы бар, оны құрайтын қабырғалары катет, ал тік бұрышқа қарама-қарсы орналасқан жағы гипотенуза деп аталады;
- бір бұрыш доғал болғанда доғал;
- екі қабырғасы тең және олар бүйірлік деп аталады, ал үшіншісі үшбұрыштың табаны;
- теңбүйірлі, үш қабырғасы да бірдей.
Сипаттар
Олар үшбұрыштың әрбір түріне тән негізгі қасиеттерді бөлектейді:
- үлкен жаққа қарама-қарсы әрқашан үлкенірек бұрыш болады және керісінше;
- бірдей өлшемдегі қарама-қарсы жақтары бірдей бұрыштар және керісінше;
- кез келген үшбұрыштың екі сүйір бұрышы болады;
- сыртқы бұрыш оған іргелес емес кез келген ішкі бұрыштан үлкенірек;
- кез келген екі бұрыштың қосындысы әрқашан 180 градустан аз;
- сыртқы бұрыш онымен қиылыспайтын қалған екі бұрыштың қосындысына тең.
Үшбұрыштар теоремасы бұрыштарының қосындысы
Теорема Евклид жазықтығында орналасқан берілген геометриялық фигураның барлық бұрыштарын қоссақ, олардың қосындысы 180 градус болатынын айтады. Осы теореманы дәлелдеп көрейік.
Төбелері KMN болатын ерікті үшбұрыш алайық.
М шыңы арқылы KN түзуіне параллель түзу жүргіземіз (бұл түзуді Евклид түзу сызығы деп те атайды). Оған А нүктесін белгілейміз, осылайша K және А нүктелері MN түзуінің әр түрлі жағында орналасады. Біз AMN және KNM тең бұрыштарын аламыз, олар ішкі бұрыштар сияқты көлденең жатады және MN бөлгішімен параллель болатын KN және MA түзулерімен бірге жасалады. Бұдан M және H төбелерінде орналасқан үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы KMA бұрышының өлшеміне тең болатыны шығады. Барлық үш бұрыш қосындыны құрайды, ол KMA және MKN бұрыштарының қосындысына тең. Бұл бұрыштар қатысты ішкі бір жақты болғандықтанпараллель түзулері KN және MA секанты KM, олардың қосындысы 180 градус. Теорема дәлелденді.
Нәтиже
Жоғарыда дәлелденген теоремадан келесі нәтиже шығады: кез келген үшбұрыштың екі сүйір бұрышы болады. Мұны дәлелдеу үшін берілген геометриялық фигураның тек бір сүйір бұрышы бар деп алайық. Бұрыштардың ешқайсысы сүйір емес деп те болжауға болады. Бұл жағдайда 90 градусқа тең немесе одан жоғары кем дегенде екі бұрыш болуы керек. Бірақ сонда бұрыштардың қосындысы 180 градустан үлкен болады. Бірақ бұл мүмкін емес, өйткені теорема бойынша үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 ° - артық емес және кем емес. Дәлелдеу керек еді.
Сыртқы бұрыш қасиеті
Үшбұрыштың сыртқы бұрыштарының қосындысы неге тең? Бұл сұраққа екі жолдың бірімен жауап беруге болады. Біріншісі, әр төбеден бір-бірден, яғни үш бұрыштан алынатын бұрыштардың қосындысын табу керек. Екіншісі төбелердегі барлық алты бұрыштың қосындысын табу керек дегенді білдіреді. Алдымен, бірінші нұсқамен айналысайық. Сонымен, үшбұрыштың алты сыртқы бұрышы бар - әр шыңында екіден.
Әр жұптың бұрыштары бірдей, себебі олар тік:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Сонымен қатар үшбұрыштың сыртқы бұрышы онымен қиылыспайтын екі ішкі бұрыштың қосындысына тең екені белгілі. Сондықтан, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Осыдан сыртқы қосындысы шығадыӘрбір шыңнан бір-бірден алынатын бұрыштар мынаған тең болады:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Бұрыштардың қосындысы 180 градус екенін ескерсек, ∟A + ∟B + ∟C=180° деп дәлелдеуге болады. Ал бұл ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360° дегенді білдіреді. Егер екінші нұсқа пайдаланылса, онда алты бұрыштың қосындысы тиісінше екі есе үлкен болады. Яғни, үшбұрыштың сыртқы бұрыштарының қосындысы болады:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Тікбұрышты үшбұрыш
Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының қосындысы неге тең? Бұл сұрақтың жауабы тағы да үшбұрыштағы бұрыштардың қосындысы 180 градусқа дейін болатынын көрсететін теоремадан шығады. Ал біздің мәлімдемеміз (қасиет) былай естіледі: тікбұрышты үшбұрышта сүйір бұрыштар 90 градусқа дейін қосылады. Оның растығын дәлелдеп көрейік.
Бізге ∟Н=90° болатын KMN үшбұрышы берілсін. ∟K + ∟M=90° екенін дәлелдеу керек.
Демек, бұрыш қосындысы теоремасы бойынша ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Біздің шартымыз ∟Н=90° екенін айтады. Демек, ∟K + ∟M + 90°=180° болып шығады. Яғни, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Дәлелдеуіміз керек еді.
Тікбұрышты үшбұрыштың жоғарыдағы қасиеттеріне қосымша келесіні қосуға болады:
- аяқтарға қарсы жатқан бұрыштар өткір;
- гипотенузасы кез келген аяққа қарағанда үшбұрышты;
- қабаттардың қосындысы гипотенузадан үлкен;
- аяғы30 градус бұрышқа қарама-қарсы орналасқан үшбұрыш гипотенузаның жартысы, яғни оның жартысына тең.
Бұл геометриялық фигураның тағы бір қасиеті ретінде Пифагор теоремасын ажыратуға болады. Ол бұрышы 90 градус болатын үшбұрышта (тіктөртбұрыш) катеттерінің квадраттарының қосындысы гипотенузаның квадратына тең екенін айтады.
Тең қабырғалы үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы
Бұрын біз тең қабырғалы үш төбесі бар, екі бірдей қабырғасы бар көпбұрыш деп айтқанбыз. Берілген геометриялық фигураның бұл қасиеті белгілі: оның табанындағы бұрыштары тең. Дәлелдейік.
КМN үшбұрышын алайық, ол тең қабырғалы, KN оның табаны.
Біз ∟К=∟Н екенін дәлелдеуіміз керек. Олай болса, MA біздің КМН үшбұрышының биссектрисасы болсын делік. MCA үшбұрышы, теңдіктің бірінші белгісін ескере отырып, MCA үшбұрышына тең. Атап айтқанда, шарт бойынша KM=NM, MA ортақ қабырға, ∟1=∟2, өйткені MA биссектриса болып табылады. Осы екі үшбұрыштың тең екендігін пайдаланып, ∟K=∟Н деп айтуға болады. Сонымен теорема дәлелденді.
Бірақ бізді үшбұрыштың (тең қабырғалы) бұрыштарының қосындысы қанша болатыны қызықтырады. Бұл жағынан оның өзіндік ерекшеліктері болмағандықтан, біз бұрын қарастырылған теоремадан бастаймыз. Яғни, ∟K + ∟M + ∟H=180°, немесе 2 x ∟K + ∟M=180° (∟K=∟H болғандықтан) деп айта аламыз. Біз бұл сипатты дәлелдемейміз, өйткені үшбұрыш қосындысы теоремасының өзі бұрын дәлелденген.
Талқыланған жағдайларды қоспағандаүшбұрыштың бұрыштары туралы қасиеттерге байланысты маңызды мәлімдемелер де бар:
- тең бүйірлі үшбұрышта табанға түсірілген биіктік медиана, тең қабырғалар арасындағы бұрыштың биссектрисасы, сондай-ақ оның табанының симметрия осі болып табылады;
- осындай геометриялық фигураның қабырғаларына түсірілген медианалар (биссектрисалар, биіктіктер) тең.
Теңбүйірлі үшбұрыш
Оны дұрыс деп те атайды, ол барлық қабырғалары тең үшбұрыш. Демек, бұрыштар да тең. Олардың әрқайсысы 60 градус. Бұл сипатты дәлелдейік.
Бізде KMN үшбұрышы бар деп есептейік. KM=NM=KN екенін білеміз. Ал бұл тең қабырғалы үшбұрышта табанында орналасқан бұрыштардың қасиетіне сәйкес ∟К=∟М=∟Н екенін білдіреді. Теорема бойынша үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы ∟К + ∟М + ∟Н=180° болғандықтан, 3 x ∟К=180° немесе ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. Осылайша, мәлімдеме дәлелденді.
Теоремаға негізделген жоғарыдағы дәлелден көріп отырғаныңыздай, кез келген басқа үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы сияқты теңбүйірлі үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 градусқа тең. Бұл теореманы қайта дәлелдеудің қажеті жоқ.
Теңбүйірлі үшбұрышқа тән қасиеттер де бар:
Мұндай геометриялық фигурадағы
Қыз бұрышты үшбұрыш
Доғал үшбұрыштың анықтамасы бойынша оның бір бұрышы 90 және 180 градус аралығында. Бірақ бұл геометриялық фигураның қалған екі бұрышының сүйір екенін ескерсек, олар 90 градустан аспайды деген қорытынды жасауға болады. Демек, үшбұрыштың бұрыштардың қосындысы теоремасы доғал үшбұрыштың бұрыштарының қосындысын есептегенде жұмыс істейді. Жоғарыда айтылған теоремаға сүйене отырып, доғал үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 градус екенін сенімді түрде айта аламыз. Тағы да, бұл теореманы қайта дәлелдеудің қажеті жоқ.
