Ықтималдық теориясы кездейсоқ шамалармен жұмыс істейді. Кездейсоқ шамалар үшін таралу заңдары деп аталатындар бар. Мұндай заң оның кездейсоқ шамасын абсолютті толықтықпен сипаттайды. Алайда, кездейсоқ шамалардың нақты жиындарымен жұмыс істегенде, олардың таралу заңын бірден орнату жиі өте қиын және белгілі бір сандық сипаттамалар жиынтығымен шектеледі. Мысалы, кездейсоқ шаманың орташа мәні мен дисперсиясын есептеу жиі өте пайдалы.
Бұл не үшін қажет
Егер математикалық күтудің мәні шаманың орташа мәніне жақын болса, онда бұл жағдайда дисперсия біздің шама мәндерінің осы математикалық күтудің айналасында қалай шашырағанын айтады. Мысалы, егер біз адамдар тобының IQ деңгейін өлшейтін болсақ және өлшеу нәтижелерін (үлгі) зерттегіміз келсе, математикалық күту осы адамдар тобы үшін интеллект коэффициентінің шамамен орташа мәнін көрсетеді, ал таңдамалы дисперсияны есептесек, біз нәтижелердің математикалық күтудің айналасында қалай топтастырылғанын анықтаймыз: оның қасындағы топтама (IQ-дегі шағын вариация) немесе ең төменгі нәтижеден максималды нәтижеге дейінгі барлық диапазон бойынша біркелкі (үлкен вариация және ортасында бір жерде - математикалық күту).
Дисперсияны есептеу үшін кездейсоқ шаманың жаңа сипаттамасы қажет – мәннің математикалық мәннен ауытқуыкүтуде.
Ауытқу
Дисперсияны қалай есептеу керектігін түсіну үшін алдымен ауытқуды түсіну керек. Оның анықтамасы кездейсоқ шама қабылдайтын мән мен оның математикалық күтуінің арасындағы айырмашылық болып табылады. Шамамен айтқанда, мәннің қалай «шашырағанын» түсіну үшін оның ауытқуы қалай таралатынын қарау керек. Яғни, шаманың мәнін оның маттан ауытқу мәніне ауыстырамыз. күту және оның таралу заңын зерттеңіз.
Дискретті, яғни жеке мәндерді қабылдайтын кездейсоқ шаманың таралу заңы кесте түрінде жазылады, мұнда мәннің мәні оның пайда болу ықтималдығымен корреляцияланады. Содан кейін, ауытқудың таралу заңында кездейсоқ шама оның формуласымен ауыстырылады, онда мән (өзінің ықтималдығын сақтаған) және өз маты бар. күтуде.
Кездейсоқ шаманың ауытқуының таралу заңының қасиеттері
Біз кездейсоқ шаманың ауытқуы үшін таралу заңын жазып алдық. Одан біз әзірге математикалық күту сияқты сипаттаманы ғана ала аламыз. Ыңғайлы болу үшін сандық мысалды алған дұрыс.
Кейбір кездейсоқ шаманың таралу заңы болсын: X - мән, p - ықтималдық.
Формула арқылы математикалық күтуді және бірден ауытқуды есептейміз.
Жаңа ауытқуларды бөлу кестесін салу.
Біз бұл жерде де күтуді есептейміз.
Нөлге тең. Бір ғана мысал бар, бірақ ол әрқашан солай болады: мұны жалпы жағдайда дәлелдеу қиын емес. Ауытқудың математикалық күту формуласын кездейсоқ шаманың математикалық күтулері арасындағы айырмашылыққа және қаншалықты қисық көрінсе де, маттың математикалық күтуіне бөлуге болады. күтулер (бірақ рекурсия), олар бірдей, сондықтан олардың айырмашылығы нөлге тең болады.
Бұл күтілуде: таңбадағы ауытқулар оң да, теріс те болуы мүмкін, сондықтан олар орташа есеппен нөлді беруі керек.
Дискретті жағдайдың дисперсиясын есептеу әдісі. саны
Егер кілемше. ауытқу күтуін есептеу мағынасыз, басқа нәрсе іздеу керек. Сіз жай ғана ауытқулардың абсолютті мәндерін ала аласыз (модуль); бірақ модульдермен бәрі соншалықты қарапайым емес, сондықтан ауытқулар квадрат болып табылады, содан кейін олардың математикалық күтуі есептеледі. Негізінде, олар дисперсияны қалай есептеу керектігі туралы айтқанда осыны білдіреді.
Яғни, біз ауытқуларды аламыз, олардың квадратын аламыз және кездейсоқ шамаға сәйкес келетін квадраттық ауытқулар мен ықтималдықтар кестесін жасаймыз. Бұл тарату туралы жаңа заң. Математикалық күтуді есептеу үшін ауытқу мен ықтималдық квадратының көбейтінділерін қосу керек.
Оңай формула
Алайда мақала бастапқы кездейсоқ шаманың таралу заңы жиі белгісіз болуымен басталды. Сондықтан жеңілірек нәрсе керек. Шынында да, тек кілемшені пайдаланып үлгі дисперсиясын есептеуге мүмкіндік беретін тағы бір формула бар.күту:
Дисперсия - төсеніш арасындағы айырмашылық. кездейсоқ шаманың квадратын және керісінше оның матының квадратын күту. күтуде.
Мұның дәлелі бар, бірақ оны мұнда ұсынудың мағынасы жоқ, өйткені оның практикалық мәні жоқ (және біз тек дисперсияны есептеуіміз керек).
Вариациялық қатардағы кездейсоқ шаманың дисперсиясын есептеу әдісі
Нақты статистикада барлық кездейсоқ шамаларды көрсету мүмкін емес (өйткені, шамамен алғанда, олардың, әдетте, шексіз саны бар). Сондықтан зерттеуге енетін нәрсе - кейбір жалпы популяцияның репрезентативті үлгісі. Және мұндай жалпы жиынтықтан кез келген кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары таңдама бойынша есептелетіндіктен, олар таңдама деп аталады: таңдамалы орташа, сәйкесінше таңдама дисперсиясы. Сіз оны әдеттегідей есептей аласыз (шаршы ауытқулар арқылы).
Алайда мұндай дисперсия қиғаш деп аталады. Бейтарап дисперсия формуласы сәл басқаша көрінеді. Әдетте оны есептеу қажет.
Шағын қосымша
Тағы бір сандық сипаттама дисперсиямен байланысты. Ол сондай-ақ кездейсоқ шаманың төсеніш айналасында қалай шашырауын бағалауға қызмет етеді. күту. Дисперсия мен стандартты ауытқуды есептеуде көп айырмашылық жоқ: соңғысы біріншісінің квадрат түбірі болып табылады.
