«Арифметикалық прогрессия» тақырыбы алгебра пәнінің жалпы курсында мектептерде 9-сыныпта оқытылады. Бұл тақырып сандар қатарының математикасын одан әрі тереңдетіп оқу үшін маңызды. Бұл мақалада біз арифметикалық прогрессиямен, оның айырмашылығымен, сонымен қатар мектеп оқушылары кездесетін типтік тапсырмалармен танысамыз.
Алгебралық прогрессия түсінігі
Сандық прогрессия – кейбір математикалық заң қолданылса, әрбір келесі элементті алдыңғысынан алуға болатын сандар тізбегі. Прогрессияның екі қарапайым түрі бар: геометриялық және арифметикалық, оны алгебралық деп те атайды. Оған толығырақ тоқталайық.
Кейбір рационал санды елестетіп көрейік, оны a1 белгісімен белгілейік, мұндағы индекс қарастырылып отырған қатардағы оның реттік нөмірін көрсетеді. 1 санына басқа санды қосайық, оны d деп белгілейік. Сосын екіншісісерияның элементін келесідей көрсетуге болады: a2=a1+d. Енді d қоссаңыз, біз мынаны аламыз: a3=a2+d. Осы математикалық операцияны жалғастыра отырып, арифметикалық прогрессия деп аталатын бүтін сандар қатарын алуға болады.
Жоғарыда айтылғандардан түсінуге болатындай, осы тізбектің n-ші элементін табу үшін мына формуланы пайдалану керек: a =a1+ (n -1)d. Шынында да, өрнекке n=1 мәнін қойып, 1=a1 аламыз, егер n=2 болса, формула мынаны білдіреді: a2=a1 + 1d, т.б.
Мысалы, арифметикалық прогрессияның айырымы 5 болса және a1=1 болса, бұл қарастырылып отырған түрдегі сандар қатарының келесідей болатынын білдіреді: 1, 6, 11, 16, 21, … Көріп отырғаныңыздай, оның әрбір шарты алдыңғысынан 5-ке артық.
Арифметикалық прогрессияның айырымы формулалары
Қарастырылған сандар қатарының жоғарыдағы анықтамасынан оны анықтау үшін екі санды білу керек екендігі шығады: a1 және d. Соңғысы осы прогрессияның айырмасы деп аталады. Ол бүкіл серияның әрекетін бірегей түрде анықтайды. Шынында да, d оң болса, онда сандар қатары үнемі өседі, керісінше, теріс d жағдайында қатардағы сандар тек модуль бойынша өседі, ал олардың абсолюттік мәні n санының өсуімен азаяды.
Арифметикалық прогрессияның айырмашылығы неде? Бұл мәнді есептеу үшін қолданылатын екі негізгі формуланы қарастырыңыз:
- d=an+1-a , бұл формула қарастырылып отырған сандар қатарының анықтамасынан тікелей шығады.
- d=(-a1+a)/(n-1), бұл өрнек берілген формуладан d өрнектеу арқылы алынады мақаланың алдыңғы абзацында. Егер n=1 болса, бұл өрнек анықталмаған (0/0) болатынын ескеріңіз. Бұл оның айырмашылығын анықтау үшін қатардың кем дегенде 2 элементін білу қажет екендігіне байланысты.
Бұл екі негізгі формула прогрессияның айырмасын табудың кез келген мәселесін шешу үшін қолданылады. Дегенмен, сізге білу керек тағы бір формула бар.
Бірінші элементтердің қосындысы
Тарихи дәлелдер бойынша алгебралық прогрессияның кез келген мүшелерінің қосындысын анықтауға болатын формуланы алғаш рет 18 ғасыр математикасының «ханзадасы» Карл Гаусс алған. Неміс ғалымы әлі ауыл мектебінің бастауыш сыныбында оқып жүрген кезінде 1-ден 100-ге дейінгі қатардағы натурал сандарды қосу үшін алдымен бірінші элемент пен соңғыны қосу керек екенін байқады (нәтижедегі мән тең болады). соңғы және екінші, соңғы және үшінші элементтердің қосындысына және т.б.), содан кейін бұл санды осы сомалар санына, яғни 50-ге көбейту керек.
Нақты мысалда көрсетілген нәтижені көрсететін формуланы ерікті жағдайға жалпылауға болады. Ол келесідей болады: S =n/2(a +a1). Көрсетілген мәнді табу үшін d айырмашылығын білу қажет емес екенін ескеріңіз,егер прогрессияның екі шарты белгілі болса (a және a1).
Мысал №1. a1 және an
қатарының екі мүшесін біле отырып, айырмашылықты анықтаңыз
Мақалада жоғарыда айтылған формулаларды қалай қолдану керектігін көрсетейік. Қарапайым мысал келтірейік: арифметикалық прогрессияның айырмасы белгісіз, ол неге тең болатынын анықтау керек, егер a13=-5, 6 және a1 =-12, 1.
Сандық тізбектің екі элементінің мәндерін білетіндіктен және олардың бірі бірінші сан болғандықтан, d айырмасын анықтау үшін №2 формуланы пайдалана аламыз. Бізде: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Өрнекте біз n=13 мәнін қолдандық, өйткені бұл реттік нөмірі бар мүше белгілі.
Нәтижедегі айырмашылық есеп шартында берілген элементтердің теріс мәнге ие болғанына қарамастан прогрессияның артып келе жатқанын көрсетеді. |a13|<|a дегенмен a13>a1 екенін көруге болады. 1 |.
Мысал №2. №1
мысалдағы прогрессияның оң мүшелері
Алдыңғы мысалда алынған нәтижені жаңа есепті шешу үшін қолданайық. Ол келесідей тұжырымдалған: №1 мысалдағы прогрессияның элементтері қандай реттік нөмірден оң мән ала бастайды?
Көрсетілгендей, a1=-12, 1 және d=0 болатын прогрессия. 54167 өсуде, сондықтан кейбір саннан сандар тек оң мәнді қабылдай бастайды. құндылықтар. Бұл n санын анықтау үшін қарапайым теңсіздікті шешу керек, яғниматематикалық түрде былай жазылады: a >0 немесе сәйкес формуланы пайдаланып, теңсіздікті қайта жазамыз: a1 + (n-1)d>0. Белгісіз n табу керек, оны өрнектеп көрейік: n>-1a1/d + 1. Енді айырмашылық пен бірінші мүшенің белгілі мәндерін ауыстыру қалды. реттілік. Біз мынаны аламыз: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 немесе n>23, 338. n тек бүтін мәндерді қабылдай алатындықтан, алынған теңсіздіктен қатардың кез келген мүшелері болатыны шығады. 23-тен үлкен сан оң болады.
Осы арифметикалық прогрессияның 23 және 24 элементтерін есептеу үшін жоғарыдағы формуланы пайдаланып жауабыңызды тексеріңіз. Бізде: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (теріс сан); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (оң мән). Осылайша, алынған нәтиже дұрыс: n=24-тен бастап сандар қатарының барлық мүшелері нөлден үлкен болады.
Мысал №3. Қанша журнал сәйкес келеді?
Бір қызық есеп берейік: ағаш кесу кезінде төмендегі суретте көрсетілгендей кесілген бөренелерді бір-бірінің үстіне қоюға шешім қабылданды. Барлығы 10 жол сыйатынын біле отырып, қанша журналды осылай жинақтауға болады?
Бурналды жинақтау тәсілінде бір қызық нәрсені байқауға болады: әрбір келесі жолда алдыңғыға қарағанда бір журнал кем болады, яғни айырмасы d=1 болатын алгебралық прогрессия бар. Әрбір жолдағы журналдар саны осы прогрессияның мүшесі болып табылады деп есептесек,сондай-ақ a1=1 (тек бір журнал ең жоғарғы жағында орналасады) екенін ескерсек, a10 санын табамыз. Бізде: a10=1 + 1(10-1)=10. Яғни, жерде жатқан 10-шы қатарда 10 бөрене болады.
Осы «пирамидалық» құрылыстың жалпы сомасын Гаусс формуласы арқылы алуға болады. Біз аламыз: S10=10/2(10+1)=55 журнал.
