Фурье қатары – белгілі бір периодты қатар ретінде ерікті түрде алынған функцияның көрінісі. Жалпы алғанда, бұл шешім элементтің ортогональды негізде ыдырауы деп аталады. Фурье қатарындағы функцияларды кеңейту интегралдау, дифференциалдау, сондай-ақ аргумент пен конвульсиядағы өрнекті ауыстыру кезіндегі осы түрлендірудің қасиеттеріне байланысты әртүрлі есептерді шешуге арналған жеткілікті қуатты құрал болып табылады.
Жоғары математикамен, сондай-ақ француз ғалымы Фурье еңбектерімен таныс емес адам бұл «жолдардың» не екенін және олардың не үшін қажет екенін түсінбеуі мүмкін. Сонымен қатар, бұл трансформация біздің өмірімізде өте тығыз болды. Оны тек математиктер ғана емес, сонымен қатар физиктер, химиктер, дәрігерлер, астрономдар, сейсмологтар, океанографтар және т.б. Өз заманынан озық жаңалық ашқан ұлы француз ғалымының еңбектерін толығырақ қарастырайық.
Адам және Фурье түрлендіруі
Фурье қатарлары Фурье түрлендіруінің әдістерінің бірі (талдау және басқалармен бірге). Бұл процесс адам дыбысты естіген сайын орын алады. Біздің құлағымыз дыбысты автоматты түрде түрлендіредітолқындар. Эластикалық ортадағы элементар бөлшектердің тербелмелі қозғалыстары әртүрлі биіктіктегі тондар үшін дыбыс деңгейінің дәйекті мәндерінің қатарларына (спектр бойынша) ыдырайды. Әрі қарай, ми бұл деректерді бізге таныс дыбыстарға айналдырады. Мұның бәрі біздің қалауымыз бен санамыздан басқа өздігінен болады, бірақ бұл процестерді түсіну үшін жоғары математиканы оқуға бірнеше жыл қажет болады.
Фурье түрлендіруі туралы толығырақ
Фурье түрлендіруін аналитикалық, сандық және басқа әдістермен жүзеге асыруға болады. Фурье қатары кез келген тербелмелі процестерді ыдыратудың сандық әдісін білдіреді - мұхит толқындары мен жарық толқындарынан күн (және басқа астрономиялық объектілер) белсенділігінің циклдарына дейін. Осы математикалық әдістерді пайдалана отырып, кез келген тербелмелі процестерді минимумнан максимумға және керісінше өтетін синусоидалы құрамдастардың тізбегі ретінде көрсететін функцияларды талдауға болады. Фурье түрлендіруі – белгілі бір жиілікке сәйкес синусоидтардың фазасы мен амплитудасын сипаттайтын функция. Бұл процесті жылу, жарық немесе электр энергиясының әсерінен болатын динамикалық процестерді сипаттайтын өте күрделі теңдеулерді шешу үшін пайдалануға болады. Сондай-ақ Фурье қатары күрделі тербелмелі сигналдардағы тұрақты компоненттерді оқшаулауға мүмкіндік береді, бұл медицина, химия және астрономиядағы алынған эксперименттік бақылауларды дұрыс түсіндіруге мүмкіндік берді.
Тарихи дерек
Бұл теорияның негізін салушыЖан Батист Джозеф Фурье - француз математигі. Бұл трансформация кейін оның атымен аталды. Алғашында ғалым жылу өткізгіштік механизмдерін - қатты денелердегі жылудың таралуын зерттеу және түсіндіру үшін өз әдісін қолданды. Фурье жылу толқынының бастапқы ретсіз таралуын ең қарапайым синусоидтарға ыдыратуға болатынын ұсынды, олардың әрқайсысында өз температуралық минимумы мен максимумы, сонымен қатар өз фазасы болады. Бұл жағдайда әрбір осындай құрамдас минимумнан максимумға дейін және керісінше өлшенетін болады. Қисықтың жоғарғы және төменгі шыңдарын, сондай-ақ гармоникалардың әрқайсысының фазасын сипаттайтын математикалық функция температураның таралу өрнегінің Фурье түрлендіруі деп аталады. Теорияның авторы математикалық сипаттау қиын жалпы таралу функциясын бастапқы таралуға қосылатын периодтық косинус пен синус функцияларының өте оңай өңделетін қатарына келтірді.
Трансформация принципі және замандастардың көзқарастары
Ғалымның замандастары – ХІХ ғасырдың басындағы жетекші математиктер бұл теорияны қабылдамады. Негізгі қарсылық Фурьенің түзу немесе үзіліссіз қисық сызықты сипаттайтын үзіліссіз функция үздіксіз синусоидалы өрнектердің қосындысы ретінде ұсынылуы мүмкін деген тұжырымы болды. Мысал ретінде Хевисайдтың «қадамын» қарастырайық: оның мәні саңылаудың сол жағында нөлге тең және бір оң жақта. Бұл функция тізбек жабылған кезде электр тогының уақыт айнымалысына тәуелділігін сипаттайды. Сол кездегі теорияның замандастары мұндайды ешқашан кездестірмегенүзіліссіз өрнек экспоненциалды, синусоидтық, сызықтық немесе квадраттық сияқты үздіксіз, қарапайым функциялардың тіркесімі арқылы сипатталатын жағдай.
Фурье теориясында француз математиктерін не шатастырды?
Ақыр соңында, егер математик өз мәлімдемесінде дұрыс болса, онда шексіз тригонометриялық Фурье қатарын қорытындылай отырып, қадамдық өрнектің дәл көрінісін оның ұқсас қадамдары көп болса да алуға болады. Он тоғызыншы ғасырдың басында мұндай мәлімдеме абсурд болып көрінді. Бірақ барлық күмәндерге қарамастан, көптеген математиктер бұл құбылысты зерттеу аясын кеңейтіп, оны жылу өткізгіштігін зерттеу шеңберінен шығарды. Дегенмен, ғалымдардың көпшілігі: "Синусоидалы қатардың қосындысы үзіліссіз функцияның нақты мәніне жинақталады ма?"
деген сұраққа алаңдай берді.
Фурье қатарларының жинақтылығы: мысал
Сандардың шексіз қатарын жинақтау қажет болғанда жинақтылық мәселесі көтеріледі. Бұл құбылысты түсіну үшін классикалық мысалды қарастырыңыз. Әрбір келесі қадам алдыңғы қадамның жартысына тең болса, сіз қабырғаға жете аласыз ба? Сіз мақсатқа екі метр қалдыңыз делік, бірінші қадам сізді жарты жолға, келесі қадам төрттен үш белгісіне жақындатады, ал бесіншіден кейін сіз жолдың 97 пайызын өтесіз. Дегенмен, сіз қанша қадам жасасаңыз да, сіз қатаң математикалық мағынада көздеген мақсатқа жете алмайсыз. Сандық есептеулерді пайдалана отырып, адам ақыр соңында қалағандай жақындай алатынын дәлелдей алады.шағын көрсетілген қашықтық. Бұл дәлел жарты, төрттен бір, т.б. қосынды мәні бірге бейім болатынын көрсетуге тең.
Конвергенция мәселесі: Екінші келу немесе Лорд Кельвиннің құралы
Бұл сұрақ ХІХ ғасырдың аяғында қайта-қайта көтерілді, бұл кезде Фурье қатарлары құлдырау мен ағынның қарқындылығын болжауға тырысты. Осы уақытта лорд Кельвин әскери және сауда флотының теңізшілеріне осы табиғи құбылысты бақылауға мүмкіндік беретін аналогтық есептеу құрылғысы болып табылатын құрылғыны ойлап тапты. Бұл механизм жыл бойы берілген айлақта мұқият өлшенген толқындардың биіктігі кестесінен фазалар мен амплитудалардың жиынын және олардың сәйкес уақыт моменттерін анықтады. Әрбір параметр толқын биіктігі өрнектің синусоидалы құрамдас бөлігі болды және тұрақты құрамдастардың бірі болды. Өлшеу нәтижелері лорд Келвин калькуляторына енгізілді, ол судың биіктігін келесі жылға уақыт функциясы ретінде болжайтын қисық сызығын синтездеді. Көп ұзамай әлемнің барлық порттары үшін ұқсас қисық сызықтар сызылды.
Ал егер процесс үзіліссіз функциямен бұзылса?
Сол кезде санау элементтері көп толқындық толқынды болжаушы көптеген фазалар мен амплитудаларды есептеп, дәлірек болжаулар бере алатыны анық көрінді. Соған қарамастан, бұл заңдылық келесі толқындық өрнек жағдайында байқалмайтыны анықталдысинтездеу, құрамында күрт секіру болды, яғни үзіліссіз болды. Құрылғыға уақыт моменттері кестесінен деректер енгізілген жағдайда, ол бірнеше Фурье коэффициенттерін есептейді. Бастапқы функция синусоидалы компоненттердің арқасында қалпына келтіріледі (табылған коэффициенттер бойынша). Бастапқы және қалпына келтірілген өрнек арасындағы сәйкессіздікті кез келген нүктеде өлшеуге болады. Қайталанатын есептеулер мен салыстыруларды жүргізгенде ең үлкен қатенің мәні төмендемейтінін көруге болады. Дегенмен, олар үзіліс нүктесіне сәйкес аймақта локализацияланған және кез келген басқа нүктеде нөлге бейім. 1899 жылы бұл нәтижені Йель университетінің Джошуа Виллард Гиббс теориялық тұрғыдан растады.
Фурье қатарларының жинақтылығы және жалпы математиканың дамуы
Фурье талдауы белгілі бір аралықта шексіз саны бар өрнектерге қолданылмайды. Жалпы алғанда, Фурье қатары, егер бастапқы функция нақты физикалық өлшемнің нәтижесі болса, әрқашан жинақталады. Функциялардың нақты кластары үшін бұл процестің жинақталуы туралы сұрақтар математикада жаңа бөлімдердің, мысалы, жалпыланған функциялар теориясының пайда болуына әкелді. Ол Л. Шварц, Дж. Микусинский және Дж. Темпл сияқты есімдермен байланысты. Осы теорияның шеңберінде Дирак дельта функциясы (ол нүктенің шексіз шағын төңірегінде шоғырланған бір ауданның ауданын сипаттайды) және Хевсайд сияқты өрнектер үшін нақты және нақты теориялық негіз құрылды. қадам». Осы жұмыстың арқасында Фурье сериясы қолданыла бастадыинтуитивті ұғымдарды қамтитын теңдеулер мен есептерді шешу: нүктелік заряд, нүктелік масса, магниттік дипольдер, сонымен қатар сәулеге шоғырланған жүктеме.
Фурье әдісі
Фурье қатары интерференция принциптеріне сәйкес күрделі формалардың қарапайым түрлерге ыдырауынан басталады. Мысалы, жылу ағынының өзгеруі оның пішіні дұрыс емес жылу оқшаулағыш материалдан жасалған әртүрлі кедергілерден өтуімен немесе жер бетінің өзгеруі - жер сілкінісі, аспан денесінің орбитасының өзгеруі - әсер етуімен түсіндіріледі. планеталар. Әдетте, қарапайым классикалық жүйелерді сипаттайтын ұқсас теңдеулер әрбір жеке толқын үшін элементарлы түрде шешіледі. Фурье күрделі есептердің шешімін беру үшін қарапайым шешімдерді де жинақтауға болатынын көрсетті. Математика тілінде Фурье қатары өрнекті гармоника – косинус пен синусоид қосындысы ретінде көрсету әдістемесі болып табылады. Сондықтан бұл талдау «гармоникалық талдау» деп те аталады.
Фурье сериясы – «компьютер дәуіріне» дейінгі тамаша техника
Компьютерлік технология жасалғанға дейін Фурье техникасы біздің әлемнің толқындық табиғатымен жұмыс істеу кезінде ғалымдардың арсеналындағы ең жақсы қару болды. Күрделі түрдегі Фурье қатары Ньютон механикасының заңдарына тікелей қолдануға болатын қарапайым есептерді ғана емес, сонымен қатар негізгі теңдеулерді де шешуге мүмкіндік береді. ХІХ ғасырдағы Ньютон ғылымының көптеген жаңалықтары тек Фурье техникасының арқасында мүмкін болды.
Бүгінгі Фурье сериясы
Фурье түрлендіру компьютерлерінің дамуыменмүлде жаңа деңгейге көтерілді. Бұл техника ғылым мен техниканың барлық дерлік салаларында берік орныққан. Мысал - сандық аудио және бейне сигнал. Оның жүзеге асуы ХІХ ғасырдың басында француз математигі жасаған теорияның арқасында ғана мүмкін болды. Осылайша, Фурье қатары күрделі түрде ғарыш кеңістігін зерттеуде серпіліс жасауға мүмкіндік берді. Сонымен қатар, ол жартылай өткізгіш материалдар мен плазма физикасын, микротолқынды акустиканы, океанографияны, радарларды, сейсмологияны зерттеуге әсер етті.
Тригонометриялық Фурье қатары
Математикада Фурье қатары – ерікті күрделі функцияларды қарапайымдардың қосындысы ретінде көрсету тәсілі. Жалпы жағдайларда мұндай өрнектердің саны шексіз болуы мүмкін. Оның үстіне, олардың саны есептеуде неғұрлым көп ескерілсе, соңғы нәтиже соғұрлым дәл болады. Көбінесе ең қарапайымдары ретінде косинустың немесе синустың тригонометриялық функциялары қолданылады. Бұл жағдайда Фурье қатары тригонометриялық деп аталады, ал мұндай өрнектердің шешімі гармонияның кеңеюі деп аталады. Бұл әдіс математикада маңызды рөл атқарады. Ең алдымен, тригонометриялық қатар функцияларды зерттеумен қатар бейнелеу құралын қамтамасыз етеді, ол теорияның негізгі аппараты болып табылады. Сонымен қатар, ол математикалық физиканың бірқатар мәселелерін шешуге мүмкіндік береді. Ақырында, бұл теория математикалық талдаудың дамуына ықпал етті, математика ғылымының бірқатар өте маңызды бөлімдерін (интегралдар теориясы, периодтық функциялар теориясы) тудырды. Сонымен қатар, ол келесі теориялардың дамуы үшін бастапқы нүкте болды: жиындар, функцияларнақты айнымалы, функционалдық талдау, сонымен қатар гармоникалық талдаудың негізін қалады.
