Үшбұрышты пирамида және оның ауданын анықтау формулалары

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Соңғы өзгертілген: 2023-12-17 05:33

Пирамида – геометриялық кеңістік фигура, оның сипаттамалары орта мектепте тұтас геометрия курсында оқытылады. Бұл мақалада біз үшбұрышты пирамиданы, оның түрлерін, сондай-ақ оның бетінің ауданын есептеу формулаларын қарастырамыз.

Біз қандай пирамида туралы айтып отырмыз?

Үшбұрышты пирамида деп ерікті үшбұрыштың барлық төбелерін осы үшбұрыштың жазықтығында жатпайтын бір нүктемен қосу арқылы алуға болатын фигураны айтады. Осы анықтамаға сәйкес қарастырылып отырған пирамида фигураның табаны деп аталатын бастапқы үшбұрыштан және табанымен бір ортақ қабырғасы бар және бір-бірімен нүктеде қосылған үш бүйірлік үшбұрыштан тұруы керек. Соңғысы пирамиданың шыңы деп аталады.

Жоғарыдағы суретте ерікті үшбұрышты пирамида көрсетілген.

Қарастырылып отырған фигура қиғаш немесе түзу болуы мүмкін. Соңғы жағдайда пирамиданың төбесінен табанына түсірілген перпендикуляр оны геометриялық орталықта кесіп өтуі керек. кез келген геометриялық центрүшбұрыш – оның медианаларының қиылысу нүктесі. Геометриялық центр физикадағы фигураның масса центрімен сәйкес келеді.

Егер дұрыс (теңбүйірлі) үшбұрыш түзу пирамиданың табанында жатса, оны дұрыс үшбұрыш деп атайды. Кәдімгі пирамиданың барлық қабырғалары бір-біріне тең және тең қабырғалы үшбұрыштар.

Егер дұрыс пирамиданың биіктігі оның бүйір үшбұрыштары тең қабырғалы болатындай болса, онда оны тетраэдр деп атайды. Тетраэдрде барлық төрт бет бір-біріне тең, сондықтан олардың әрқайсысын негіз деп санауға болады.

Пирамида элементтері

Бұл элементтер фигураның беттерін немесе жақтарын, оның жиектерін, шыңдарын, биіктігін және апотемаларын қамтиды.

Көрсетілгендей үшбұрышты пирамиданың барлық қабырғалары үшбұрыштар. Олардың саны 4 (3 жағында және бір жағында).

Шыңдар үш үшбұрышты қабырғалардың қиылысу нүктелері болып табылады. Қарастырылып отырған пирамида үшін олардың 4-еуі бар екенін болжау қиын емес (3-еуі пирамиданың негізіне және 1-і жоғарғы жағына жатады).

Шеттерді екі үшбұрышты қабырғаларды қиып өтетін сызықтар немесе әрбір екі төбені қосатын сызықтар ретінде анықтауға болады. Жиектер саны негізгі төбелердің екі еселенген санына сәйкес келеді, яғни үшбұрышты пирамида үшін ол 6-ға тең (3 жиегі негізге жатады және 3 жиегі бүйірлік беттермен қалыптасады).

Биіктік, жоғарыда айтылғандай, пирамиданың төбесінен табанына жүргізілген перпендикулярдың ұзындығы. Егер осы төбеден үшбұрышты табанның әр жағына биіктіктерді салсақ,онда олар апотем (немесе апотемдер) деп аталады. Осылайша, үшбұрышты пирамиданың бір биіктігі және үш апотемасы бар. Соңғылары кәдімгі пирамида үшін бір-біріне тең.

Пирамиданың негізі және оның ауданы

Қарастырылып отырған фигураның негізі негізінен үшбұрыш болғандықтан, оның ауданын есептеу үшін оның биіктігін h_o және табан жағының ұзындығын табу жеткілікті. a, ол төмендетілген. Негіздің S_o ауданының формуласы:

S_o=1/2сағ_oa

Егер табанның үшбұрышы тең қабырғалы болса, онда үшбұрышты пирамида табанының ауданы келесі формула бойынша есептеледі:

S_o=√3/4a²

Яғни, S_o ауданы үшбұрышты табанның а қабырғасының ұзындығымен бірегей түрде анықталады.

Фигураның бүйір және жалпы ауданы

Үшбұрышты пирамиданың ауданын қарастырмас бұрын оның дамуын көрсеткен жөн. Ол төменде көрсетілген.

Төрт үшбұрыштан құрылған бұл сыпырудың ауданы пирамиданың жалпы ауданы болып табылады. Үшбұрыштардың біреуі негізге сәйкес келеді, оның қарастырылған мәні үшін формула жоғарыда жазылған. Үш бүйірлік үшбұрышты бет бірге фигураның бүйір аймағын құрайды. Сондықтан бұл мәнді анықтау үшін олардың әрқайсысына ерікті үшбұрыштың жоғарыдағы формуласын қолданып, содан кейін үш нәтижені қосу жеткілікті.

Егер пирамида дұрыс болса, онда есептеуБүйір бетінің ауданы жеңілдетілген, өйткені барлық бүйір беттері бірдей теңбүйірлі үшбұрыштар. h_bапотеманың ұзындығын белгілеңіз, содан кейін S_b бүйір бетінің ауданын келесідей анықтауға болады:

S_b=3/2ah_b

Бұл формула үшбұрыштың ауданына арналған жалпы өрнектен шығады. 3 саны пирамиданың үш бүйір беті болғандықтан алымдарда пайда болды.

Апотема h_b қалыпты пирамидадағы h фигурасының биіктігі белгілі болса, есептеуге болады. Пифагор теоремасын қолданып, мынаны аламыз:

h_b=√(h²+ a²/12)

Әрине, фигура бетінің жалпы ауданы S оның бүйір және табан аудандарының қосындысына тең:

S=S_o+ S_b

Кәдімгі пирамида үшін барлық белгілі мәндерді ауыстырып, формуланы аламыз:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Үшбұрышты пирамиданың ауданы оның табанының қабырғасының ұзындығына және биіктігіне ғана байланысты.

Мысалы мәселе

Үшбұрышты пирамиданың бүйір шеті 7 см, ал табанының қабырғасы 5 см екені белгілі. Егер пирамида екенін білсеңіз фигураның бетінің ауданын табу керек тұрақты.

Жалпы теңдікті пайдаланыңыз:

S=S_o+ S_b

S_o-ге тең:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825 см}2.

Бүйір бетінің ауданын анықтау үшін апотеманы табу керек. Бүйір жиегі a_b ұзындығы арқылы мына формуламен анықталатынын көрсету қиын емес:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 см.}

Онда S_b ауданы:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 см2.

Пирамиданың жалпы ауданы:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86см².

Есепті шешу кезінде біз есептеулерде пирамида биіктігінің мәнін пайдаланбағанымызды ескеріңіз.