Стереометрия – бір жазықтықта жатпайтын фигураларды зерттейтін геометрия бөлімі. Стереометрияның зерттеу объектілерінің бірі призмалар болып табылады. Мақалада біз призмаға геометриялық тұрғыдан анықтама береміз, сонымен қатар оған тән қасиеттерді қысқаша тізіп береміз.
Геометриялық фигура
Геометриядағы призманың анықтамасы келесідей: ол бір-бірімен төбелері арқылы қосылған параллель жазықтықта орналасқан екі бірдей n-бұрыштан тұратын кеңістіктік фигура.
Призманы алу оңай. Екі бірдей n-бұрыш бар деп елестетіңіз, мұндағы n - қабырғалардың немесе төбелердің саны. Оларды бір-біріне параллель болатындай етіп орналастырайық. Осыдан кейін бір көпбұрыштың төбелері екіншісінің сәйкес төбелеріне қосылуы керек. Қалыптастырылған фигура табандар деп аталатын екі n-бұрышты қабырғалардан және жалпы жағдайда параллелограмм болып табылатын n төртбұрышты қабырғалардан тұрады. Параллелограммдар жиыны фигураның бүйір бетін құрайды.
Қарастырылған фигураны геометриялық жолмен алудың тағы бір жолы бар. Сонымен, егер n-бұрышты алып, оны ұзындығы бірдей параллель кесінділер арқылы басқа жазықтыққа көшірсек, онда жаңа жазықтықта бастапқы көпбұрышты аламыз. Көпбұрыштар да, олардың төбелерінен жүргізілген барлық параллель кесінділер де призманы құрайды.
Жоғарыдағы суретте үшбұрышты призма көрсетілген. Оның табаны үшбұрыш болғандықтан осылай аталады.
Фигураны құрайтын элементтер
Призманың анықтамасы жоғарыда берілген, осыдан фигураның негізгі элементтері оның беттері немесе жақтары болып табылатыны, призманың барлық ішкі нүктелерін сыртқы кеңістіктен шектейтіні анық. Қарастырылып отырған фигураның кез келген беті екі түрдің біріне жатады:
- жақта;
- негіздер.
n бүйірлік бөлік бар және олар параллелограммдар немесе олардың ерекше түрлері (тіктөртбұрыштар, шаршылар). Жалпы, бүйірлік беттер бір-бірінен ерекшеленеді. Негіздің тек екі беті бар, олар n-гон және бір-біріне тең. Осылайша, әрбір призманың n+2 жағы болады.
Бүйірлерінен басқа фигура шыңдарымен сипатталады. Олар үш бет бір уақытта жанасатын нүктелер. Сонымен қатар, үш беттің екеуі әрқашан бүйірлік бетке, ал біреуі - негізге жатады. Сонымен, призмада арнайы таңдалған бір төбе жоқ, мысалы, пирамидада олардың барлығы тең. Фигураның төбелерінің саны 2n (әрқайсысы үшін n данасебебі).
Соңында, призманың үшінші маңызды элементі - оның жиектері. Бұл фигураның жақтарының қиылысуы нәтижесінде пайда болатын белгілі бір ұзындықтағы сегменттер. Беттер сияқты жиектердің де екі түрлі түрі бар:
- немесе тек қана жақтарымен жасалған;
- немесе параллелограмм мен n бұрыштық негіздің түйіскен жерінде пайда болады.
Шеттердің саны осылайша 3n, ал олардың 2n екінші түрі.
Призма түрлері
Призмаларды жіктеудің бірнеше жолы бар. Дегенмен, олардың барлығы фигураның екі ерекшелігіне негізделген:
- n-көмір негізінің түрі бойынша;
- жағындағы түрі.
Біріншіден, екінші ерекшелікке тоқталып, түзу және қиғаш призманы анықтайық. Егер кем дегенде бір қабырғасы жалпы типтегі параллелограмм болса, онда фигура қиғаш немесе қиғаш деп аталады. Егер барлық параллелограммдар тіктөртбұрыш немесе шаршы болса, онда призма түзу болады.
Түзу призманың анықтамасын да сәл басқаша беруге болады: түзу фигура деп бүйір жиектері мен беттері табандарына перпендикуляр болатын призманы айтады. Суретте екі төртбұрышты фигура көрсетілген. Сол жағы түзу, оң жағы қиғаш.
Енді табандарда жатқан n-бұрыштар түріне қарай жіктеуге көшейік. Оның қабырғалары мен бұрыштары бірдей немесе әртүрлі болуы мүмкін. Бірінші жағдайда көпбұрыш тұрақты деп аталады. Қарастырылып отырған фигурада тең көпбұрыш болсақабырғалары мен бұрыштары және түзу болса, онда ол дұрыс деп аталады. Бұл анықтама бойынша дұрыс призманың табанында теңбүйірлі үшбұрыш, шаршы, дұрыс бесбұрыш немесе алтыбұрыш және т.б. Көрсетілген дұрыс сандар суретте көрсетілген.
Призмалардың сызықтық параметрлері
Қарастырылып отырған фигуралардың өлшемдерін сипаттау үшін келесі параметрлер пайдаланылады:
- биіктігі;
- негізгі жақтары;
- бүйір қабырғаларының ұзындығы;
- 3D диагональдары;
- диагональды жақтары мен негіздері.
Тұрақты призмалар үшін барлық аталған шамалар бір-бірімен байланысты. Мысалы, бүйірлік қабырғалардың ұзындығы бірдей және биіктікке тең. Нақты n-бұрышты тұрақты фигура үшін қалғандарының барлығын кез келген екі сызықтық параметр арқылы анықтауға мүмкіндік беретін формулалар бар.
Пішін беті
Призманың жоғарыдағы анықтамасына жүгінетін болсақ, онда фигураның беті нені бейнелейтінін түсіну қиын болмайды. Бет - бұл барлық беттердің ауданы. Түзу призма үшін ол мына формуламен есептеледі:
S=2So + Poh
мұндағы So - негіздің ауданы, Po - табандағы n-бұрыштың периметрі, h - биіктік (негіздер арасындағы қашықтық).
Фигураның көлемі
Тәжірибе үшін бетпен қатар призманың көлемін білу маңызды. Оны келесі формула бойынша анықтауға болады:
V=Soh
Бұлөрнек қиғаш және дұрыс емес көпбұрыштардан құралған призмаларды қоса алғанда, кез келген призмаға қатысты дұрыс.
Тұрақты призмалар үшін көлем табан жағының ұзындығы мен фигураның биіктігінің функциясы болып табылады. Сәйкес n бұрыштық призма үшін V формуласының нақты пішіні бар.
